優(yōu)化解題思路 提升運(yùn)算素養(yǎng)

郝進(jìn)宏 孫秀平

摘? 要：解析幾何問題因其運(yùn)算煩瑣、復(fù)雜等特點(diǎn)，成為歷年高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的較好載體. 通過對一道高考解析幾何試題的解答過程進(jìn)行分析，論述了在解析幾何知識學(xué)習(xí)過程中提升運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵在于解題方法的選擇、點(diǎn)或直線及其形式的選擇、逆向思維明確方向和深挖幾何條件背后的數(shù)量關(guān)系四個(gè)方面，最后給出在邏輯推理指導(dǎo)下提升學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的具體教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：運(yùn)算素養(yǎng)；優(yōu)化思路；高考試題；解析幾何

中圖分類號：G633.65? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0056-05

引用格式：郝進(jìn)宏，孫秀平. 優(yōu)化解題思路? 提升運(yùn)算素養(yǎng)：以2023年高考數(shù)學(xué)北京卷解析幾何解答題為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：56-60.

運(yùn)算能力是最基本的數(shù)學(xué)能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將數(shù)學(xué)運(yùn)算作為六大核心素養(yǎng)之一. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果. 可見，數(shù)學(xué)運(yùn)算不等同于數(shù)學(xué)計(jì)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不僅是算得對、算得快，更要求學(xué)生掌握一定的運(yùn)算技巧，能從多角度分析問題，盡可能地降低運(yùn)算難度和運(yùn)算量. 因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開邏輯推理能力的提升. 文獻(xiàn)［2］中指出：運(yùn)算能力包括計(jì)算技能和邏輯思維. 文獻(xiàn)［3］進(jìn)一步將六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分成三組：直觀想象、數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理；數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模. 依次稱為數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)、方法素養(yǎng)和工具素養(yǎng)，并指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的基本方式，體現(xiàn)了建構(gòu)和推演數(shù)學(xué)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決問題的方法特征. 因此，可以把“推理”和“運(yùn)算”比作兩個(gè)車輪，其發(fā)展相輔相成，在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中積極關(guān)注邏輯推理能力的培養(yǎng)可以有效提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，解析幾何因其運(yùn)算煩瑣、復(fù)雜等特點(diǎn)，成為歷年高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的較好載體，但是很多學(xué)生面對這類問題卻表現(xiàn)平平. 表面上看，是由于學(xué)生缺少解題方向，畏難心理嚴(yán)重，缺少克難毅力；實(shí)際上看，是學(xué)生想得少、算得多，答題比較“莽撞”，缺少優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的理念與方法；本質(zhì)上看，則是學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中缺少了邏輯推理，在提出問題、分析問題的過程中沒有理解運(yùn)算對象的合理性、運(yùn)算法則的準(zhǔn)確性、運(yùn)算邏輯的連貫性和運(yùn)算方法的靈活性，在解決問題過程中缺少不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算思路的高要求.

一、試題與分析

題目 （2023年北京卷·19）已知橢圓[E： x2a2+]

[y2b2=1 a>b>0]的離心率為[53]. 設(shè)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為[A]，[C]，若[E]的左、右頂點(diǎn)分別為[B]，[D]，[AC=4].

（1）略；

（2）點(diǎn)[P]在橢圓[E]的第一象限上運(yùn)動(dòng)，直線[PD]與直線[BC]交于點(diǎn)[M]，直線[PA]與直線[y=-2]交于點(diǎn)[N]，求證：[MN∥CD].

容易得到橢圓[E]的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x29+y24=1]. 第（2）小題中要證明的是變化中的不變關(guān)系，可以將幾何中的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)運(yùn)算來求解. 但是不同的轉(zhuǎn)化結(jié)果所帶來的運(yùn)算量和運(yùn)算難度是不一樣的. 因此，尋找以“減少運(yùn)算量、降低運(yùn)算難度、提高運(yùn)算效率”為目標(biāo)的合理轉(zhuǎn)化方式是提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵.

二、開門見山，直述其意

在解析幾何綜合問題中，往往依據(jù)題目條件步步推進(jìn)便可以形成解題路徑，若能有邏輯地“翻譯”相關(guān)條件則可以大幅度提高解題效率.“設(shè)點(diǎn)”和“設(shè)線”是處理解析幾何綜合問題常用的思路和方法，若能從優(yōu)化運(yùn)算思路的角度對從“點(diǎn)”入手還是從“線”入手進(jìn)行細(xì)致比較，則邁出了運(yùn)算素養(yǎng)提升的第一步.

解法1：（設(shè)點(diǎn)代入）如圖1，[P]為第一象限[E]上的動(dòng)點(diǎn).

【評析】設(shè)點(diǎn)[P]的坐標(biāo)后，按照試題給出的已知條件分別求出點(diǎn)[M]和點(diǎn)[N]的坐標(biāo)，此時(shí)兩點(diǎn)的坐標(biāo)均可以用點(diǎn)[P]的橫縱坐標(biāo)[x0，y0]表示，求解直線[MN]的斜率后利用橢圓方程化簡即可以得到其為定值. 此解法思路清晰，難點(diǎn)在于化簡直線[MN]的斜率時(shí)運(yùn)算量較大，學(xué)生容易出錯(cuò).

【評析】因?yàn)辄c(diǎn)[P]的三角形式中已經(jīng)蘊(yùn)含了點(diǎn)[P]在橢圓上的信息，所以利用三角形式進(jìn)行運(yùn)算會減少運(yùn)算量. 但是由于是化簡求值，所以三角形式的優(yōu)勢體現(xiàn)得不是很充分，三角形式在求解代數(shù)式取值范圍時(shí)優(yōu)勢會更加明顯.

【評析】設(shè)直線[PA]的方程，令[y=-2]，即可求出點(diǎn)[N]的橫坐標(biāo). 然后依次求出點(diǎn)[P]的坐標(biāo)和直線[PD]的方程，將直線[PD]的方程與直線[BC]的方程聯(lián)立，即可求出點(diǎn)[M]的坐標(biāo). 這種解法思路簡潔，但是由于直線[PD]的方程煩瑣而導(dǎo)致聯(lián)立化簡的過程較復(fù)雜. 實(shí)際上，還可以設(shè)直線[PD]的方程，將其與橢圓聯(lián)立. 因?yàn)橹本€[PD]過[x]軸上定點(diǎn)[D3，0]，所以將直線[PD]的方程設(shè)成橫截距式（即設(shè)[PD]方程為[x=ty+3]），在與橢圓聯(lián)立化簡的過程中還會減少一定的計(jì)算量，也是一種優(yōu)化.

三、執(zhí)果索因，優(yōu)化過程

解析幾何問題的轉(zhuǎn)化方向往往是不唯一的，不同的轉(zhuǎn)化方向會導(dǎo)致運(yùn)算量和運(yùn)算難度有所不同. 化歸得越徹底，運(yùn)算量就會越小，運(yùn)算的復(fù)雜程度也會隨之減弱.“執(zhí)果索因”是確定研究方向，進(jìn)而讓化歸更加徹底的一種重要手段. 那么，對于上述試題，由問題的結(jié)果[MN∥CD]逆推，能否找到其背后易于表達(dá)的邏輯關(guān)系呢？

欲證[MN∥CD]，由題意可知只需要證明[kMN=kCD]，即證[yM-yNxM-xN=23]. 由點(diǎn)[M]在直線[BC]上（即[yM=-23xM-2]）和[yN=-2]，可知只需要證明[-23xM-2+2xM-xN=23]，即證[2xM=xN]. 從而找到[MN∥CD]的一個(gè)等價(jià)條件[2xM=xN].

顯然，這樣轉(zhuǎn)化后計(jì)算量會大幅度減少. 首先，不用求解點(diǎn)[M]的縱坐標(biāo)[yM]；其次，避免了對直線[MN]斜率的化簡運(yùn)算.

【評析】顯然，無論是用三角形式設(shè)點(diǎn)，還是設(shè)其他直線解題，如果能采用執(zhí)果索因的思路找到[MN∥][CD]的等價(jià)條件[2xM=xN]，都會在很大程度上減少運(yùn)算量，從而降低運(yùn)算的復(fù)雜程度，達(dá)到優(yōu)化運(yùn)算思路的目的.

四、數(shù)形結(jié)合，簡化運(yùn)算

上述解法4和解法5是從代數(shù)角度對平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. 由于解析幾何兼具代數(shù)和幾何的特性，故也可以嘗試從幾何角度，通過分析幾何關(guān)系“執(zhí)果索因”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步優(yōu)化運(yùn)算思路. 具體而言，結(jié)合圖1，由[CN∥BD]，[△BCD]為等腰三角形，可知欲證[MN∥CD]，只需要證明[△MNC]為等腰三角形. 由[xC=0]，[CN∥Ox]，可知只需要證明[2xM=xN]. 其求解過程與解法4和解法5類似，不再贅述.

這是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來簡化運(yùn)算的體現(xiàn). 正如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”

五、教學(xué)建議

數(shù)學(xué)運(yùn)算不是簡單的計(jì)算，更不是機(jī)械的程序化操作，其本質(zhì)是根據(jù)數(shù)學(xué)法則進(jìn)行推理的過程，偏向于數(shù)學(xué)理性的思維、邏輯的推理. 在解析幾何問題的求解過程中，教師要以思路清晰、運(yùn)算量小、復(fù)雜程度低為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、簡潔性、靈活性，運(yùn)算的正確性、敏捷性，以及算法的有效性和高效性選擇上進(jìn)行充分思考和比較，不斷優(yōu)化運(yùn)算思路，鼓勵(lì)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理方法的基礎(chǔ)上真正提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

1. 優(yōu)化運(yùn)算的幾條路徑

對于解析幾何綜合問題來說，優(yōu)化運(yùn)算的方法和途徑有很多，細(xì)節(jié)往往決定著解題的成敗. 在此之中，以下四個(gè)方面尤其需要關(guān)注.

（1）解題方法的選擇.

要在“設(shè)點(diǎn)”和“設(shè)線”兩個(gè)基本思路和方法上做出選擇，關(guān)鍵是要注意直線與圓錐曲線聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系所得到的數(shù)式能否被有效利用.

（2）具體的“點(diǎn)”或“直線”及其形式的選擇.

設(shè)點(diǎn)時(shí)，選擇哪個(gè)點(diǎn)，用哪種形式？設(shè)直線時(shí)，選擇哪條直線，用哪種形式？往往關(guān)系著運(yùn)算過程能否繼續(xù)化簡，問題能否繼續(xù)解決. 選擇時(shí)要以參數(shù)少、形式簡單為基本標(biāo)準(zhǔn).

（3）逆向思維明確方向.

注重引導(dǎo)學(xué)生利用“執(zhí)果索因”“先猜后證”等思想方法進(jìn)行逆推，以在明確研究目標(biāo)的情況下優(yōu)化過程.

（4）要深挖幾何條件背后的數(shù)量關(guān)系.

可以利用平面幾何知識進(jìn)行適度的推理與轉(zhuǎn)化，盡可能直接得到易于用坐標(biāo)表達(dá)的數(shù)量關(guān)系.

2. 拓展問題，提升認(rèn)識

根據(jù)比格斯的SOLO分類評價(jià)法，從學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果分析，達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次或抽象拓展層次是體現(xiàn)高階思維的重要指標(biāo). 通過對數(shù)學(xué)問題的延伸，引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行抽象與概括，學(xué)會從理論的高度來分析問題、深化問題，使問題本身的意義得到拓展，有助于結(jié)構(gòu)性思維的形成.

針對上述題目，可以提出以下拓展問題.

拓展：已知橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，[A]，[C]分別是[E]的上、下頂點(diǎn)，[B]，[D]分別是[E]的左、右頂點(diǎn). 設(shè)[P]為第一象限內(nèi)[E]上的動(dòng)點(diǎn)，直線[PD]與直線[BC]交于點(diǎn)[M]，直線[PA]與直線[y=-b]交于點(diǎn)[N]. 求證：[MN∥CD].

數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理彼此聯(lián)系又相互促進(jìn). 在具體教學(xué)過程中，教師要注重在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中融入對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度有邏輯地思考與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，在減少運(yùn)算量、降低運(yùn)算難度、提高運(yùn)算效率的目標(biāo)指引下，助力學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算思路、提升運(yùn)算素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

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