探討與一次函數(shù)有關(guān)綜合題的求解思路

摘? 要：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，深刻理解數(shù)學(xué)概念、公式、定理、性質(zhì)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和教材特點(diǎn)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路，培養(yǎng)解題思維，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，探索新知領(lǐng)域.文章以一次函數(shù)為例，探討與其有關(guān)的綜合題的求解思路.

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；綜合題；求解思路

中圖分類號(hào)：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）14-0064-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡(jiǎn)介：鄭振養(yǎng)（1976.8—），男，本科，一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一次函數(shù)常常與其他知識(shí)相結(jié)合，能夠形成各式各樣的綜合性問題．這類綜合題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，求解方法靈活多樣，具有一定的選拔性功能，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高．在具體解題過程中，有些學(xué)生對(duì)這類題感到無從下手［1］．基于此，筆者以一次函數(shù)有關(guān)的中考題為例，介紹這類問題的求解思路［2］．

1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的綜合題

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中最基本的函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，除了具有一次函數(shù)的性質(zhì)外，還具有一些特殊性質(zhì).對(duì)一次函數(shù)y=kx+b而言，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小.

1.1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義

在理解定義時(shí)需要注意以下兩個(gè)方面：第一，在一次函數(shù)y=kx+b中，之所以要規(guī)定k≠0，這是因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)，y=b，此時(shí)不論x取什么實(shí)數(shù)，函數(shù)y的值總是等于常數(shù)b，這是常數(shù)函數(shù)，所以要規(guī)定k≠0；第二，從正比例函數(shù)的定義可以得出，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例．

例1? 寫出下列函數(shù)關(guān)系式，并判斷有哪些屬于一次函數(shù)，哪些屬于正比例函數(shù)？

（1）正三角形周長(zhǎng)W與其邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系；

（2）正方形面積S與其邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系．

解析? （1）由正三角形的定義易得W=3a，自變量a是W的一次函數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為0，因此正三角形的周長(zhǎng)W與其邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系也是正比例函數(shù).

（2）S=x2，因變量是S，自變量是x，x的次數(shù)是2，它既不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)．

1.2 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式

一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b中有兩個(gè)待定系數(shù)k和b，確定了它們的值就確定了一個(gè)一次函數(shù)，故一般需要兩個(gè)條件才可確定一個(gè)一次函數(shù).正比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx中只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了它的值就確定了一個(gè)正比例函數(shù)，故一般只需一個(gè)條件就可以確定一個(gè)正比例函數(shù)．

例2? 某一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-2，2）和（2，0），求其解析式．

解析 ?設(shè)其解析式為y=kx+b，根據(jù)題意可知2=-2k+b，0=2k+b，解之得，k=-1/2，b=1，故所求一次函數(shù)解析式是y=-1/2x+1.

點(diǎn)評(píng)? 在求函數(shù)解析式時(shí)，正比例函數(shù)都應(yīng)設(shè)為y=kx（k≠0）的形式.一次函數(shù)都應(yīng)設(shè)為y=kx+b（k≠0）的形式，然后根據(jù)題意列方程（組）求出待定系數(shù)即可寫出其解析式．

2 一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合

正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都是直線，故可稱直線y=kx和直線y=kx+b，前者是過點(diǎn)（0，0）和（1，k）的直線，而后者是過點(diǎn)（0，b）與（-b/k，0）的直線，直線y=kx和y=kx+b互相平行，事實(shí)上，后者可看作是由前者向上或向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.例如，y=3x+2與y=3x-2可分別由直線y=3x向上平移2個(gè)單位和向下平移2個(gè)單位而得到.常數(shù)k代表圖象的傾斜程度，b表示圖象在y軸上的截距，即直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，它們的符號(hào)決定著直線的位置.即當(dāng)k＞0時(shí)，直線必過第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，直線必過第二、四象限；當(dāng)b＞0時(shí)，直線交y軸于正半軸；當(dāng)b=0時(shí)，直線過原點(diǎn)；當(dāng)b＜0時(shí)，直線交y軸于負(fù)半軸．

例3? 如圖1所示，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=k/x相交于點(diǎn)A（3，4），B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1．

（1）直接寫出a=，b=，c=；

（2）如圖2，點(diǎn)M（0，m）在y軸上，連接AM，BM，當(dāng)△ABM的面積為15時(shí)，求m的值；

（3）關(guān)于x的不等式ax+b＜k/x的解集是．

解析? （1）a=-2/3，b=6，k=12；

（2）如圖2所示，設(shè)直線y=-2x/3+6交y軸于點(diǎn)C，易知C（0，6），因?yàn)镾△ABM=S△CBM-S△ACM=15，所以CM（6-3）/2=15，所以CM=10，所以m的值為16或-4；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，關(guān)于x的不等式ax+b＜k/x的解集為0＜x＜3或x＞6．

點(diǎn)評(píng)? 一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象相結(jié)合充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，這類問題其題型廣泛，求解方法靈活，能夠綜合考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.問題（3）是不等式問題，體現(xiàn)了函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，求解時(shí)需根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的位置關(guān)系確定不等式的解集．

3 一次函數(shù)與圖形面積相結(jié)合

例4? 如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x+6圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，一次函數(shù)y=-2x+t的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，并與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求△AOB的面積；

（2）動(dòng)點(diǎn)Q在直線AB上，當(dāng)△AMQ的面積為21時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解析? （1）易求得A（-3，0），B（0，6），所以O(shè)B=6，OA=3，所以1/2OA·OB=9.

（2）根據(jù)已知條件易得t＝6，所以直線BM的解析式為y＝-2x+6，易知當(dāng)y＝0時(shí)，x=3，所以M（3，0）.當(dāng)△AMQ的面積為21時(shí)，（AM·Qy）/2=21，所以Qy=7，即滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0.5，7）或（-6.5，-7）．

點(diǎn)評(píng)? 一次函數(shù)與圖形面積的結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)、坐標(biāo)、圖形面積之間的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想在解題中的運(yùn)用，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

4 一次函數(shù)與比例性質(zhì)結(jié)合

例5? 若abc≠0，且（a+b）/c=（b+c）/a=（a+c）/b=2m，則直線y=mx+m的一定經(jīng)過哪些象限？

解析? 顯然，需根據(jù)已知條件確定出m的值.由等比的性質(zhì)可得［2（a+b+c）］/（a+b+c）=2m，所以m=1，所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+1，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則m=-1/2，一次函數(shù)y=-x/2-1/2的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以一次函數(shù)y=mx+m的圖象一定過第二、三象限．

5 一次函數(shù)與圓的切線結(jié)合

例6? 如圖4，直線 y=-3x/4-3 交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

解析? 當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，如圖6所示，因?yàn)閥=-3x/4-3 ，所以A-4，0，B0，-3，所以O(shè)A=4，OB=3，所以AB=32+42=5.

作PD⊥AB于D，則∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，所以△APD∽△ABO，所以PD/OB=AP/AB.當(dāng)PD=1時(shí)，⊙P與直線 AB 相切，即1/3=AP/5，解得AP=

5/3，所以O(shè)P=7/3.同理可得 OP′=

17/3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為-7/3，0或 -17/3，0．

點(diǎn)評(píng)? 解決一次函數(shù)與圓的切線相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生需熟悉圓的切線的性質(zhì).這類問題綜合性強(qiáng)，靈活運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6 一次函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合

例7? 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x+5的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=ax2+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）若二次函數(shù)y=ax2+bx（a≠0）的圖象經(jīng)過線段AB上的點(diǎn)C（不含A、B兩點(diǎn)），且BC=5，求二次函數(shù)的關(guān)系式．

解析? （1）令x=0，y=5，則B（0，5）.令y=0，則-2x+5=0，所以x=5/2，即A（5/2，0）.

（2）設(shè)點(diǎn)C（m，-2 m+5），因?yàn)锽（0，5），所以BC=m2+（-2m+5-5）2=5|m|，故m=±1.因?yàn)镃在線段AB上，所以m=1，所以C（1，3）.將點(diǎn)A（5/2，0），C（1，3）代入y=ax2+bx（a≠0）中，得6.25a+2.5b=0，a+b=3，所以a=-2，b=5.所以二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2x2+5x．

點(diǎn)評(píng)? 本題主要考查一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，仔細(xì)分析條件和結(jié)論，先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用勾股定理，建立方程求出C點(diǎn)坐標(biāo)，從而解決問題．

7 結(jié)束語

在解決與一次函數(shù)有關(guān)的綜合性問題時(shí)，學(xué)生應(yīng)在觀察、分析、應(yīng)用中，歸納總結(jié)出很多新的知識(shí)、新的學(xué)習(xí)思路及解題規(guī)律.運(yùn)用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)有更好的延展性．

參考文獻(xiàn)：［1］ 程蘭.以一次函數(shù)為背景的規(guī)律探究［J］.初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2022（7）：10-12.

［2］ 張?jiān)?“一次函數(shù)”單元整體復(fù)習(xí)［J］.初中生輔導(dǎo)，2022（9）：33-34，11.

［責(zé)任編輯：李? 璟］