極端化策略在解決函數(shù)問題中的應用

摘? 要：利用問題中的極端情形分析解決問題的方法稱之為極端化策略.極端化策略的優(yōu)勢在于能夠?qū)碗s的問題轉(zhuǎn)化為淺顯易懂的問題，從而達到事半功倍的解題效果.極端化策略是解決函數(shù)問題的有效方法，在解決問題的過程中，教師需關注學生的學習過程，為學生提供簡便直觀的解題思路，提高學生的解題能力.文章從數(shù)形結合、約束條件、求解區(qū)間三個角度入手，分析極端化策略在解決函數(shù)關系問題中的應用.

關鍵詞：極端化策略；函數(shù)問題；應用

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0009-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：孫會會（1984.7—），女，江蘇省連云港人，本科，中小學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

極端化策略是指將某一圖形、數(shù)字或動點的變化狀態(tài)推向極端大小或極端位置，并以此為落腳點作出猜測［1］，然后根據(jù)極端大小或極端位置導出一般結論的解題策略.由此可以看出，極端化策略主要考查某一問題的特殊情形.在應用極端化策略解題時，解題過程往往更加簡潔明了.函數(shù)關系問題中滲透了大量極端化思維與方法.在初中數(shù)學函數(shù)問題的解題教學中，引導學生學會熟練利用極端化策略解決復雜問題，是提高學生解題效率、培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效手段［2］.

1 數(shù)形結合，確定最值

在分析函數(shù)關系問題時，往往需要考慮特定的極端圖形.例如，在求函數(shù)的最大值或最小值的問題中，最大值或最小值就是極端量，往往需將其轉(zhuǎn)化為圖形的臨界位置［3］，然后借助圖形呈現(xiàn)數(shù)量變化規(guī)律，進而找到函數(shù)關系問題的解題突破口.在解決這類問題的過程中，學生也需要從極端情況出發(fā)，利用數(shù)形結合的方法解決問題.這種方法能夠?qū)⒊橄蟮暮瘮?shù)問題以幾何圖形的形式呈現(xiàn)，能夠使最大值或最小值更直觀具體地反映在幾何圖形上，從而降低學生的解題難度，簡化問題的求解過程.

例1? 已知實數(shù)x，y，z滿足z=4y2-16y+20+9x2-12xy+4y2+1+9x2+4，當z取最小值時，x和y各是多少？

解析? 此函數(shù)關系式十分復雜，欲解決這一問題，需要對其進行適當變形.在解決此問題的過程中，教師需引導學生對每個二次根式的被開方式進行配方處理，然后利用數(shù)形結合思想分析問題.顯然，配方后的式子與兩點之間的距離公式相關，故可考慮利用“兩點之間線段最短”解決問題.

z=4y2-16y+20+9x2-12xy+4y2+1+9x2+4

=（4-2y）2+（3-1）2+（2y-3x）2+（1-0）2+（3x-0）2+（0-2）2.

顯然，經(jīng)過配方處理后，原本復雜的式子被轉(zhuǎn)化為直線距離問題.易知A（-2，0），B（0，3x），C（1，2y），D（3，4），因為AB+BC+CD≥AD，從圖1可以看出，當點B和點C位于線段AD上時，z的值最小，此時3x/2=4/5，2y/3=4/5，解得x=8/15，y=6/5.

例2? 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D為AB邊上的動點，但不與點A和點B重合.過點D作線段CD的垂線并與射線CA相交于點E，設線段AD=x，CE=y.圖3所示的圖象中能夠表示y和x函數(shù)關系的是（? ）.

解析? 根據(jù)已知條件，D為AB邊上的動點，雖然在運動過程中不會與點A和點B重合，但是可以從特殊情況入手思考問題，即從點D與點A或點B重合的角度出發(fā)，倒推解題思路.

當點D與點A重合時，因為DE⊥DC，此時點E與點A重合，根據(jù)題意可知CE=AC=3.當點D在AB的中點處時，則CD=AC，∠ECD=∠DAC=30°，由此可以得知CE=23/3.當點D與點B重合時，由于DE⊥DC，所以DE∥AC，此時x無法取到2，所以y為無限大.綜上所述，因為∠ACB=90°， ∠BAC=30°，AB=2，所以BC=1，AC=3，如果x=0，那么y=3；如果x=1，那么y=23/3；如果x=2，因為DE⊥DC，所以DE∥AC，所以此時x無法取到2，y為無限大.故正確的圖象應當為B.

對于以上兩道例題，如果采用常規(guī)方法求解，其難度較大，耗費大量的時間和精力也不一定能得到正確結論.根據(jù)題目中包含的暗示信息，可以考慮從極端情況出發(fā)，將“數(shù)”與“形”結合起來，不僅可以為解決復雜問題提供切入口，而且也對確定解題方向具有一定的導向作用.

2 確定最值約束條件

在函數(shù)問題中，最值往往有相應的約束條件.欲想從最值的角度入手解決問題，就需要明確最值的約束條件.對學生而言，有條件約束的函數(shù)問題難度較高，尤其是在解決二次函數(shù)問題時，學生更需要從最值約束條件出發(fā)，確定基本的求解思路，然后結合函數(shù)圖象滲透條件約束，形成對二次函數(shù)問題的深刻認識，為問題解決創(chuàng)造條件.

例3? 種子市場新進了一款種子，這款種子進價為每袋30元.在試營業(yè)期間發(fā)現(xiàn)，種子單價x和銷售量m之間的關系為m=162-3x，并且該種子市場決定將種子的單價設置在30～50區(qū)間內(nèi).請問種子市場的這款種子的日利潤和單價之間的函數(shù)關系式是什么？為了獲取最大的銷售利潤，該種子市場需將這款種子的售價定為多少？此時最大的銷售利潤是多少？

解析? 由題意可知，自變量x的取值范圍是30≤x≤50.該種子每千克的利潤為（x-30） 元，那么當日銷售總利潤為m（x-30） 元.

因為m=162-3x，所以y=（x-30）（162-3x）=-3x2+252x-4 860，顯然y是x的二次函數(shù)，此二次函數(shù)對稱軸為x=-b/2a=42，顯然x=42滿足30≤x≤50.又因為該二次函數(shù)的圖象開口向下，所以最大值在對稱軸x=42處取得，所以ymax=-3×42×42+252×42-4 860=432.

綜上所述，市場將該款種子的單價定為42元時，可以獲得最大利潤，并且當日的最大利潤為432元.

由此可以看出，在解決此類二次函數(shù)問題時，學生需要先確定x的取值范圍，以取值范圍為參考確定最值可能出現(xiàn)的情況.在求解得出最終的結果后，需要利用x的取值范圍進行驗證，確保最終答案的嚴謹性、準確性.

3 確定求解區(qū)間

確定最值的求解區(qū)間與劃分約束范圍有異曲同工之處，但兩者的解題思路不同.確定最值約束條件是為了提高最終求解結果的準確性與嚴謹性，確保最終求得的結果符合題目要求.而確定求解區(qū)間是指在題干中給定了x的取值范圍，這類問題的求解過程相對更加復雜且難度更高.

3.1 函數(shù)區(qū)間及對稱軸均固定

例4? 求函數(shù)y=x2-2x-3在［-2，2］上的最大值和最小值.

解析? 因為此函數(shù)的自變量所在的區(qū)間與對稱軸固定，所以函數(shù)的最大值和最小值也有可能在此函數(shù)圖象的頂點處取得.由已知條件可知該二次函數(shù)的開口向上，那么該二次函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間［-2，2］的端點處取得.由二次函數(shù)的性質(zhì)易知其圖象的對稱軸為x=1，顯然x=1在區(qū)間［-2，2］內(nèi)，所以二次函數(shù)在該區(qū)間中的最小值為y=-4.易知該二次函數(shù)在區(qū)間［-2，2］中的最大值則為y=5，此時x=-2.綜上所述，二次函數(shù)y=x2-2x-3在［-2，2］上的最大值為5，最小值為-4.

3.2 對稱軸固定，但區(qū)間不固定

這一情況指的是根據(jù)題干給定的函數(shù)關系式可以確定該函數(shù)的對稱軸，但是無法確定該函數(shù)的區(qū)間范圍.也就是說，在題干給定的區(qū)間范圍上存在變量，此類問題主要考查學生對對稱軸與區(qū)間之間關系的掌握程度.

例5 ?求y=-x2+2x-2在區(qū)間［t，t+1］上的最大值.

解析? 顯然，函數(shù)y=-x2+2x-2是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知拋物線的對稱軸為x=1，但是并不能確定x的取值范圍.本題與例4之間的最大區(qū)別是此題中的x的取值范圍中存在變量，所以很難確定該區(qū)間的端點值，也無法利用函數(shù)圖象直接求解，所以在具體的解題過程中需要判斷區(qū)間和對稱軸之間的關系，分情況求解.

易知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，如果該函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，那么t+1＜1，ymax=y（t+1）=-t2-1；如果該函數(shù)的對稱軸在區(qū)間范圍當中，那么t≤1≤t+1，所以0≤t≤1，從而可得ymax=-1；如果該函數(shù)的對稱軸的區(qū)間的右側(cè)，那么t≤1，ymax=-t2+2t-2.

3.3 函數(shù)區(qū)間固定、對稱軸不確定

例6? 函數(shù)y=-x2+2ax+1在區(qū)間［-1，2］上的最大值為多少？

解析? 根據(jù)題干給定信息，可以得知該函數(shù)圖象的對稱軸為x=a.當對稱軸在區(qū)間［-1，2］左側(cè)時，a＜-1，ymax=-2a，此時x=-1；當對稱軸在區(qū)間范圍內(nèi)時，那么-1≤a≤2，ymax=a2+1，此時x=a；當對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時，那么a≥2，ymax=4a-3，此時x=2.

由此可以看出，在解決函數(shù)問題時，需從不同情況出發(fā)，先確定影響最值的關鍵因素，如x取值范圍、函數(shù)圖象的對稱軸等，然后再確定最值可能出現(xiàn)的幾種情況.這對于提高學生解題效率，加深學生對函數(shù)問題的理解有重要意義.

4 結束語

函數(shù)知識是初中數(shù)學中最重要的內(nèi)容之一，在中考命題中占據(jù)較大比例，考查的知識范圍非常廣泛.在中考數(shù)學試題中，函數(shù)問題與其他問題深度融合，也衍生了諸多具有綜合性和復雜性的問題，這不僅對學生的計算能力提出了較高要求，而且對學生的邏輯思維和想象力要求更高.基于此，在初中數(shù)學教學中，教師需引導學生嘗試利用極端化策略反向推理解題思路，在明確解題思路的基礎上應用函數(shù)知識解決復雜問題.

參考文獻：［1］

賓朝路.基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的初中數(shù)學解題教學研究：以2023年重慶中考數(shù)學為例［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（3）：35-36.

［2］ 朱春霞.初中數(shù)學解題中培養(yǎng)學生函數(shù)思維［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（3）：37-38.

［3］ 徐樂.指向高階思維的初中數(shù)學解題教學：以某中考試題為例［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（1）：27-28.

［責任編輯：李? 璟］