注重知識內(nèi)在聯(lián)系 著眼知識整體架構(gòu)

朱明明

［摘? 要］ 文章以“點到直線的距離”為例，在大單元視角下架構(gòu)點到直線的距離公式的學習路徑，引導學生通過深度研學在整體把握大單元知識架構(gòu)的基礎(chǔ)上體驗知識生成和發(fā)展的過程． 通過系列問題設(shè)計，引領(lǐng)學生在課堂活動中逐步養(yǎng)成仔細觀察、用心思考的良好數(shù)學習慣，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學；大單元教學；深度研學

新課標研制成員呂世虎教授指出：單元教學設(shè)計就是“在教學整體觀的指導下，以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論的方法對教材中‘具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進行分析、重組、整合，并形成相對完整的教學單元，以優(yōu)化教學效果的教學設(shè)計”． 單元教學設(shè)計著眼于“距離”這一“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容，有利于學生構(gòu)建整體性和系統(tǒng)性的知識，避免“只見樹木不見森林”的知識碎片化，體現(xiàn)了新課標的教學要求． 本文以“點到直線的距離”為例，探索單元教學在高中數(shù)學教學中的重要意義.

教學過程和設(shè)計意圖

1. 單元教學，方法引領(lǐng)

節(jié)首語：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微. 代數(shù)和幾何，若兩者相互結(jié)合、共同發(fā)展，則會相互加強，以快速的步伐向完善化猛進. 而解析幾何正是兩者之間的橋梁，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).

回憶舊知，引入新知，體現(xiàn)單元教學理念.

師：距離是解析幾何研究的對象之一，上節(jié)課我們學習了平面上兩點間的距離，推導出了兩點間的距離公式. 同學們，我們還應(yīng)該研究平面上的哪些距離呢？

生1：我們還應(yīng)該研究點到直線的距離.

生2：研究兩條平行線間的距離.

師：要想研究這兩個“距離”，我們首先要知道它們的定義分別是什么. 你知道它們分別是怎樣定義的嗎？

生3：兩條平行線間的距離是指夾在兩條平行線之間的公垂線的長度，也就是從一條平行線上的任意一點向另一條平行線作垂線所得垂線段的長度.

師：我們發(fā)現(xiàn)兩條平行線間的距離可以化歸為點到直線的距離，因此研究點到直線的距離就顯得尤為重要.

設(shè)計意圖 首先用數(shù)學名言讓學生知道代數(shù)和幾何是不可分割的整體，解析幾何是兩者的紐帶；然后通過上節(jié)課研究的兩點之間的距離，引導學生思考接下來應(yīng)該研究平面上的哪些距離，以探究新舊知識間的關(guān)系，體現(xiàn)大單元教學理念.

2. 有效遷移，自主研學

問題1 開始新課前讓我們一起回憶一下上節(jié)課是如何研究兩點間的距離公式的.

師生交流：運用“化斜為正”思想，構(gòu)造直角三角形得到A，B間的距離公式.

問題2 根據(jù)已有的學習經(jīng)驗，今天你準備怎樣推導點到直線的距離公式呢？

學生通過小組討論得到了兩個方案，如圖3所示.

師：請兩個小組的同學分別說一下你們是怎么想到這兩個方案的.

生4：我們是根據(jù)定義想到方案1的，因為點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度，所以只要求出垂足Q的坐標，然后利用上節(jié)課所學的兩點間的距離公式，就可以求出點到直線的距離PQ了.

師：很好，第一小組同學想運用我們上節(jié)課所學的兩點間的距離公式來解決今天要研究的點到直線的距離問題，那么第二小組同學是怎么想到方案2的呢？

生5：因為我們在推導兩點間的距離公式時用的是“化斜為正”思想，所以這里我們也想嘗試去構(gòu)造一個直角三角形，用“化斜為正”思想解決這個新問題.

師：老師覺得你們的想法也非常好，其他小組的同學覺得他們的想法好不好呢？好在哪里呢？

生6：好，他們沒有直接去求點Q的坐標，而是利用圖形的幾何特征去求PQ的長度.

通過對比兩個方案，讓學生找出這兩個方案各自研究的重點，在此基礎(chǔ)上進一步進行探究.

設(shè)計意圖 引導學生利用上節(jié)課學習的兩點間的距離公式及推導方法去探究點到直線的距離公式，讓學生體會知識和方法的遷移過程.

問題3 （用方案1解題后）解題時是否遇到過困難？解題后的感受是什么？

生7：太繁了?。ūг梗?/p>

師：所以我看到有的同學沒有算下去，對吧？（笑，表示理解）現(xiàn)在我們具體來找一找哪幾步的計算比較復雜.

師：我們有沒有什么辦法來避免或優(yōu)化這幾步運算呢？（學生思考）

引導學生帶著問題用整體的眼光重新審視條件和目標，尋找優(yōu)化解題過程的方法.

師：這個想法非常好！接下來我們就可以直接研究這兩個整體了，不妨令它們分別為X，Y，然后呢？哦，這位同學說我們可以先解出X，Y，然后代入目標函數(shù)得到X2+Y2，或者先將第一個方程轉(zhuǎn)化為BX－AY=0，再將兩個方程分別平方后相加，也同樣可以得到X2+Y2. 接下來的運算就留給同學們課后自己去完成了.

問題4 （用方案2解題后）對比兩個方案，說說兩個方案各自的側(cè)重點是什么.

師生交流：方案1運用代數(shù)法求點Q坐標后再借助兩點間的距離公式算出PQ的長度，側(cè)重于用代數(shù)法來研究幾何問題，而方案2則運用圖形的幾何特征來優(yōu)化代數(shù)運算，這就是所謂的數(shù)形結(jié)合，相輔相成.

設(shè)計意圖 通過兩個方案的對比和總結(jié)，讓學生體驗知識和方法從已知向未知遷移的過程，體會數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的重要地位.

師生交流：發(fā)現(xiàn)AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）時上述公式依然成立（具體情況如表1所示）.

設(shè)計意圖 通過討論AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）這種特殊情況來完善點到直線距離公式的應(yīng)用范圍，體現(xiàn)學生數(shù)學思維的嚴謹性和完備性.

3. 典型例題，學會應(yīng)用

例題：求點P（－1，2）到下列各直線的距離.

（1）y=－2x+10；

（2）3x=2.

追問：運用點到直線的距離公式解題時你有哪些體會？

師生交流：（1）用此公式時要先建立直線的一般式方程；（2）斜率不存在或為0時，直接利用圖形性質(zhì)求解更快捷.

設(shè)計意圖 通過設(shè)置具體、直觀的問題，深化學生對點到直線的距離公式的理解，強化和鞏固學生運用公式的能力.

學以致用：某電信局計劃年底解決本地區(qū)最后一個小區(qū)的“寬帶光纖電纜改造”工程． 經(jīng)過測量，若按照部門內(nèi)部設(shè)計好的坐標圖（即以電信局為原點），得知這個小區(qū)光纖電纜接入點的坐標為P（－1，2），離它最近的只有一條光纖電纜線通過，其方程為2x－y－10=0． 要完成這項工程至少需要多長的光纖電纜線？（單位：千米）

生10：求解這道應(yīng)用題，首先根據(jù)題意找出本題要求的是“至少需要多長的光纖電纜線”，由點到直線的距離的定義可知，就是求點P（－1，2）到直線2x－y－10=0的距離，于是將實際問題轉(zhuǎn)化為了我們熟悉的數(shù)學問題，接下來的運算我們在例題中已經(jīng)完成，最后就是檢驗作答.

師：回答得很完整，請坐！由此可知，解決實際問題的一般步驟是：首先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后通過邏輯推理或數(shù)學運算來解決這個數(shù)學問題，最后就是檢驗作答. （此時展示圖5所示的解決步驟供學生觀看）

設(shè)計意圖 通過設(shè)置社會生活中的實際問題，進一步加深學生對點到直線的距離公式的理解，強化學生靈活運用公式解決問題的能力.

4. 總結(jié)反思，提升認識

師：同學們，通過本節(jié)課的學習你們有哪些收獲呢？

生11：我們學習了點到直線的距離公式，掌握了代數(shù)法、幾何法，體會了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

師：很好，我們發(fā)現(xiàn)兩條平行線之間的距離可以化歸為點到直線的距離，而點到直線的距離可以化歸為兩點間的距離，接下來我們還可以研究些什么呢？

下面一起梳理本節(jié)課學習的內(nèi)容，然后讓學生利用今天所學的知識去研究兩條平行線之間的距離公式. 所謂復習舊知，構(gòu)建新知，探索未知.

設(shè)計意圖 在課堂小結(jié)的同時，用“單元”思想引領(lǐng)學生關(guān)注知識的系統(tǒng)性、整體性和延展性.

5. 布置作業(yè)，自主提升

（1）知識鞏固型作業(yè)：課本第38頁的練習1、練習3和練習4.

（2）思維拓展型作業(yè)：上網(wǎng)查閱相關(guān)資料，寫一篇小論文《點到直線距離公式的推導》.

設(shè)計意圖 作業(yè)布置體現(xiàn)層次性、選擇性和開放性.

教學反思和四大特點

本節(jié)課所學內(nèi)容是蘇教版選擇性必修第一冊第一章“直線與方程”的最后一個內(nèi)容，它在研究直線的方程和兩條直線的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助上節(jié)課研究的兩點間的距離公式，進一步研究點到直線的距離公式，為下節(jié)課學習兩條平行線之間的距離公式打下了基礎(chǔ)，體現(xiàn)了大單元教學理念. 在本節(jié)課課堂教學中，學生在問題的引導下參與度高、活動充分、思維活躍，課堂生態(tài)好. 從學生作業(yè)反饋來看，課堂效果也很好.

1. 創(chuàng)設(shè)合理情境，提出新問題

遵循學生的認知規(guī)律和教材的編寫意圖，本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)“兩點間的距離公式及推導”這一數(shù)學情境，提出問題“我們還可以研究些什么”，繼而引出課題“點到直線的距離”．這樣的設(shè)計自然順暢，既符合學生的認知規(guī)律，又符合數(shù)學知識的發(fā)展規(guī)律，更符合普通高中數(shù)學新課標的要求和新教材的編寫意圖．

2. 遵循單元設(shè)計，建構(gòu)知識體系

對于高中數(shù)學學習而言，完整的知識體系不能只包含知識，還要包含其內(nèi)部縱橫交錯的關(guān)聯(lián). 在大單元設(shè)計中，教師首先對一個單元要有整體認識，隨后基于關(guān)聯(lián)性學習引導學生養(yǎng)成自主梳理、構(gòu)建知識體系的習慣，找到認知體系，形成思維體系. 本節(jié)課就是通過“點到直線的距離”這一載體，將整個“平面上的距離”一節(jié)內(nèi)容串聯(lián)起來，幫助學生厘清了知識的來龍去脈. 心中裝綠洲，眼中看森林，運用大單元設(shè)計的教學，無論是學習質(zhì)量還是學習效率都遠遠高于傳統(tǒng)低效的碎片化教學.

3. 設(shè)計關(guān)鍵問題，促進深度學習

教學設(shè)計中以學生熟悉的情境為鋪墊，通過“我們還可以研究平面上的哪些距離”“根據(jù)已有的學習經(jīng)驗，怎樣來推導點到直線的距離公式”等問題的引導，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習任務(wù)，主動思考，全身心參與，體驗成功，這樣“獲得發(fā)展的有意義的學習”就是深度學習．

4. 把握數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)育人價值

本節(jié)課教學過程采用“雙線”設(shè)計，以“數(shù)學公式的發(fā)現(xiàn)—推導—驗證—應(yīng)用”為明線，以“事實方法—數(shù)學方法—數(shù)學思想—數(shù)學本質(zhì)觀”為暗線. 明線以數(shù)學知識為載體，完善學生的數(shù)學知識體系；暗線以數(shù)學思想方法為載體，體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì). 利用明線和暗線培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，讓學生“數(shù)學化”思考、解決問題，這正是用“數(shù)學的方式”落實學科育人價值．

5. 注重“解決問題”，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

本節(jié)課教學設(shè)計注重由“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變，引導學生關(guān)注“解題”背后的一般方法與思想，探究問題解決過程中的一般規(guī)律和數(shù)學本質(zhì)，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．