基于數(shù)學(xué)史的“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”教學(xué)新設(shè)計(jì)

王睿祺 湯瓊 甄迎燁 鐘麗

課題信息：株洲市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)研究”，課題編號為ZJGH21-170.

摘要：在新課標(biāo)下，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中和教材上的體現(xiàn)都愈加明顯，把相關(guān)數(shù)學(xué)史運(yùn)用到課堂教學(xué)之中，可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，從而提升其數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).針對人教A版高中數(shù)學(xué)教材中“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”這一章節(jié)內(nèi)容，基于數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的方式進(jìn)行教學(xué)新設(shè)計(jì)，讓學(xué)生最大程度掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而更好地提高教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：等比數(shù)列；課堂教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)史

1 引言

在新課標(biāo)下，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中和教材上的體現(xiàn)都愈加明顯，人教A版教材幾乎在每個(gè)章節(jié)后都安排了有關(guān)數(shù)學(xué)文化的“閱讀與思考”板塊，方便有興趣的學(xué)生進(jìn)行課外拓展學(xué)習(xí)，并把相關(guān)數(shù)學(xué)史融入到課堂教學(xué)之中，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，開拓視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).

本文中將針對人教A版高中數(shù)學(xué)教材中“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”這一章節(jié)內(nèi)容，基于數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的方式進(jìn)行教學(xué)新設(shè)計(jì)，讓學(xué)生能夠更好地掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，使課堂教學(xué)效果得到提高.

2 教學(xué)新設(shè)計(jì)

2.1 學(xué)情分析

在本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往會對等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法產(chǎn)生困惑，不理解怎么會想到錯位相減法，有的甚至?xí)伎加袥]有其他的推導(dǎo)方法.本設(shè)計(jì)從學(xué)生的角度入手，思考如何利用數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動機(jī)和熱情，讓他們像歷史上的數(shù)學(xué)家一樣，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程，最大限度地吸收知識.

2.2 教學(xué)目標(biāo)

基于對《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2022年修訂）》［1］的分析以及數(shù)學(xué)文化的滲透，結(jié)合學(xué)生學(xué)情、實(shí)際教學(xué)情況和教材分析，設(shè)定如下教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握并理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的各種推導(dǎo)方法，學(xué)會利用公式解決實(shí)際問題；

（2）體會公式推導(dǎo)過程中滲透的數(shù)學(xué)思想，掌握一些基本的數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；

（3）體會潛藏在數(shù)學(xué)背后的理性精神，通過數(shù)學(xué)史深入探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引起積極思考，從中獲得智慧，從而更好地掌握數(shù)學(xué)知識.此外，還可以深刻領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，欣賞數(shù)學(xué)之美.

2.3 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.3.1 新課引入

從復(fù)習(xí)上節(jié)課的知識入手，先帶領(lǐng)學(xué)生回顧等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式等內(nèi)容，并且引用課本上的例子進(jìn)行提問，引起學(xué)生思考.

師：我們知道逐項(xiàng)相加可以對數(shù)列求和，但是這種方法對于有很多項(xiàng)的數(shù)列就不適用了.比如教材上提到的這個(gè)問題——國王要獎賞發(fā)明象棋的人，這個(gè)人要求在64格的棋盤上，第一個(gè)格子放一粒麥子，第二個(gè)格子放兩粒麥子，第三個(gè)格子放四粒麥子......以此類推，每一個(gè)格子都放前一個(gè)格子2倍的麥粒數(shù)，一直放到最后一個(gè)格子.如果你是國王，你會答應(yīng)他的要求嗎？不管要不要答應(yīng)，首先我們先算一下麥粒的總數(shù).

生：麥粒總數(shù)S=1+2+22+23+……+263，但是這個(gè)答案太大了，好像不能直接求出來.

師：確實(shí)，所以我們今天就要學(xué)習(xí)怎么解決這個(gè)問題.假設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1、公比q都已知，那么如何表示其前n項(xiàng)和呢？

生：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的定義，則有Sn=a1+a1q+……+a1qn-1.

師：知道了Sn=a1+a1q+……+a1qn-1，那么是不是可以用a1，q，n這些基本量來表示Sn呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過教材上的數(shù)學(xué)故事引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容——等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，為課堂設(shè)置了一個(gè)生動的開場白，奠定了整個(gè)課堂的文化基調(diào)，為后面提出數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)家的理論思想打下基礎(chǔ)，使學(xué)生接受起來更加順理成章.

2.3.2 公式推導(dǎo)

在課堂上大致給出公式的幾種推導(dǎo)方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組討論.小組討論后，讓各小組代表展示不同的推導(dǎo)方法［2］.這里筆者預(yù)設(shè)了五種推導(dǎo)方法，可視學(xué)生的反饋與具體教學(xué)情況隨時(shí)調(diào)整.

法1：等比定理法.

有學(xué)生提出可以利用之前學(xué)過的等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，結(jié)合等比定理推導(dǎo)出公式；還有學(xué)生利用定義，再通過合比性質(zhì)，經(jīng)過化簡也可以得到相同結(jié)論.這也是最基礎(chǔ)的推導(dǎo)方式，因?yàn)檫@種方法運(yùn)用到的都是一些基本的運(yùn)算與變換.筆者在學(xué)生提出推導(dǎo)方法之后簡單介紹這是歐幾里得推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法［3］，可以使學(xué)生感受到他們與數(shù)學(xué)家的同頻思想.

法2：遞推方程法.

有學(xué)生提出可以用遞推法，先寫出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1+a1q+……+a1qn-1，再從第二項(xiàng)開始提取公因式q，得到Sn=a1+q（a1+a1q+……+a1qn-2），而括號里的內(nèi)容又可以寫作Sn-1，也即Sn-a1qn-1，因此可以得到

Sn=a1+q（Sn-a1qn-1）.

當(dāng)q≠1時(shí)，

得

Sn=a1（1-qn）1-q.

在介紹這種方法時(shí)，順便介紹古埃及萊茵德紙草書問題［4］，激發(fā)學(xué)生探究的興趣.

法3：掐頭去尾法.

這種方法的思路比較特別，一般不容易想到.這就要求教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生.

師：還可以利用掐頭去尾法推導(dǎo)公式，通過我們剛剛已經(jīng)列舉出來的推導(dǎo)方法，有沒有同學(xué)有思路？

生：顧名思義掐頭就是去掉首項(xiàng)，去尾就是去掉最后一項(xiàng).

師：很好！可以說得更具體一點(diǎn)嗎？

生：就像法1中利用合比性質(zhì)得到的那個(gè)式子a2+a3+……+ana1+a2+……+an-1，分子就是Sn掐了頭a1，分母就是Sn去了尾an，分子還可以表示為“Sn-a1”，分母可以表示“Sn-a1qn-1”，則Sn-a1Sn-a1qn-1=q，可得Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1）.

師：非常好！（找同學(xué)在黑板上寫出推導(dǎo)思路）這種方法就是法國數(shù)學(xué)家拉克洛瓦在其《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中提出的很獨(dú)特的一種思路［5］.雖然這個(gè)方法不太容易想到，但同學(xué)們經(jīng)過老師的提醒還是很快地理解和領(lǐng)會了這個(gè)方法，這說明大家的數(shù)學(xué)思想距離那些歷史上的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)越來越近啦！

法4：錯位相減法.

這是教材上提出的唯一一種推導(dǎo)方法，也是學(xué)生普遍最能夠接受的方法.這種較為基礎(chǔ)的推導(dǎo)方式也可以讓學(xué)生適當(dāng)放松，將教學(xué)內(nèi)容逐漸轉(zhuǎn)移回歸到課本上，學(xué)生發(fā)散的思維也引回到課標(biāo)要求的思路上，方便教師繼續(xù)按照教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)目標(biāo)教學(xué).

法5：數(shù)學(xué)歸納法.

根據(jù)教材的安排，數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)內(nèi)容被安排在等比數(shù)列之后.這樣安排有一定的邏輯原因：首先，對于基礎(chǔ)一般的學(xué)生，利用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式，正好可以讓學(xué)生提前對數(shù)學(xué)歸納法有一個(gè)初步認(rèn)識；其次，利用數(shù)學(xué)歸納法探索與正整數(shù)n有關(guān)的問題的基本

的思路是“歸納—猜想—證明”，學(xué)生經(jīng)歷了前面幾種推導(dǎo)過程，已經(jīng)對等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式留下了了深刻的記憶點(diǎn)，此時(shí)正好可以利用數(shù)學(xué)歸納法對該公式的正確性再進(jìn)行確認(rèn)和鞏固，幫助學(xué)生更好地理解公式.

師：接下來老師再介紹一種推導(dǎo)方法.它和其他方法不一樣，這個(gè)方法要求我們先發(fā)現(xiàn)規(guī)律再來證明，也就是說先通過觀察、歸納，然后猜想等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，最后再對進(jìn)行證明.

生：這里的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法.

師：好，有預(yù)習(xí)過下節(jié)課內(nèi)容的同學(xué)提到了.對，這種證明與正整數(shù)n有關(guān)命題的方法就叫數(shù)學(xué)歸納法.具體的步驟就是對于這種有n項(xiàng)的式子，我們先驗(yàn)證n=1的時(shí)候成立，再假設(shè)它在n=k的時(shí)候成立，然后看能不能推出n=k+1時(shí)也成立.下面我們就嘗試?yán)脭?shù)學(xué)歸納法證明等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，有同學(xué)愿意主動上黑板來試試嗎？

生：老師，我來試試！

教師輔助學(xué)生在黑板上寫出大致過程，首先驗(yàn)證n=1時(shí)公式成立，然后假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)公式成立，即Sk=a1（1-qk）1-q，則n=k+1時(shí)，有

Sk+1=Sk+ak+1=a1（1-qk）1-q+a1qk=a1（1-qk+1）1-q成立，由數(shù)學(xué)歸納法原理，命題得證.

設(shè)計(jì)意圖：通過介紹五種推導(dǎo)方法，同時(shí)將其與數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)家結(jié)合起來介紹，使得學(xué)生的思維緊跟著歷史上數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，按照邏輯順序合理推進(jìn)課程，更加有利于學(xué)生對等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和公式本身有更深刻的認(rèn)識.

2.3.3 公式應(yīng)用

經(jīng)過公式推導(dǎo)的環(huán)節(jié)后，教師帶領(lǐng)學(xué)生回歸到本節(jié)課開頭提到的國王獎賞象棋發(fā)明者麥子的問題，首尾呼應(yīng).

師：推導(dǎo)出公式之后，我們是不是就可以解決課堂一開始提到的國王賞麥的問題啦？請同學(xué)們解決一下國王的問題.

生：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可得

S64=1+2+22+……+263=1×（1-264）1-2=264-1.

師：很好！根據(jù)教材給出的數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)字超過了1.84×1019，所以根據(jù)小麥的產(chǎn)量，國王根本不能完成他的承諾.這個(gè)數(shù)字是不是比我們想象的要大得多？這就是等比數(shù)列求和所體現(xiàn)出來的極小的事物也可以演變成無窮無盡的總量的奧秘，正所謂我們在語文課中學(xué)到的什么道理？

生：不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.

師：沒錯.這就是積累，也是數(shù)學(xué)的魅力.

接下來給學(xué)生展示一些古今歷史上等比數(shù)列求和公式的經(jīng)典例題，讓學(xué)生更深刻地體會學(xué)習(xí)這個(gè)公式的必要性.有關(guān)現(xiàn)代的例題可以直接從教材上選取有代表性的例題，加強(qiáng)與教材的聯(lián)系；古代例題可參考文［6］，其中關(guān)于等比數(shù)列的求和問題共有4道.

例1? 今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？

例2? 今有蒲生一日，長三尺;莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？

例3? 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為-1，前n項(xiàng)和為Sn，若S10S5=3132，求公比q.

例4? 已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，前n項(xiàng)和為Sn.證明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的公比.

設(shè)計(jì)意圖：通過列舉一些數(shù)學(xué)名著中的經(jīng)典例題，學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)從古至今一直都吸引著數(shù)學(xué)家進(jìn)行不懈的探索，也可以從歷史的長河中體會到數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的創(chuàng)新精神，從而更能激發(fā)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣［2］.同時(shí)在最后總結(jié)時(shí)與語文學(xué)科中的古詩詞聯(lián)系在一起進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)，讓學(xué)生感受到各學(xué)科知識的融會貫通，打破了各個(gè)學(xué)科之間的壁壘，有利于提升學(xué)生的成就感，容易引起學(xué)生共鳴，從而更好地促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

3 教學(xué)反饋與評析

3.1 教學(xué)反饋

課后發(fā)放問卷調(diào)查學(xué)生聽課情況，問題主要是關(guān)于能否聽懂這節(jié)課的內(nèi)容，是否喜歡這種將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的授課方式，這節(jié)課的相關(guān)數(shù)學(xué)史知識給了你什么啟發(fā)與幫助，最喜歡等比數(shù)列求和公式的哪種推導(dǎo)方式以及對這節(jié)課印象最深的是什么［2］.

通過問卷調(diào)查，可以根據(jù)結(jié)果推斷出數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的模式對學(xué)生理解知識的程度以及課堂專注度有怎樣的影響，同時(shí)根據(jù)學(xué)生對這節(jié)課的評價(jià)決定其他部分的教學(xué)內(nèi)容是否應(yīng)該通過融入數(shù)學(xué)史的方式來增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)欲望，體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

3.2 教學(xué)創(chuàng)新

在“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的教學(xué)新設(shè)計(jì)中，探究等比數(shù)列求和公式的各種推導(dǎo)方法時(shí)，介紹相應(yīng)的推導(dǎo)方式是由哪些著名數(shù)學(xué)家以及數(shù)學(xué)著作中提到的，讓學(xué)生了解到古代數(shù)學(xué)家也是通過同樣的思路來證明相同的問題，從而不再對數(shù)學(xué)證明望而生畏，拉進(jìn)學(xué)生與數(shù)學(xué)史之間的距離，一定程度上消除學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼，保證數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的專注度.

本文中教學(xué)設(shè)計(jì)的各個(gè)環(huán)節(jié)一脈相承，在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)融入數(shù)學(xué)史之后，趁熱打鐵在習(xí)題練習(xí)的環(huán)節(jié)繼續(xù)以數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》為例，采用里面經(jīng)典例題進(jìn)行聯(lián)系，與“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”一節(jié)相呼應(yīng)，體現(xiàn)了教學(xué)設(shè)計(jì)的整體性［5］；同時(shí)還鍛煉了學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)，起到了跨學(xué)科教學(xué)的作用，打破了各個(gè)學(xué)科之間的壁壘，容易引起學(xué)生共鳴，從而更好地促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］汪曉勤，沈中宇.數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)：理論、實(shí)踐與案例［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

［3］汪曉勤，韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史［M］.北京：科學(xué)出版社，2002：95-109.

［4］汪曉勤.紙草書上的數(shù)列問題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（1）：29-31.

［5］李玲，汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（11）：46-49.

［6］肖維松.《九章算術(shù)》等比數(shù)列問題［J］.高中數(shù)理化，2011（24）：8-10.