“平面直角坐標(biāo)系中的直線”單元復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)錄

武祥甲

本節(jié)課是上教版選擇性必修第一冊第1章“平面直角坐標(biāo)系中的直線”的復(fù)習(xí)課.本章中學(xué)生學(xué)習(xí)了直線的傾斜角、斜率，直線的方程，兩條直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離等知識.本節(jié)課將對整章的知識進(jìn)行梳理，形成知識網(wǎng)絡(luò)；對重點(diǎn)知識加以復(fù)習(xí)鞏固，加深學(xué)生的理解；結(jié)合實(shí)例滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的方法和解析幾何的基本思想，發(fā)展邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1 教學(xué)分析

1.1 學(xué)情分析

本節(jié)課所授班級學(xué)生處于區(qū)內(nèi)中等偏下水平，雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的傾斜角與斜率、直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離，但學(xué)生的知識點(diǎn)是零散的，知識系統(tǒng)還未形成.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過復(fù)習(xí)直線的傾斜角與斜率的相關(guān)基礎(chǔ)知識，推導(dǎo)出直線的點(diǎn)斜式方程、點(diǎn)方向式方程、點(diǎn)法式方程，進(jìn)一步體會“確定直線點(diǎn)與向，方程各異本一樣”.

（2）結(jié)合實(shí)例，鞏固對直線的傾斜角、斜率概念的理解，根據(jù)題目特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程求解問題，靈活運(yùn)用兩條直線的夾角公式、點(diǎn)到直線的距離公式，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1.3 教學(xué)重點(diǎn)及學(xué)習(xí)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：通過梳理本章知識點(diǎn)形成知識體系，使學(xué)生感受相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能根據(jù)不同的條件設(shè)直線方程，并合理選擇運(yùn)算方法解決問題.

2 教學(xué)過程

2.1 復(fù)習(xí)基礎(chǔ)構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)——由厚到薄

師：前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線的傾斜角與斜率、直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離，今天一起來復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)系中的直線.那怎么樣確定一條直線呢？

生：兩個(gè)點(diǎn)，或者一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向.

師：對，接下來我們一起看例1.

例1? 已知直線l：y=ax+1和點(diǎn)A（1，2），B（5，-1）.

（1）①直線AB斜率k=，傾斜角θ=；

②直線AB的點(diǎn)斜式方程為；

③直線AB的點(diǎn)方向式方程為；

④直線AB的點(diǎn)法式方程為；

⑤直線AB的一般式方程為.

（2）①直線l與線段AB相交，則a的取值范圍為，直線l傾斜角θ的范圍為.

②若直線l與線段AB不相交，則a的取值范圍為，直線l傾斜角θ的范圍為.

（3）若a=1，則直線AB關(guān)于直線l對稱的直線方程為.

（4）若直線l∥AB，且直線m被直線l和直線AB所截得的線段的長為725，則直線m的斜率k為.

師：請第一列的同學(xué)根據(jù)圖1按順序分別回答第（1）題的5個(gè)小問.

生1：利用k=y2-y1x2-x1=tan θ，得出k=-34，從而推出θ=π-arctan34.

師：直線的斜率有兩種表示形式，即k=y2-y1x2-x1=tan θx1≠x2，θ≠π2.已知直線斜率求傾斜角時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，θ=arctan k；當(dāng)k=0時(shí)，θ=0；k<0，θ=π+arctan k.接下來我們看第（1）題第②問.

生2：直線AB的斜率k=-34，選擇點(diǎn)A（1，2），可得點(diǎn)斜式方程為y-2=-34（x-1）.

師：很好！由直線斜率的表達(dá)式k=y2-y1x2-x1可得點(diǎn)斜式方程為y-y0=k（x-x0）.

生3：直線的方向向量d=AB=（4，-3），選擇點(diǎn)A（1，2），可得點(diǎn)方向式方程為x-14=y-2-3.

師：由直線斜率的兩種表示形式k=y-y0x-x0=tan θ=sin θcos θ，通過變形可得出直線的點(diǎn)方向式方程為x-x0cos θ=y-y0sin θθ≠0且θ≠π2，其中方向向量d=（cos θ，sin θ）.

生4：由直線的方向向量d=AB=（4，-3），可得直線的法向量n=（3，4），從而得出直線的點(diǎn)法式方程為3（x-1）+4（y-2）=0.

師：通過直線的點(diǎn)方向式方程x-x0cos θ=y-y0sin θ，可以進(jìn)一步推出其點(diǎn)法式方程為（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，其中法向量n=（sin θ，-cos θ）.

生5：化簡可得3x+4y-11=0.

師：在求直線方程的時(shí)候，如果直線方程的形式?jīng)]有特別要求，通常把它化成一般式.

師：（這部分內(nèi)容在講評例1時(shí)已經(jīng)逐個(gè)板書在黑板左邊）兩個(gè)點(diǎn)或一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線，通過斜率k=y2-y1x2-x1=tan θx1≠x2，θ≠π2可以得出點(diǎn)斜式方程y-y0=k（x-x0）、點(diǎn)方向式方程x-x0cos θ=y-y0sin θ、點(diǎn)法式方程（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，所以，總結(jié)為“確定直線點(diǎn)與向，方程各異本一樣”，接下來我們繼續(xù)看例1的第（2）題.

生6：直線l恒過點(diǎn)C（0，1），直線AC的斜率為1，直線BC的斜率為-25，結(jié)合圖2可得直線l的斜率a的范圍為-25，1，其傾斜角θ的取值范圍為0，π4∪π-arctan25，π.同理可得第②小問直線l的斜率a的范圍為-∞，-25∪（1，+∞），傾斜角θ的范圍為π4，π-arctan25.

師：根據(jù)直線斜率k=tan θ的函數(shù)圖象可總結(jié)得出，當(dāng)傾斜角θ從0趨近于π2時(shí)，斜率的范圍從0趨近于正無窮，傾斜角θ大于π2趨近于π時(shí)，斜率從趨近于負(fù)無窮到趨近于0，所以反過來知道了斜率k的范圍就很容易定位傾斜角的走向，從而寫出傾斜角θ的范圍.當(dāng)00）時(shí)，可得θ∈［0，arctan b）∪（π+arctan a，π）；當(dāng)kb（a<0，b>0）時(shí)，可得θ∈arctan b，π2∪π2，π+arctan a.

師：哪位同學(xué)來回答第（3）題？

生1：如圖3所示，設(shè)對稱直線的斜率為k，則由夾角公式可得k-11+k=1--341-34，

解得k=-43.又直線l與直線AB交于點(diǎn)A（1，2），

所以直線AB關(guān)于直線l對稱的直線方程為4x+3y-10=0.

師：回答得非常好！還有同學(xué)有不同的方法嗎？

生2：當(dāng)a=1時(shí)，直線l與直線AB交于點(diǎn)A（1，2），則點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B1（-2，6），所以直線AB1的方程4x+3y-10=0，即為所求的對稱直線方程.

師：點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B1（-2，6）是如何算出來的？

生2：設(shè)B1（x，y），由l垂直平分線段BB1，且線段BB1的中點(diǎn)在直線l上，得y+1x-5=-1，5+x2-y-12+1=0.解方程組可得B1（-2，6）.

師：仿照上述方法，可得點(diǎn)、曲線關(guān)于斜率為±1的直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)、曲線方程（同學(xué)們課后選一個(gè)作為作業(yè)）.

（?。c(diǎn)A（x，y）關(guān)于直線x+y+c=0對稱的點(diǎn)為B（-y-c，-x-c），曲線f（x，y）=0關(guān)于直線x+y+c=0對稱的曲線為f（-y-c，-x-c）=0;

（ⅱ）點(diǎn)A（x，y）關(guān)于直線x-y+c=0對稱的點(diǎn)為B（y-c，x+c），曲線為f（x，y）=0關(guān)于直線x-y+c=0對稱的曲線f（y-c，x+c）=0.

請同學(xué)們記下以上結(jié)論，記好的同學(xué)看第（4）題.

生：如圖4，易得直線AB的方程為3x+4y-11=0，直線l的方程為3x+4y-4=0，則兩平行線間的距離d=|-4+11|5=75.易知直線m與直線l的夾角為π4，

則由k+341-34k=1，解得k=17或-7.

師：通過例1我們復(fù)習(xí)了傾斜角、斜率、直線方

程、距離和夾角，解題時(shí)要選擇

適當(dāng)?shù)闹本€方程.

2.2 強(qiáng)化應(yīng)用提升應(yīng)用能力——由薄到厚

例2? 三條直線l1：mx-y+m=0，l2：x+my-m（m+1）=0，l3：（m+1）x-y+（m+1）=0.圍成△ABC，當(dāng)m取何值時(shí)，△ABC的面積取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.

師：請同學(xué)們分別研究直線l1，l2，l3過哪個(gè)定點(diǎn)，l1，l2，l3之間有何位置關(guān)系，并畫出大致圖形.

生：直線l1和l3恒過定點(diǎn)A（-1，0），直線l1和l2互相垂直.設(shè)l1和l2的交點(diǎn)為C，l2和l3的交點(diǎn)為B（0，m+1），如圖5，△ABC是直角三角形，直角邊BC的長就是點(diǎn)B到直線l1的距離，即|BC|=-m-1+mm2+1=1m2+1，直角邊AC的長就是點(diǎn)A到直線l2的距離，即|AC|=m2+m+1m2+1，則

S△ABC=12|AC||BC|=12·m2+m+1m2+1=121+mm2+1.

師：分析得非常到位，掌聲鼓勵(lì)一下！那如何求△ABC面積的最值？

生：當(dāng)m=0時(shí)，S△ABC=12；當(dāng)m≠0，S△ABC=121+1m+1m.所以，當(dāng)m=1時(shí)，△ABC的面積取最大值為34;當(dāng)m=-1時(shí)，△ABC的面積取最小值為14.

師：解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)l1，l3過定點(diǎn)和l1，l2互相垂直這兩個(gè)隱含條件，也就是要能快速找出直線所過的點(diǎn)和方向.

例3? 已知三角形ABC的頂點(diǎn)A（3，-1），AB邊上的中線所在的直線方程為x+y+2=0，AC邊上的中線所在的直線方程為x-y+2=0，求BC邊所在的直線方程.

師：同學(xué)們根據(jù)題意畫出示意圖（圖6），哪位同學(xué)愿意分享一下你的思路？

生1：設(shè)點(diǎn)B（x，y），則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為x+32，y-12.由點(diǎn)M在AB邊的中線所在的直線x+y+2=0上，得

x+32+y-12+2=0.由點(diǎn)B在AC邊的中線上，可得x-y+2=0，再根據(jù)方程組x+32+y-12+2=0，x-y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（-4，-2）.

師：求出點(diǎn)B后，如何求直線BC的方程？

生1：用同樣方法求出點(diǎn)C（-5，3）.進(jìn)而求出BC邊所在的直線方程為5x+y+22=0.

師：還有別的方法分享嗎？

生2：求出點(diǎn)B（-4，-2）后，通過中線求出△ABC的重心坐標(biāo)（-2，0），最后利用重心的坐標(biāo)公式算出C（-5，3）.

師：這位同學(xué)回答得非常好！接下來請思考例3的變式.

變式? 已知三角形ABC的頂點(diǎn)A（3，-1），AB邊上的中線所在的直線方程為x+y+2=0，角B的平分線所在的直線方程為x-y+2=0，求BC邊所在的直線方程.

師：變式應(yīng)該如何求解呢？

生1：由例3知B（-4，-2）.

師：求出點(diǎn)B（-4，-2）后，用直線方程的哪種形式表示直線BC呢？

生1：易得直線AB斜率為17，由方程x-y+2=0可得角B的平分線所在直線的斜率為1，由夾角公式得直線BC的斜率為7，進(jìn)而得出直線BC的點(diǎn)斜式方程為y+2=7（x+4）.

生2：可以設(shè)點(diǎn)A（3，-1）關(guān)于角B的平分線所在直線的對稱點(diǎn)為A1（x，y），則點(diǎn)A1一定在直線BC上，由角B的平分線x-y+2=0垂直平分線段AA1，線段AA1的中點(diǎn)在直線x-y+2=0，可以得到y(tǒng)+1x-3=-1，x+32-y-12+2=0.解方程組可得A1（-3，5），從而推出BC邊所在的直線方程為7x-y+26=0.

師：有同學(xué)是根據(jù)例1第（3）題總結(jié)的結(jié)論直接得出點(diǎn)A關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)A1嗎？

生3：我是根據(jù)點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)為（-y-2，-x+2）的結(jié)論，得出點(diǎn)A（3，-1）關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)為A1（-5，3）.

師：怎么和生2算的A1不一樣呢？哪里出問題了？

生3：喔，公式記混了.由點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)為（y-2，x+2），可得點(diǎn)A（3，-1）關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)A1（-3，5），從而推出BC邊所在的直線方程為7x-y+26=0.

師：真是學(xué)以致用.公式不太熟，但瑕不掩瑜，課后仿照例題把公式推導(dǎo)一遍.

師：對于變式，三位同學(xué)的回答都很精彩.在求直線方程的過程中，要根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇直線方程.由于時(shí)間關(guān)系，變式2請同學(xué)們課后研究.

2.3 小結(jié)（師生共同完成）

（1）確定一條直線需要兩點(diǎn)或一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，可以量化為直線的斜率等于傾斜角的正切，由此可得到各種直線方程，具體如下：

k=y-y0x-x0=tan θ=sin θcos θ

點(diǎn)斜式：y-y0=k（x-x0），點(diǎn)方向式：x-x0cos θ=y-y0sin θ，點(diǎn)法式：（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，一般式：ax+by+c=0（a2+b2≠0）.

（2）要根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇直線方程.

（3）本節(jié)課的特點(diǎn)可以歸納（師）為：

確定直線點(diǎn)與向，方程各異本一樣，

根據(jù)特點(diǎn)慎選擇，掌握方法把好航.

在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要根據(jù)每章節(jié)的特點(diǎn)，慎重選擇解題方法，人生也是如此.

3 回顧與反思

本課通過3個(gè)例題及變式對本章的知識進(jìn)行梳理并形成知識

網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生對本章基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的掌握達(dá)到一個(gè)

新的高度．但是在教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)了一些不足，比如，在講例

３的變式題時(shí)，一位學(xué)生利用點(diǎn)關(guān)于斜率為±１的直線對稱的點(diǎn)的

坐標(biāo)公式，結(jié)果算錯(cuò)了．由此說明，歸納總結(jié)出來的結(jié)論，還需要引

導(dǎo)學(xué)生明晰結(jié)論是如何推出來的.教學(xué)有法，教無定法．在今后

的教學(xué)過程中，將繼續(xù)探索和嘗試新的教學(xué)方法，努力提高學(xué)生

的學(xué)習(xí)興趣．Z