非高斯波浪作用下深水高墩的非線性隨機(jī)振動(dòng)

收稿日期：20231225

通信作者：陳林聰（1981），男，教授，博士，主要從事工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)的研究。Email：lincongchen@hqu.edu.cn。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12072118， 12372029）； 福建省杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2021J06024）

摘要：首先，建立非高斯波浪作用下深水高墩的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，采用泊松白噪聲激勵(lì)模擬非高斯隨機(jī)波浪過程，利用達(dá)朗貝爾原理和伽遼金方法推導(dǎo)深水高墩的運(yùn)動(dòng)方程。然后，通過徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法求解廣義FPK方程，獲得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)概率密度函數(shù)。最后，考察不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，并采用蒙特卡羅模擬（MCS）驗(yàn)證理論解。結(jié)果表明：理論解與模擬結(jié)果吻合良好；浸入比和質(zhì)量比增加均會(huì)放大高墩的響應(yīng)；采用高斯模型會(huì)使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)偏于保守。

關(guān)鍵詞：深水高墩； 非高斯隨機(jī)波浪； 泊松白噪聲； 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 瞬態(tài)響應(yīng)

中圖分類號(hào)：U 442.55文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：10005013（2024）02023308

跨海大橋在促進(jìn)旅游和經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展方面發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，是一個(gè)國家建筑技術(shù)的證明。與內(nèi)陸環(huán)境不同，跨海大橋面臨的環(huán)境更為復(fù)雜，波浪荷載是最關(guān)鍵的環(huán)境荷載之一［13］。跨海橋梁的高墩為典型的柔性結(jié)構(gòu)，波浪力會(huì)導(dǎo)致其強(qiáng)烈的非線性隨機(jī)振動(dòng)［4］，從而使橋梁發(fā)生局部或整體損壞［56］。因此，研究波浪力下深水高墩的動(dòng)力響應(yīng)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，已有許多學(xué)者對(duì)波浪力下高墩的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行研究。李忠獻(xiàn)等［7］采用繞射波浪理論，分析波浪作用下深水橋梁橋墩的動(dòng)力響應(yīng)。Ti等［8］提出一種波浪作用下柔性高墩結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析方法。此外，一些水下振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)［910］和波浪水槽實(shí)驗(yàn)［1112］也已被用于該方面的研究，但上述研究都將波浪視為確定性荷載，未考慮波浪的隨機(jī)性特征。

最近，Zhao等［13］視隨機(jī)波浪為簡(jiǎn)單的高斯過程，研究高斯波浪力下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)［1415］。然而，Zeng等［16］發(fā)現(xiàn)這種高斯激勵(lì)模型不能很好地捕捉波浪的實(shí)際特征。同時(shí)，在淺水或復(fù)雜地形中的波浪常表現(xiàn)出明顯的非高斯性，不僅會(huì)改變海面的幾何形狀，影響水粒子在海面上的運(yùn)動(dòng)路徑，還會(huì)加速結(jié)構(gòu)的疲勞損傷。

目前，關(guān)于非高斯波浪力作用下結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)的研究仍尚少［1718］，特別是深水高墩結(jié)構(gòu)還未得到較好的發(fā)展?；诖耍疚膶?duì)非高斯波浪作用下深水高墩的非線性隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行研究。

（a） 立面圖 （b） 截面圖

1模型概述

考察一個(gè)墩底固定在巖石地基上的實(shí)心圓形深水高墩，墩高為H0，直徑為d，淹沒在深度為h的水中，同時(shí)受到波浪作用。深水高墩示意圖，如圖1所示。圖1中：x，y，z為笛卡爾坐標(biāo)系。

根據(jù)橋墩受載變形的力學(xué)特征，深水高墩的動(dòng)力學(xué)模型可簡(jiǎn)化為均質(zhì)彈性懸臂梁（圖2（a）），其中，高墩的上部結(jié)構(gòu)可以近似視為一個(gè)質(zhì)量為mg的質(zhì)量塊；高墩中面軸向位移分量為v（y，t）；中面橫向位移分量為u（y，t）；中線位移分量為s（y，t）。

對(duì)高墩任一中面截面（圖2（b））進(jìn)行受力分析，利用達(dá)朗貝爾原理建立平衡方程，有

式（1）中：符號(hào)′和·分別表示對(duì)y和t的偏導(dǎo)數(shù)；ρ為高墩的密度；A為高墩的橫截面積；F為波浪荷載；H為橫向力與軸向力的水平分量之和；V為橫向力與軸向力的垂直分量之和；M為彎矩，M=EIκ，E為彈性模量，I為橫截面慣性矩，κ為曲率。

將力矩平衡方程兩邊除以1+v′，并對(duì)y求導(dǎo)，可得

M′1+v′′+H′-Vu′1+v′′=0。（2）

為求得曲率的表達(dá)式，根據(jù)圖2（c），引入幾何關(guān)系，有

sin θ=u′s′；cos θ=1+v′s′（s′-1）≈v′+12（u′2+v′2）。（3）

式（3）中：θ為橫截面旋轉(zhuǎn)角。

（a） 高墩簡(jiǎn)化模型（b） 無限小平面平衡圖（c） 中心線延長圖

忽略高墩的微小軸向變形（s′-11），并略去高階項(xiàng)（v′2），可得

綜合式（1），（3），（4）（具體推導(dǎo)過程不贅述），式（2）可寫為

式（5）中：τ為積分的內(nèi)部變量。

此外，波浪荷載F通常采用Morison方程表示，即

式（6）中：Cd為拖曳系數(shù)；CM為慣性系數(shù)；Cm為附加質(zhì)量系數(shù)；ρw為水的密度；vw為瞬時(shí)水流速度；f為時(shí)變波浪力。

將式（6）代入式（5），可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

方便起見，引入無量綱參數(shù)，有

將無量綱參數(shù)代入式（7）后，可得相應(yīng)的無量綱運(yùn)動(dòng)方程為

深水高墩的振動(dòng)以基本模態(tài)為主導(dǎo)，現(xiàn)基于假設(shè)模態(tài)法，可將位移變量u（y*， t*）近似表示為

式（10）中：X（t*）為廣義位移；φ（y*）為模態(tài)振型函數(shù)［19］，表達(dá)式為

式（11）中：β 為待定系數(shù)，求解公式為

將式（10）代入式（9），利用伽遼金方法離散化處理并考慮阻尼，可得

式（13）中：μ，ω，η分別為系統(tǒng)的線性阻尼系數(shù)、基頻和激勵(lì)系數(shù)；α1，α2分別為曲率非線性系數(shù)和慣性非線性系數(shù)。

注意到波浪激勵(lì)ξ（t）是不連續(xù)的，具有典型的非高斯特征，可用隨機(jī)時(shí)刻下的具有隨機(jī)振幅的離散隨機(jī)脈沖序列［20］表示。該過程通常用泊松白噪聲［21］模擬，其形式導(dǎo)數(shù)由復(fù)合泊松過程C（t）表示，有

式（14）中：NT為泊松計(jì)數(shù)過程；U（·）為階躍函數(shù)；Yi為第i次脈沖到達(dá)時(shí)刻ti的隨機(jī)振幅，且每個(gè)隨機(jī)振幅與到達(dá)時(shí)刻相互獨(dú)立。

復(fù)合泊松過程增量存在的關(guān)系為

設(shè)X1=X，X2=X·，式（13）可寫為狀態(tài)方程，即

支配該系統(tǒng)響應(yīng)概率密度p=p（x1，x2，t）的廣義FPK方程為

式（17）中：K（·）為廣義FPK方程的微分算子，x為狀態(tài)向量，x=（x1，x2）；相應(yīng)系數(shù)m1，m2，b22，b33，…，bnn分別為

m1=x2，m2=μ1+α2x21x2+ω21+α2x21x1+α11+α2x21x13+α21+α2x21x1x22，

b22=λE［Y2］（η1+α2x21）2，

b33=λE［Y3］（η1+α2x21）3，…

bnn=λE［Yn］（η1+α2x21）n。

上式中：E［·］為數(shù)學(xué)期望符號(hào)。

此外，廣義FPK方程的初始條件與邊界條件分別為

p（x，t|x0，t0）=p（x，t0）=δ（x-x0），limx→±∞ xp（x，t|x0，t0）=0。（18）

由于廣義FPK方程中存在無窮階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，通常需經(jīng)過適當(dāng)截?cái)鄬?duì)其進(jìn)行數(shù)值求解。

2徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

一種求解廣義FPK方程的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［22］如下。

假設(shè)式（17）的瞬時(shí)解為

式（19）中：N為激活函數(shù)的個(gè)數(shù)；σj=（σj，1，σj，2），μj=（μj，1，μj，2）分別為第j個(gè)激活函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差與中心；q（k）=（q1（k），q2（k），…，qN（k））為一組時(shí)變的未定權(quán)值系數(shù)，k為時(shí)間步數(shù)，時(shí)刻t=kΔt，Δt為時(shí)間步長，k=1，2， …，n；Qj（x，μj，σj）為激活函數(shù)，其多元高斯函數(shù)形式為

瞬時(shí)解（式（19））和多元高斯函數(shù)（式（20））滿足歸一化條件，即

據(jù)此，可進(jìn)一步推導(dǎo)出q（k）的約束條件為

利用有限差分法，式（17）左邊時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可近似為

式（23）中：τt為與一階有限差分近似相關(guān)的截?cái)嗾`差。

將瞬時(shí)解（式（19））和式（23）代入式（17），可得到局部誤差為

式（24）中：

利用采樣技術(shù)，建立損失函數(shù)，有

式（26）中：NS為樣本點(diǎn)數(shù)。

結(jié)合約束條件（式（22）），構(gòu)造一個(gè)擴(kuò)展損失函數(shù)為

式（27）中：r（k）為拉格朗日乘子；權(quán)值向量z（k）=［q1（k），q2（k），…，qN（k），r（k）］T；向量c2=［0，0，…，1］T；參數(shù)g（k-1）=1Ns∑Nsi=1p*2（xi，q（k-1））；

矩陣B，向量c1（k）分別為

式（27）最小化的必要條件為

求解式（28），可得最優(yōu)權(quán)值系數(shù)為

將最優(yōu)權(quán)值系數(shù)q*（k）代入瞬時(shí)解中，可得系統(tǒng)的瞬態(tài)概率密度函數(shù)為

3數(shù)值結(jié)果分析

為保證文中方法的精度和有效性，采用蒙特卡羅模擬（MCS）結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。高墩部分參數(shù)為H0=172 m，d=13.04 m，ρ=2 500 kg·m-3，E=30 GPa，I=1 419.32 m4，Cm=1.0，ρw=1 000 kg·m-3，μ=0.001。此外，采用的蒙特卡羅模擬樣本數(shù)為1.0×109。

首先，設(shè)置初始概率密度滿足正態(tài)分布，將中心域ΩG=［-2，2］×［-8，8］統(tǒng)一劃分為50×50的網(wǎng)格，取網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)作為激活函數(shù)的中心，則激活函數(shù)的個(gè)數(shù)N=50×50。類似地，樣本域ΩS=［-4，4］×［-16，16］可劃分為100×100的網(wǎng)格，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)NS=100×100，時(shí)間步長Δt=0.1 s。需注意，在以下參數(shù)分析中，可根據(jù)具體情形對(duì)樣本域進(jìn)行細(xì)致調(diào)整，以保證計(jì)算結(jié)果的精度。同時(shí)，考慮到高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)廣義FPK方程的貢獻(xiàn)很小，現(xiàn)僅保留前8階項(xiàng)。

在泊松與高斯白噪聲激勵(lì)下（等強(qiáng)度IP=λE［Y2］=D=0.1），高斯和泊松情形瞬態(tài)響應(yīng)的結(jié)果如圖3所示。

圖3中：λ為平均到達(dá)率；E［Y2］為均方值；D為高斯激勵(lì)強(qiáng)度；符號(hào)表示模擬結(jié)果；直線表示理論解，下文類似。

由圖3可知：在泊松白噪聲激勵(lì)下，系統(tǒng)的響應(yīng)略小于相應(yīng)的高斯白噪聲激勵(lì)情形，但隨著平均到達(dá)率λ的增加（如當(dāng)λ=25時(shí)），兩種結(jié)果幾乎重合，這說明以往研究采用的高斯白噪聲波浪模型的響應(yīng)結(jié)果偏大，導(dǎo)致高墩結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)偏保守，同時(shí)也說明在激勵(lì)強(qiáng)度不變的情況下，泊松白噪聲的非高斯性與λ的取值有關(guān)，隨著λ的增大而減弱。

（a） 位移邊緣概率密度函數(shù)（b） 速度邊緣概率密度函數(shù)

不同浸入比（h/H0）的參數(shù)，如表1所示。

在泊松白噪聲激勵(lì)下，不同浸入比的位移邊緣概率密度函數(shù)，如圖4所示。

由圖4（a）可知：隨著h/H0增大，位移邊緣概率密度函數(shù)曲線向兩邊擴(kuò)散，呈扁平化趨勢(shì)，放大了系統(tǒng)的響應(yīng)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移分布偏向于更大值，可能會(huì)引起高墩結(jié)構(gòu)的失效，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中需引起重視。

由圖4（b）可知：隨著時(shí)間變化，出現(xiàn)概率峰值向另一個(gè)更小的概率峰值過渡的現(xiàn)象，隨著h/H0增大，位移邊緣概率密度函數(shù)形態(tài)發(fā)生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變，圖像由單峰變?yōu)殡p峰，這意味著較大的浸入比參數(shù)會(huì)誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)p分岔，使系統(tǒng)從原先的單穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)殡p穩(wěn)定狀態(tài)，激發(fā)了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的不穩(wěn)定性，增加了極端振動(dòng)事件發(fā)生的概率，不利于高墩的設(shè)計(jì)及振動(dòng)控制。對(duì)比模擬結(jié)果，理論解均具有較高的精度，驗(yàn)證了徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法在預(yù)測(cè)高墩系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)方面的有效性。

不同質(zhì)量比（m）的參數(shù)，如表2所示。保持h/H0=1不變，不同質(zhì)量比下系統(tǒng)的位移邊緣概率密度函數(shù)，如圖5所示。

由圖5可知：質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)位移邊緣概率密度函數(shù)的影響規(guī)律與浸入比類似，隨著m的提高，位移邊緣概率密度函數(shù)峰值均呈現(xiàn)出不斷下降的趨勢(shì)，系統(tǒng)的響應(yīng)被放大；位移邊緣概率密度函數(shù)隨時(shí)間的演化規(guī)律與浸入比情形基本一致，但質(zhì)量比情形下概率圖像出現(xiàn)的雙峰狀更為陡峭，且陡峭程度隨m的增大而增大，這說明質(zhì)量比的增加會(huì)使系統(tǒng)處于更加不穩(wěn)定的狀態(tài)，增加了結(jié)構(gòu)可靠性降低的可能性，從而引發(fā)高墩結(jié)構(gòu)失穩(wěn)甚至破壞等安全問題。

綜上所述，浸入比和質(zhì)量比是深水橋墩優(yōu)化設(shè)計(jì)的兩個(gè)重要參數(shù)，在深水高墩結(jié)構(gòu)的實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可通過適當(dāng)減小這兩個(gè)參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)更好的動(dòng)力響應(yīng)控制和抗振性能。

4結(jié)論

利用達(dá)朗貝爾原理和伽遼金法建立非高斯波浪力作用下高墩結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)方程。在此基礎(chǔ)上，采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法求解廣義FPK方程，得到系統(tǒng)響應(yīng)概率密度函數(shù)的理論解，探究浸入比和質(zhì)量比對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響規(guī)律。結(jié)果表明，深水高墩結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨著h/H0和m的增大而增加，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中要權(quán)衡這兩個(gè)重要參數(shù)的影響；波浪激勵(lì)模型的選取對(duì)高墩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有著重要影響，采用高斯白噪聲波浪模型會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)偏于保守。文中結(jié)果可為深水高墩的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的參考，所得的半解析理論解在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和振動(dòng)控制方面也有著很大的潛力，可被進(jìn)一步開發(fā)和應(yīng)用。

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（責(zé)任編輯： "錢筠英文審校： 方德平）