“爪”型三角形重要結(jié)論的證明及其應用

范光龍

摘要：通過證明揭示“爪”型三角形的三個重要結(jié)論，并以兩道例題為例，探究“爪”型三角形的三

個重要結(jié)論的具體應用，以培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

關鍵詞：爪型三角形；三個結(jié)論；解三角形

如圖1所示，給出的是“爪”型三角形示意圖（其中點D在邊BC上，且與端點不重合）.由于此類解三角形問題在教材例習題以及模擬題、高考題中比較常見，且又能較好地考查學生的數(shù)形結(jié)合能力及運算求解能力，所以關注“爪”型三角形對應的幾個重要結(jié)論，有助于相關問題的順利求解［1］.

1 “爪”型三角形重要結(jié)論及其證明

重要結(jié)論1：在△ABC中，已知點D在邊BC上，且與端點不重合，連接AD，若∠BAD=α，∠DAC=β，則有sin αAC+sin βAB=sin（α+β）AD.

證明：由圖1知S△ABC=S△ABD+S△ADC，所以結(jié)合三角形的面積公式可得12AB·ACsin（α+β）=12AB·ADsin α+12AC·ADsin β.于是，對上式兩邊同除以12AB·AC·AD，即得sin αAC+sin βAB=sin（α+β）AD.故等式得證.

重要結(jié)論2：在△ABC中，若AD是BC邊上的中線，則有AD2=12AB2+12AC2-14BC2.

證明：注意到∠ADB和∠ADC是鄰補角，所以必有cos∠ADC=-cos∠ADB，從而在△ACD中，根據(jù)余弦定理可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC＼5cos∠ADC

=AD2+DC2+2AD·DCcos∠ADB.又由AD是BC邊上的中線，得BD=DC，所以可得

AC2=AD2+BD2+2AD·BDcos∠ADB.①

又在△ABD中，根據(jù)余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD·BD＼5cos∠ADB.②

由①②式相加，得AC2+AB2=2AD2+2BD2.即

AD2=12AB2+12AC2-BD2.

又BD=12BC，所以AD2=12AB2+12AC2-14BC2.故得證.

重要結(jié)論3：在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分線，則有AD2=AB·AC-BD·DC.

證明：因為AD是∠BAC的角平分線，所以BDDC=ABAC，即BD·AC=AB·DC，于是可得

BD·AC·（DC-BD）=AB·DC·（DC-BD）.

整理，得AC·BD2+AB·DC2=（AB+AC）·BD·DC，即

AC·BD2+AB·DC2AB+AC=BD·DC.

因為∠ADB和∠ADC是鄰補角，所以可以得到cos∠ADB=-cos∠ADC，即

AD2+BD2-AB22AD·BD=-AD2+DC2-AC22AD·DC.

結(jié)合BDDC=ABAC可得

AD2+BD2-AB2AB=-AD2+DC2-AC2AC，

再進行整理變形，得

（AB+AC）AD2=AB·AC（AB+AC）-AC·BD2-AB·DC2.

所以，可得

AD2=AB·AC-AC·BD2+AB·DC2AB+AC.

故AD2=AB·AC-BD·DC，得證.

2 “爪”型三角形重要結(jié)論應用舉例

例1? 在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD=.

解法1：在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，

即

（6）2=22+AC2-4AC·cos 60°，

解得AC=3+1（負值已舍）.

如圖2，因為AD為∠BAC的平分線，所以CDDB=ACAB

=3+12.

于是可以得到CD=3+13+3＼5BC=3+13+3×6=2.

所以BD=BC-CD=6-2.

于是，由重要結(jié)論3可得AD2=AB·AC-BD·CD=2（3+1）-（6-2）2=4.

故AD=2.

解法2：同方法1先求得AC=3+1.又易知∠BAD=30°，∠DAC=30°，從而根據(jù)重要結(jié)論1可得sin∠BADAC+sin∠DACAB=sin∠BACAD，即sin 30°3+1+sin 30°2=sin 60°AD，解得AD=2.

評注：解法1為了運用重要結(jié)論3求解AD的長，需要先根據(jù)余弦定理求出AC的長，再根據(jù)三角形角平分線性質(zhì)定理求出CD，BD的長.而解法2，先根據(jù)余弦定理求解AC的長，再根據(jù)重要結(jié)論1即可迅速獲解.對比可知，解法2比較簡單！

例2? 已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=bcos C+33csin B，c=4，a=2.

（1）若D為AC邊的中點，求BD的長；

（2）若BD為∠ABC的平分線，求BD的長.

解析：因為a=bcos C+33csin B，所以由正弦定理得sin A=sin Bcos C+33sin Csin B.

又注意到sin A=sin（B+C）=sin Bcos C+cos Bsin C，所以cos Bsin C=33sin Csin B.

于是，可得tan B=3.

又0

在△ABC中，由余弦定理，得b2=22+42-2×2×4cosπ3=12，所以b=23.

（1）根據(jù)重要結(jié)論2，得BD2=12BA2+12BC2-14AC2=12×42+12×22-14×（23）2

=7，所以可得BD=7.

（2）方法1：如圖3，BD為∠ABC的平分線，所以ADDC=ABBC=42=2，于是AD=23AC

=23×23=433，CD=AC-AD=23-433=233.

所以，根據(jù)重要結(jié)論3，得BD2=BA·BC-AD·CD=4×2-433×233=163，故BD=433.

方法2：因為BD為∠ABC的平分線，且B=π3，所以∠CBD=π6，∠DBA=π6.

于是，根據(jù)重要結(jié)論1，可得

sin∠CBDBA+sin∠DBABC=sin∠ABCBD，

即sinπ64+sinπ62=sinπ3BD，解得BD=433.

評注：本題側(cè)重考查解三角形與三角函數(shù)知識的綜合運用.其中第（1）問由于是求中線長，因此可運用重要結(jié)論2求解；第（2）問由于是求角平分線長，因此可運用重要結(jié)論3求解，亦可運用重要結(jié)論1求解.其實，如果能夠觀察到△ABC為直角三角形，則可以迅速求解.

總之，關注“爪”型三角形對應的幾個重要結(jié)論，有利于幫助我們提高對于解三角形中有關常用知識、方法的靈活運用能力，進一步加深對“爪”型三角形的理解與認識.另一方面，從解題能力視角來看，有利于幫助學生較好地培養(yǎng)直觀想象思維能力、邏輯推理能力以及數(shù)學運算求解等能力［2］.

參考文獻：

［1］曹亞奇，吳凱.論“爪型三角形”的歸類與突破［J］.中學生數(shù)理化（高考數(shù)學），2023（1）：38-40，2.

［2］鄧成兵.研究高考真題 提升核心素養(yǎng)——以一道“爪型”三角形的變式探究為例［J］.教學考試，2022（47）：64-68.