高中數(shù)列問題的解題方法與教學(xué)策略探究

徐文京

【摘要】高中階段是啟迪學(xué)生思維、拓寬學(xué)生思想邊界、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的關(guān)鍵時(shí)期，對學(xué)生日后的發(fā)展具有重要影響.高中數(shù)學(xué)被大部分學(xué)生公認(rèn)為難度較大的科目，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)對其產(chǎn)生一定的畏難情緒，加之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，若某一內(nèi)容無法完全理解，則會(huì)直接影響對與之相關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)的理解.針對此類情況，文章從數(shù)列問題的解題方法與教學(xué)策略兩個(gè)方面展開思考，結(jié)合數(shù)列類例題，總結(jié)應(yīng)用數(shù)列基本概念、性質(zhì)及特殊方法解題的主要思路，同時(shí)探索能夠有效提升教學(xué)效果的策略，旨在提高學(xué)生的解題能力，助力高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列問題；解題方法；教學(xué)策略

引 言

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中，數(shù)列是極為關(guān)鍵的部分，與幾何、函數(shù)、不等式等內(nèi)容均存在一定關(guān)聯(lián)，在考試中占比較高.在核心素養(yǎng)背景下，對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)已經(jīng)不再局限于傳授知識(shí)點(diǎn)，而是傳授教學(xué)思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，使其能夠加深對知識(shí)點(diǎn)的理解，并能靈活運(yùn)用.高中階段的核心素養(yǎng)包括邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等，對學(xué)生的個(gè)人發(fā)展具有重要推動(dòng)作用.

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題解題方法探究

（一）基本概念求解

以數(shù)列問題為例，其中有很多基礎(chǔ)類知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生只需理解基本概念即可完成相關(guān)題目，這類問題考查學(xué)生的記憶能力和學(xué)習(xí)態(tài)度，要求學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，為后續(xù)的多樣化題目練習(xí)和綜合性知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).因此，此類問題可通過數(shù)列基本概念來完成，教學(xué)重點(diǎn)在于學(xué)生能夠正確理解概念，從而避免失誤.

以高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”中的“4.1數(shù)列的概念”這一知識(shí)點(diǎn)為例，題目為：已知等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為Sn（n為整數(shù)），若已知a2=5，S10=100，求解S5.為進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)列基本概念的記憶，教師可以在完成題目分析后在黑板上標(biāo)注等差數(shù)列的公式，并讓學(xué)生在題目旁邊可見的位置做好公式標(biāo)注，再一一代入已知條件.這種緊湊型的教學(xué)模式能夠進(jìn)一步提升學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的記憶效果，同時(shí)能夠?qū)⒗碚撝R(shí)與實(shí)際例題相結(jié)合，讓學(xué)生掌握公式的運(yùn)用，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.在每次做題前根據(jù)已知條件判斷與題目相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)類型及內(nèi)容，做到牢記公式，長此以往，能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力，符合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、問題解決能力及批判思維的培養(yǎng)要求.

（二）性質(zhì)求解

隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷積累，其思維邊界也會(huì)逐漸擴(kuò)大，知識(shí)點(diǎn)難度隨之逐漸提高，這就要求學(xué)生具備更強(qiáng)的理解能力和靈活性思維.仍以高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”為例，在“4. 2等差數(shù)列”中，教學(xué)目標(biāo)從“了解基礎(chǔ)公式”過渡到“發(fā)現(xiàn)數(shù)列性質(zhì)并運(yùn)用性質(zhì)解決問題”.這就需要教師立足于基礎(chǔ)知識(shí)，從考查學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的記憶能力過渡到考查學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用與解決問題能力，這也是培養(yǎng)高階思維的關(guān)鍵一步.

例如，已知等差數(shù)列中a3+a8=64，求取a4+a5+a6+a7的和.為進(jìn)一步落實(shí)以人為本理念，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，教師在講解數(shù)列性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)時(shí)可以給出一些比較典型的完整數(shù)列，讓學(xué)生優(yōu)先觀察數(shù)列規(guī)律，并給予其足夠的獨(dú)立思考的時(shí)間.在學(xué)習(xí)性質(zhì)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握并能運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，自然會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律.此時(shí)再由教師揭曉數(shù)列性質(zhì)的內(nèi)容，以上述題目類型進(jìn)行性質(zhì)對照，即可獲得答案.

（三）特殊方式求解

數(shù)列問題中的難點(diǎn)在于變化形式多樣，不同類型題目能夠運(yùn)用多樣化的解題方式來完成，但在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常存在方式不正確、思路偏差等情況，導(dǎo)致無法獲得正確答案，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也無益處，因此教師需要將問題類型與解題思路結(jié)合起來進(jìn)行授課.

1.累加法

高中生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，需要經(jīng)過長期的引導(dǎo)與訓(xùn)練，不斷積累知識(shí)，再以此為基礎(chǔ)進(jìn)行思維的靈活發(fā)展，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)高階思維.以高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”為例，強(qiáng)調(diào)通過數(shù)列來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生解決問題的能力和邏輯推理的能力，使其學(xué)會(huì)觀察已知題目中的要素，回憶所學(xué)過的知識(shí)，尋找關(guān)聯(lián)點(diǎn)，從而完成解題.例如，數(shù)列問題中比較常用的方法———累加法，適用于一些相鄰系數(shù)相加的問題，需要學(xué)生看到題目后快速搜索其中的要素并判斷是否適合運(yùn)用累加法解決問題.

例如，若數(shù)列{an}中，已知a1=3，且an+1=an+2n，求通項(xiàng)公式.根據(jù)題干內(nèi)容來看，若直接觀察題目要素并不能發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，這就需要學(xué)生具備公式轉(zhuǎn)換的思維，利用等號兩邊關(guān)系進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)換，其中“an+1=an+2n”可以轉(zhuǎn)換為“an+1-an=2n”，此時(shí)“an-an-1=2（n-1）”，由此可得相鄰兩項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系.已知首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)關(guān)系后可利用通項(xiàng)公式得到an的值，即an=n（n-1）+3.這一問題主要考查學(xué)生的觀察能力和思維的靈活性，能夠主動(dòng)完成公式轉(zhuǎn)換，確認(rèn)該問題可利用累加法來解決，再借助已有的等差數(shù)列公式知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，從而獲得答案.

2.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題中的運(yùn)用主要針對一些求取未知數(shù)方面的內(nèi)容，通過改變多項(xiàng)式的形式使其含有待定系數(shù)，再形成新的恒等式.解題過程中會(huì)通過恒等式性質(zhì)形成方程組完成對待定系數(shù)的計(jì)算.部分學(xué)生對于待定系數(shù)法的運(yùn)用存在一定誤區(qū)，無法及時(shí)厘清其中的數(shù)量關(guān)系，需要教師進(jìn)行科學(xué)引導(dǎo).首先，明確式中未知數(shù)的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，包含保證所假設(shè)的未知數(shù)能夠被求取；其次，保證未知數(shù)設(shè)置符合關(guān)系式條件，代入數(shù)列獲得公式；最后，求取未知數(shù)并代入原公式中.待定系數(shù)法對于部分思維靈活性較弱、觀察能力不足的學(xué)生來說存在一定難度，教師務(wù)必先使其明確詳細(xì)的解題思路，再結(jié)合實(shí)際題目傳授知識(shí).

二、數(shù)列問題解題教學(xué)策略分析

（一）設(shè)置問題情境調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)列問題這一知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容較少，相對簡單，其難點(diǎn)在于與其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)動(dòng)，以及教學(xué)過程中如何采用正確的方式滲透核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)從內(nèi)容上來看具有一定的抽象性和復(fù)雜性，若采用平鋪直敘的授課方式，難免會(huì)讓學(xué)生生出畏難情緒，不利于知識(shí)點(diǎn)的傳授.因此，教師在羅列相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和傳達(dá)解題技巧時(shí)可以采用創(chuàng)設(shè)情境的方式，以此來調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，使其主動(dòng)思考，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng).例如，高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”中等比數(shù)列的部分，相較于等差數(shù)列，等比數(shù)列更加考查學(xué)生敏捷的思維，難度也更高.教師可以創(chuàng)設(shè)與生活相關(guān)的情境，如針對車主喝酒后酒精含量的變化設(shè)置等比數(shù)列，在設(shè)置情境時(shí)盡可能保證內(nèi)容詳盡，涵蓋等比數(shù)列定義、等比中項(xiàng)定義、通項(xiàng)公式等.此外，還需要注重等比數(shù)列這一知識(shí)點(diǎn)與其他知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)合性，如等比數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)有效的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)動(dòng)，幫助學(xué)生拓展思維.

（二）數(shù)形結(jié)合滲透轉(zhuǎn)化思想

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解決難題的常用方式，但由于學(xué)生思想和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的差異性，部分學(xué)生無法自覺利用數(shù)形轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題.因此，教師需要根據(jù)題目的已知條件來探索如何提高這部分學(xué)生的數(shù)形思想轉(zhuǎn)化能力以自主實(shí)現(xiàn)“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”.針對轉(zhuǎn)化思想的研究，主要可以從以下兩個(gè)方面展開論述.

第一，根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化一般數(shù)列.高中階段所學(xué)習(xí)的等差數(shù)列和等比數(shù)列普遍由其他更為復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化而來，重點(diǎn)考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力、思維靈活性及對基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，在解題過程中教師可傳授構(gòu)造法的解題技巧.

第二，根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，以此來實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)動(dòng)，拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)其觀察能力和推理能力，讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)列的內(nèi)涵及數(shù)列知識(shí)點(diǎn)在不同表達(dá)式中的運(yùn)用.教師還可充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)技術(shù)的優(yōu)勢，利用相關(guān)軟件進(jìn)行繪圖，使學(xué)生能夠更直觀地了解數(shù)列與函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn).

（三）注重核心素養(yǎng)的滲透

在新課改革背景下，高中數(shù)學(xué)教育模式也應(yīng)當(dāng)不斷優(yōu)化，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐應(yīng)用能力，根據(jù)人教版高中數(shù)學(xué)A版選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”這一內(nèi)容來看，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)容很多，對學(xué)生思維的培養(yǎng)與塑造具有顯著作用.因此，教師在進(jìn)行解題技巧與方法傳授過程中應(yīng)當(dāng)根據(jù)不同方式的特點(diǎn)滲透有關(guān)核心素養(yǎng)的內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生的科學(xué)培養(yǎng).例如，針對數(shù)列遞進(jìn)關(guān)系、通項(xiàng)公式方面的內(nèi)容，教師可設(shè)計(jì)側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力的內(nèi)容；在運(yùn)用情境教學(xué)模式時(shí)，可設(shè)計(jì)生物繁衍、利息計(jì)算、生活場景、人口增長等方面的內(nèi)容，并滲透模型構(gòu)建方面的思想；針對數(shù)列性質(zhì)、求和方式等，可設(shè)能夠展現(xiàn)學(xué)生解決問題的能力的內(nèi)容；針對數(shù)列推導(dǎo)方面的內(nèi)容，設(shè)計(jì)大量代數(shù)或數(shù)據(jù)變形、化簡等內(nèi)容，側(cè)重于對學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)；在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方式時(shí)，如利用指數(shù)函數(shù)強(qiáng)化理解能力時(shí)，可設(shè)計(jì)能滲透空間想象、直觀想象等核心素養(yǎng)方面的內(nèi)容.

結(jié) 語

總而言之，高考數(shù)學(xué)中數(shù)列是必考類型，且題型十分豐富，一般情況下會(huì)以選擇題的形式或解答題的形式出現(xiàn).此類問題，主要考查學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，以及能否熟練運(yùn)用相關(guān)解題方式和技巧來獲得準(zhǔn)確答案.目前來看，部分教師在講解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，更加傾向于讓學(xué)生理解基礎(chǔ)公式，以及掌握公式的運(yùn)用，而忽視了學(xué)生思維的發(fā)展，且單一化的講解并不能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，甚至?xí)箤W(xué)生產(chǎn)生畏難情緒.針對此類情況，教師需要詳細(xì)匯總此部分內(nèi)容的相關(guān)解題技巧與方法，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)新授課方式，滲透核心素養(yǎng)理念，對學(xué)生進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)，有效提高學(xué)生的思維靈活性、觀察能力及解決問題的能力，致力于高階思維的培養(yǎng).

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