2023年命題比賽獲獎(jiǎng)?wù)撐闹?一道解析幾何試題的命制歷程

盧恩良

1 試題呈現(xiàn)

（原創(chuàng)試題）已知橢圓E：x216+y24=1，A為E的左頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-4，-4）.

（1）當(dāng)直線l與橢圓E相切時(shí)，求兩切點(diǎn)所在直線的方程.

（2）若直線l與E交于C，D不同兩點(diǎn)，動(dòng)直線x=t與直線AC，AD分別交于點(diǎn)R和S，Q為線段RS的中點(diǎn)，求|MQ|的最小值.

2 命制過(guò)程

要想命制一道高質(zhì)量的解析幾何試題，研究高考真題是一個(gè)不錯(cuò)的途徑.翻閱近幾年高考試題中的解析幾何大題，發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)、定值問(wèn)題備受命題者青睞，其中2017年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理數(shù)第20題與2022年新課標(biāo)全國(guó)乙卷理數(shù)第20題引起了筆者的關(guān)注，兩道試題之間貌似有著一些聯(lián)系.

題1? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程.（2）設(shè)直線l不過(guò)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

題2? 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A（0，-2），B32，-1兩點(diǎn).

（1）求E的方程.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH.證明：直線HN過(guò)定點(diǎn).

兩道試題第（2）問(wèn)都是證明直線過(guò)定點(diǎn)，題1是典型的“手電筒模型”.對(duì)題2作進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)該題與極點(diǎn)極線知識(shí)有關(guān)，直線AB是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.在題1的基礎(chǔ)上，筆者初步設(shè)計(jì)了題3.

題3? 已知橢圓C：x24+y2=1，P為C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)M（2，-1），直線l與C交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且滿足kPA+kPB=-1.

（1）證明：A，B，M三點(diǎn)共線.（2）連接MP與C交于另一點(diǎn)D，記直線AD，BP的交點(diǎn)為Q，求Q的軌跡方程.

設(shè)計(jì)思路：以題1為基礎(chǔ)，將題1中的第（2）問(wèn)改編為證明三點(diǎn)共線，降低證明難度；第（2）問(wèn)以極點(diǎn)極線知識(shí)為背景，考查橢圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，其對(duì)角線的交點(diǎn)Q在點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線y=x2-1上.

反思：題3第（1）問(wèn)旨在降低難度，思考后擔(dān)心學(xué)生作答時(shí)，采用kMA-kMB=0的方法，有“混分”之嫌；另有教師指出第（2）問(wèn)極點(diǎn)極線背景過(guò)于明顯，學(xué)生可能會(huì)直接“猜出”答案.在上述基礎(chǔ)上，筆者對(duì)題3進(jìn)行修改，得到以下題4.

題4? 已知橢圓C：x24+y2=1，P為C的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（2，-1）的直線l與C交于A，B不同兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2.

（1）求k1+k2的值.（2）連接MP，與C交于另一點(diǎn)D，記直線AD，BP的交點(diǎn)為Q，求|MQ|的最小值.

設(shè)計(jì)思路：將試題第（1）問(wèn)修改為求值，與2022年新高考Ⅰ卷第21題類似，計(jì)算雖有難度，但旨在考查通性通法和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).第（2）問(wèn)將求點(diǎn)Q軌跡改為求|MQ|的最小值，需要學(xué)生主動(dòng)思考點(diǎn)Q的軌跡，對(duì)學(xué)生能力提出了更高的要求.

反思：筆者試做第（2）問(wèn)后發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D坐標(biāo)不是整數(shù)，使得在利用直線AD和直線BP求解點(diǎn)Q坐標(biāo)時(shí)比較困難.雖然第（1）問(wèn)考查了學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，但沒(méi)有為學(xué)生完成第（2）問(wèn)提供啟發(fā)，而且兩個(gè)小問(wèn)的常規(guī)運(yùn)算量都非常大，學(xué)生極不容易得分.因此，筆者重新設(shè)計(jì)了試題，得到以下題5.

題5? 已知橢圓E：x216+y24=1，A，B分別為E的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-4，-4）.

（1）當(dāng)l與E相切時(shí)，求兩切點(diǎn)所在直線的方程.

（2）當(dāng)l與E交于C，D不同兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)）時(shí)，記直線CA，DB的交點(diǎn)為Q，求|MQ|的最小值.

設(shè)計(jì)思路：第（1）問(wèn)以直線與橢圓相切為背景，讓學(xué)生求解“切點(diǎn)弦”方程，實(shí)際就是點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線，也即第（2）問(wèn)中點(diǎn)Q的軌跡.第（1）問(wèn)為第（2）問(wèn)做了鋪墊，為第（2）問(wèn)求點(diǎn)Q的軌跡提供了思考方向.

為了檢測(cè)試題難度，筆者把試題當(dāng)做某天額外作業(yè)布置下去，第二天詢問(wèn)完成情況.由于試題第（1）問(wèn)較為常規(guī)，因此筆者主要調(diào)查第（2）問(wèn)的完成情況，全班54人只有三位同學(xué)把第（2）問(wèn)做出來(lái)了，而且運(yùn)算難度很大.基于上述調(diào)查，重新設(shè)計(jì)試題得到以下題6.

題6? 已知橢圓E：x216+y24=1，A為E的左頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-4，-4）.

（1）當(dāng)直線l與橢圓E相切時(shí)，求兩切點(diǎn)所在直線的方程.

（2）若直線l與E交于C，D不同兩點(diǎn)，動(dòng)直線x=t與直線AC，AD分別交于點(diǎn)R和S，Q為線段RS的中點(diǎn)，求|MQ|的最小值.

設(shè)計(jì)思路：以2022年全國(guó)乙卷理數(shù)第20題為參考，重新設(shè)計(jì)第（2）問(wèn).構(gòu)造動(dòng)直線x=t，可得點(diǎn)Q在點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線上，即第（1）問(wèn)中的直線.點(diǎn)Q坐標(biāo)的計(jì)算難度不大，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)關(guān)系從而得出軌跡方程.

3 試題分析

試題第（1）問(wèn)相對(duì)比較基礎(chǔ)，但運(yùn)算量大.既可以從常規(guī)思路（圖1）出發(fā)，也可基于二級(jí)結(jié)論進(jìn)行運(yùn)算（圖2），下面以思維導(dǎo)圖的形式展示思路.

試題第（2）問(wèn)既可從常規(guī)思路出發(fā)，耐心運(yùn)算，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，也可基于“手電筒”模型，大膽猜想，具體思維導(dǎo)圖如圖3和圖4所示.

4.1 第（1）問(wèn)的解答

解法一：由題易知x=-4是橢圓的切線，切點(diǎn)為（-4，0）.設(shè)另一條切線為y=kx+m，切點(diǎn)為P.聯(lián)立y=kx+m，x2+4y2-16=0，消去y，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0，Δ=16（16k2-m2+4）=0，則m2=16k2+4.又m-4k=-4，解得k=38，m=-52，所以由2xP=-8mk1+4k2，得xP=125，則yP=-85.計(jì)算得兩切點(diǎn)所在直線的斜率為-14，所以兩切點(diǎn)所在直線方程為x+4y+4=0.

解法二：設(shè)另一切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則另一條切線MP的方程為y=n+4m+4（x+4）-4.聯(lián)立y=n+4m+4（x+4）-4，x2+4y2-16=0，因?yàn)橄嗲?，所以?0，整理得m+4n+4=0.因此，兩切點(diǎn)（-4，0），（m，n）都滿足方程x+4y+4=0，即兩切點(diǎn)所在直線方程為x+4y+4=0.

解法三：設(shè)另一切點(diǎn)為P（m，n），依題意則有m2+4n2-16=0，kMP·kOP=-14，可得P125，-85.計(jì)算得，兩切點(diǎn)連線斜率為-14，所以兩切點(diǎn)所在直線方程為x+4y+4=0.

另解：由kMP·kOP=n+4m+4·nm=-14，得m2+4n2+4m+16n=0.結(jié)合m2+4n2-16=0，得m+4n+4=0.因此，兩切點(diǎn)（-4，0），（m，n）都滿足方程x+4y+4=0，即兩切點(diǎn)所在直線方程為x+4y+4=0.

解法四：根據(jù)切點(diǎn)弦方程可得兩切點(diǎn)所在直線方程為-4x16+-4y4=1，即x+4y+4=0.

4.2 第（2）問(wèn)的解答

解法一：設(shè)直線CD的方程為y=kx+m，則m=4k-4.由y=kx+m，x2+4y2-16=0，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0.設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），所以x1+x2=32k-32k21+4k2，x1x2=64k2-128k+481+4k2.直線AC的方程為y=y1x1+4（x+4），得yR=（t+4）（kx1+4k-4）x1+4.同理，可得yS=（t+4）（kx2+4k-4）x2+4.因?yàn)镼是RS的中點(diǎn)，所以可得

2yQ=yR+yS=（t+4）2k-4x1+4-4x2+4.

又因?yàn)?x1+4+1x2+4=4k+18，所以有2yQ=-xQ+42.故點(diǎn)Q的軌跡方程為x+4y+4=0，因此|MQ|min=161717.

解法二：同解法一，Qt，-t+44，則|MQ|2=1716t+52172+25617，所以|MQ|min=161717.

解法三：設(shè)直線CD的方程為y=kx+m，則m=4k-4.由y=kx+m，x2+4y2-16=0，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-16=0.設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），所以x1+x2=32k-32k21+4k2，x1x2=64k2-128k+481+4k2.因?yàn)閗AC+kAD=y1x1+4+y2x2+4=-12，所以kAR+kAS=-12.因?yàn)镼為RS的中點(diǎn)，所以2kAQ=2yQt+4=yRt+4+ySt+4=kAR+kAS，則kAQ=-14，于是可求得點(diǎn)Q的軌跡方程為x+4y+4=0，因此|MQ|min=161717.

解法四：設(shè)直線CD方程為m（x+4）+ny=1，將橢圓方程x216+y24=1化為（x+4）2+4y2-8（x+4）=0，結(jié)合m（x+4）+ny=1，得（x+4）2+4y2-8（x+4）＼5［m（x+4）+ny］=0，整理得4yx+42-8n·yx+4+1-8m=0，得kAC+kAD=2n.又CD過(guò)點(diǎn)M（-4，-4），所以-4n=1，即n=-14，則kAC+kAD=2n=-12.下同解法二.

4 試題實(shí)際測(cè)試情況

為了檢測(cè)試題的效果，筆者把該試題作為2023屆高三2月17日的理科周考試題考查學(xué)生，具體情況如下：

該試題放置在理科周考卷的第19題，第（1）問(wèn)5分，第（2）問(wèn)7分，共764人參考，年級(jí)均分為1.68分，最高得分11分，得6分及以上的同學(xué)共30人.從得分情況來(lái)看，作答效果不好，極大地出乎筆者的意料，甚至有點(diǎn)不敢相信，大多數(shù)學(xué)生第（1）問(wèn)都沒(méi)有處理好.經(jīng)過(guò)分析思考后，發(fā)現(xiàn)原因是多方面的.本次周考試卷整體難度較大，選擇填空題花費(fèi)了學(xué)生較多時(shí)間，導(dǎo)致學(xué)生后面解答題時(shí)間不夠；學(xué)生運(yùn)算求解能力較弱，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)較低；審題不明，錯(cuò)誤理解題意，把第（1）問(wèn)錯(cuò)看成求解切線方程.

本題由筆者獨(dú)自完成閱卷，從批閱情況來(lái)看，學(xué)生不能正確選擇運(yùn)算策略，無(wú)法快速準(zhǔn)確完成運(yùn)算求解.第（1）問(wèn)在設(shè)直線l的方程時(shí)，大部分同學(xué)設(shè)成y=k（x+4）-4的形式，個(gè)別同學(xué)設(shè)成x=m（y+4）-4的形式，導(dǎo)致和橢圓方程聯(lián)立時(shí)運(yùn)算量大，在計(jì)算方程判別式Δ時(shí)望而卻步，不敢繼續(xù)運(yùn)算.圓錐曲線試題涉及字母運(yùn)算與數(shù)值運(yùn)算時(shí)，直線方程形式的選擇對(duì)運(yùn)算量有著很大的影響，合理選擇方程形式能充分體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

個(gè)別學(xué)生直接使用二級(jí)結(jié)論（橢圓切點(diǎn)弦方程或橢圓切線方程）作答，但也只是少數(shù)學(xué)生，這充分說(shuō)明進(jìn)行圓錐曲線復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，對(duì)雙切線問(wèn)題沒(méi)有很好地深入拓展，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法得出答案，使用常規(guī)方法硬算更是無(wú)從談起.

5 命題體會(huì)

通過(guò)參加本次命題比賽，筆者有很大的收獲.命制一道高質(zhì)量的試題并非易事，稍有不慎，命制的試題就會(huì)出問(wèn)題.命題是一次由內(nèi)而外的工作，需要站在更高的視角，然后從“接地氣”的角度去解答試題，要符合學(xué)生的思考方式和習(xí)慣.命題的過(guò)程不僅僅是出題和解題的過(guò)程，更是將問(wèn)題指向深入研究的過(guò)程.因此，命制高質(zhì)量的試題需要深厚的數(shù)學(xué)功底，良好的思維品質(zhì)，要求命題者不斷學(xué)習(xí)，不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

研究高考真題，感悟高考命題人的命題思路，感悟各種命題手法，更能促進(jìn)一線教師的成長(zhǎng).一線教師在日常教學(xué)中，要注重積累經(jīng)典試題，靈活地在課堂教學(xué)中加以改編應(yīng)用，既要善于收集素材，也要善于加工和應(yīng)用素材.總之，命題工作，任重道遠(yuǎn)，我們一直在路上.