數(shù)列不等式問題常用證明策略

劉輝

［摘 要］文章結(jié)合實際問題，對數(shù)列不等式問題常用證明策略進(jìn)行總結(jié)分析，以期提高學(xué)生的解題能力。

［關(guān)鍵詞］數(shù)列；不等式；證明策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0028-03

數(shù)列和不等式都是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點，近年來，將兩者進(jìn)行綜合考查的數(shù)列不等式問題逐漸出現(xiàn)在高考試題中。相較于對單一知識點的考查，這種考查方法使得題目更加綜合、復(fù)雜。解答數(shù)列不等式問題，不但要求學(xué)生擁有扎實的數(shù)列知識，而且要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用不等式證明的常用方法。為了幫助學(xué)生全面系統(tǒng)地掌握數(shù)列不等式問題的證明策略，筆者結(jié)合例題對數(shù)列不等式問題的常見證明策略進(jìn)行分析。

一、單調(diào)性法

所謂單調(diào)性法是指結(jié)合“數(shù)列通項公式為特殊函數(shù)”這一特點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，進(jìn)而對不等式進(jìn)行證明。單調(diào)性法主要運(yùn)用在一側(cè)為常數(shù)的不等式證明問題的解答中。在實際的解題中，首先要對數(shù)列不等式進(jìn)行移項，將其視為函數(shù)[f（x）]，而后結(jié)合函數(shù)圖象或?qū)瘮?shù)進(jìn)行求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得函數(shù)[f（x）]即數(shù)列的最值與常數(shù)間的關(guān)系，證明不等式。

［例1］數(shù)列[an]滿足[a1=2] ， [an+1=2n+1ann+12an+2n]。

（1）設(shè)[bn=2nan]，求[bn]；

（2）記[cn=1n（n+1）an+1]，證明：[516≤c1+c2+c3+???+cn<12]。

解析：（1）[bn=n2+12]（過程略）；

（2）設(shè)數(shù)列[cn]的前[n]項和為[Sn]，即[Sn=c1+c2+c3+???+cn]，

由（1）知，[cn=12·n2+2n+2n（n+1）2n+1=12n2+nn（n+1）2n+1+n+2n（n+1）2n+1=1212n+1+1n·2n-1（n+1）2n+1]，故[Sn=1214+18+…+12n+1+1211×2-12×22+12×22-13×23+…+1n·2n-1（n+1）×2n+1=121-12n+1n+2n+1]。

令[f（n）=12n+1n+2n+1]，則[f（n）=12n+11+1n+1]，

分析可得[f（n）]單調(diào)遞減，所以[f（n）max=f（1）=121+11+21+1=38]，

因為[f（n）>0]，所以[0<12n+1n+2n+1≤38]，故[516≤121-12n+1n+2n+1<12]。

綜上所述，不等式[516≤c1+c2+c3+…+cn<12]成立。

本題借助函數(shù)的單調(diào)性，解題中首先根據(jù)[an]的通項公式得[cn]的通項公式，令數(shù)列[cn]的前[n]項和為[Sn]，通過計算可得[Sn=121-12n+1n+2n+1]，而后根據(jù)[f（n）=12n+1n+2n+1]的單調(diào)性，可得[516≤121-12n+1n+2n+1<12]，故得證。

二、比較法

比較法是解答數(shù)列不等式問題較為常用的一種方法，與常見解題方法不同，此法主要從不等式的視角切入。通過將不等式進(jìn)行整理，將其轉(zhuǎn)化為作差與0之間的關(guān)系，或者作商與1之間的關(guān)系，進(jìn)而得到不等式的證明結(jié)果。

［例2］[an]是由正數(shù)組成的數(shù)列，[a1=1]，且點[（an，an+1）] [（n∈N*）]在函數(shù)[y=x2+1]的圖象上。

（1）求數(shù)列[an]的通項公式；

（2）若數(shù)列[bn]滿足[b1=1，bn+1=bn+2an]，求證：[bn·bn+2

解析：（1）由點[（an，an+1） ][（n∈N*）]在函數(shù)[y=x2+1]的圖象上可知，[an+1=an+1]，即[an+1-an=1]，又[a1=1]，所以數(shù)列[an]是以[1]為首項，[1]為公差的等差數(shù)列，故[an=1+（n-1）×1=n]。

（2）由（1）可知，[an=n]，則[bn+1-bn=2n]，又[bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1][=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1]，則[bn·bn+2-b2n+1=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2=（22n+2-2n+2-2n+1）-（22n+2-2·2n+1+1）=-2n<0]，故[bn·bn+2

在本題的第（1）問中，根據(jù)題目信息，將點代入函數(shù)[y=x2+1]，通過計算可以輕松得到[an=1+（n-1）×1=n]。第（2）問則需要在第（1）問的基礎(chǔ)上，得到[bn+1-bn=2n]，而后將[bn·bn+2

三、放縮法

放縮法是解答不等式問題的常用方法，即通過將不等式一側(cè)的表達(dá)式進(jìn)行放大或縮小，通過證明新不等式成立，而后證明原不等式成立。在實際的解題中，首先根據(jù)題意將數(shù)列不等式進(jìn)行整理、化簡，而后對不等式一側(cè)進(jìn)行恰當(dāng)放大或縮小，接著將放縮后的式子與另一側(cè)進(jìn)行比較，最后借助不等式的傳遞性證明原不等式成立。常用的放縮法有裂項放縮法、等比放縮法、對偶放縮法、二項式定理放縮法等。在實際的解題中，學(xué)生需要結(jié)合實際問題靈活運(yùn)用各種解題方法。

［例3］函數(shù)[f（x）=x-1-alnx]，[a=1]時，[f（x）≥0]，設(shè)[m]為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)[n]，存在[1+12· 1+122·???·1+12n

解析：因為[a=1]時，[f（x）≥0]恒成立，所以[x-1≥lnx]恒成立，

可知[ln（x+1）≤x]對任意[x∈（-1，+∞）]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]時取等號。

令[x=12k（k∈N*）]，則[ln12k+1≤12k（k∈N*）]，所以[ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n≤12+122+…+12n]，而[12+122+…+12n=1-12n<1]，則[ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n<1]，即[1+121+122·…·1+12n

因此，對任意正整數(shù)[n]，[1+121+122·…·1+12n

在解題中，利用不等式性質(zhì)，將[ln12k+1]放縮為[ln12k+1≤12k]，將數(shù)列的通項公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項公式[12k]，借助[12+122+…+12n=1-12n<1]，進(jìn)而可得[m]的最小值為[3]。

四、分類討論法

在數(shù)列不等式問題中，倘若存在參數(shù)，學(xué)生便可以借助分類討論法進(jìn)行解題，即根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍，結(jié)合題意，對其進(jìn)行合理的分類，而后借助相關(guān)知識證明不同分類下不等式成立，最后對各種情況進(jìn)行綜合，便可得到不等式證明結(jié)果。

［例4］函數(shù)[f（x）=lnx-kx+1]，[k=1]時，[lnx≤x-1]對[x∈（0，+∞）]恒成立，證明[1+1221+132·…·1+1n21）]。

解析：[k=1]時，[lnx≤x-1]對[x∈（0，+∞）]恒成立，則當(dāng)[x=1]時，等號成立，所以[x∈（1，+∞）]，[lnx

令[x=1+1n2（n∈N*，n>1）]，代入[lnx

又[n=2]時，滿足[1+122=54

當(dāng)[n≥3]時，

[ln1+122+ln1+132+…+ln1+1n2<14+1212-14+…+1n-2-1n+1n-1-1n+1][=14+1212+13-1n-1n+1<812=23]，

即[ln1+1221+132·???·1+1n2<23]（[n∈N*]，[n>1]），

所以[1+1221+132·…·1+1n21]）。

本題存在參數(shù)[n]，在解題中需要對其進(jìn)行分類討論。對不等式進(jìn)行整理，合理放縮可得[ln1+1n2<1n2<1n2-1=121n-1-1n+1]。[n=2]時，滿足[1+122=541）]，所以[1+1221+132·…·1+1n21）]。

五、基本不等式法

基本不等式是解答不等式問題的常用方法，在解答數(shù)列不等式問題時，同樣可以借助基本不等式進(jìn)行證明，如[a+b≥2ab]、[ab≤a2+b22]等。同時，借助基本不等式，可以對題目進(jìn)行配方轉(zhuǎn)化、降次轉(zhuǎn)化、化簡變形等，進(jìn)而證明不等式。

［例5］數(shù)列[an]滿足[a1=a]，[an+1an-a2n=1（n∈N*）]，[bn=ann（n∈N*）]，并且[a=1]，求證：[2≤bn<32（n≥2，n∈N*）]。

解析：當(dāng)[a=1]時，[a1=1]，則可得[an+1=an+1an，an>0（n∈N*）]，故[an+1≥2an·1an=2]，當(dāng)且僅當(dāng)[an=1=a1]時等號成立，

所以[bn+1=an+1n+1≥22=2=b2]，

即當(dāng)[n≥2]時，[bn≥2]。

由[an=an-1+1an-1（n≥2）]，平方可得[a2n=a2n-1+2+1a2n-1]，即[a2n-a2n-1=2+1a2n-1]，又由[bn=ann≥2]，可得[a2n≥2n]，故當(dāng)[n≥3]時，可得[1a2n-1≤14]，可得[a2n-a2n-1≤2+14=94]。

由此可得[a2n≤1+（n-1）·94=94n-54<94n]，

進(jìn)而[b2n=a2nn<94]，即[bn<32（n≥3）]，

又[b2=2<32]，所以[bn<32（n≥2）]。

綜上，[2≤bn<32（n≥2，n∈N*）]。

本題借助常用的基本不等式進(jìn)行解題。借助不等式，易得[a=1]時，[an+1≥2an·1an=2]，可得[bn+1=b2]。由[an=an-1+1an-1（n≥2）]，通過平方，可得[a2n-a2n-1=2+1a2n-1]，即[a2n≥2n]。當(dāng)[n≥3]時，易證[a2n<94n]，[b2n=a2nn<94]，進(jìn)而可得[2≤bn<32（n≥2，n∈N*）]。

［例6］數(shù)列[an]滿足[an+1=an+4an+12+1，a1=32]，求證：[an≤3·2n-1-34]。

解析：由[an+1=an+4an+12+1]，得[2an+1-2an-2=4an+1]，

又[4an+1≤（4an+1）+12=2an+1]，

所以[2an+1-2an-2≤2an+1]，

即[an+1+32≤2an+32]，

所以[an+32≤2an-1+32≤22an-2+32≤…≤2n-1a1+32]，

所以[an+32≤3·2n-1]，[an≤3·2n-1-32]。

本題借助基本不等式，通過對不等式拆項，構(gòu)造出等比數(shù)列不等式，進(jìn)而解答問題。首先由[an+1=an+4an+12+1]得[2an+1-2an-2=4an+1]，進(jìn)而可以得到[an+1+32≤2an+32]，最后通過轉(zhuǎn)化可證明不等式[an≤3·2n-1-32]成立。

本文結(jié)合實際問題，分析了單調(diào)性法、比較法、放縮法、分類討論法、基本不等式法等在解答數(shù)列不等式問題中的運(yùn)用。在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相關(guān)問題的解題方法，以保證學(xué)生在考試中能夠快速解答問題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 黎正再.證明數(shù)列不等式常用的三種方法［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版下旬），2023（8）：43-44.

［2］? 丁軍.例析數(shù)列不等式證明常用策略［J］.高中數(shù)理化，2023（19）：58-59.

［3］? 劉艷.高考數(shù)列不等式的證明方法與技巧［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2023（7）：14-16.

［4］? 白亞軍.求解數(shù)列不等式的常見放縮技巧［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（9）：21-22，20.

（責(zé)任編輯? ? 黃桂堅）