解三角形中的最值問(wèn)題

趙志桐+高文華

【摘要】解三角形是歷年高考題的考察重點(diǎn)，屬于必考內(nèi)容。在解三角形的問(wèn)題當(dāng)中，關(guān)于最大值、最小值、結(jié)果的范圍等問(wèn)題屬于其中的難點(diǎn)問(wèn)題。本文對(duì)于常見(jiàn)的解三角形中的極值問(wèn)題進(jìn)行了分類、歸納總結(jié)，使得學(xué)生能夠?qū)W會(huì)這類問(wèn)題的通式通法，在考場(chǎng)上節(jié)約時(shí)間，提高做題效率。

【關(guān)鍵詞】高考 解三角形 重要不等式 最值

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）29-0147-02

在解三角形中，僅僅應(yīng)用正弦定理以及余弦定理是不足以解決最值問(wèn)題的，需要與其他知識(shí)相結(jié)合才能解決。接下來(lái)本文就對(duì)解三角形中最值問(wèn)題常見(jiàn)的幾種情況進(jìn)行討論。

1.利用重要不等式得出最值

有些題目通常利用正弦定理、余弦定理對(duì)題目的已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以產(chǎn)生形如“ab”或“a2+b2”的形式，此時(shí)便可利用重要不等式“a2+b2≥2ab”，將其帶入得到最值。

例1已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為 。

解答：利用正、余弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得到sinA=■。

根據(jù)正弦定理S△ABC=■bcsinA=■bc，由題目已知條件可得bc=c2+b2-4，將重要不等式帶入可得bc=c2+b2-4≥2bc-4，即bc≤4，帶入之前的式子得到△ABC面積的最大值為■。

在這道題目當(dāng)中，通過(guò)對(duì)于正、余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合應(yīng)用，將題目的已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變換，將所求的三角形面積化簡(jiǎn)為■bc，將求三角形面積的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求bc的最大值。

接著將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化從而產(chǎn)生包含重要不等式的形式，進(jìn)而便能夠得到bc的最大值從而解決本題。

2.利用圖形來(lái)找到所求量的范圍

例2 在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 。

解答：∠A=∠B=∠C=75°，所以∠D=135°。又BC=2，所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，由正弦定理可得■=■，解得AB=■-■；

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，由正弦定理可得■=■，解得AB=■+■，

因?yàn)锳BCD為四邊形，所以AB∈（■-■，■+■）。

在這道題目之中，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，無(wú)法構(gòu)成四角形，此時(shí)為AB邊長(zhǎng)度的最小值；同理當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)AB邊長(zhǎng)度最大。所以只要分別求出這兩種情況下的AB的邊長(zhǎng)，也就得到了邊長(zhǎng)的最大值與最小值。

3.利用輔助角公式求解最值

例3：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面積的最大值。

解答：（1）通過(guò)正弦定理可以解出∠B=■，具體過(guò)程略。

（2）由正弦定理可知，S△ABC=■acsinB，且有■=■=■=2■，由此可得，S△ABC=2■sinAsinC=2■sinAsin（π-A-B）=2■sinAsin（π-A-■）=2■sinAsin（■π-A）=2■sinA（■cosA+■sinA）=2sinAcosA+2sin2A=sin2A-cos2A+1=■sin（2A-■）+1，所以△ABC面積的最大值為■+1，當(dāng)A=■時(shí)，取得最大值。

首先，利用正弦定理求解出∠B的值。第二問(wèn)通過(guò)正弦定理將所求面積轉(zhuǎn)化為求sinAsinC最大值。接著利用上一問(wèn)求出的∠B的大小，通過(guò)三角形內(nèi)角和、兩角和與差公式、三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只包含一個(gè)角與一個(gè)三角函數(shù)的形式，從而解答出本題。

在解三角形當(dāng)中涉及到最值問(wèn)題通常是考試中的難點(diǎn)，只要系統(tǒng)化掌握高中階段所學(xué)知識(shí)，能夠靈活運(yùn)用、融會(huì)貫通，這類問(wèn)題便將迎刃而解。