借助數(shù)形結(jié)合 發(fā)展幾何直觀

王衛(wèi)東

摘? 要：幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。文章基于教學(xué)過程，逐步闡述如何借助數(shù)形結(jié)合思想，促使學(xué)生在平面直角坐標系的數(shù)形轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)中，充分積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動經(jīng)驗，感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力，發(fā)展幾何直觀能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》關(guān)于幾何直觀的內(nèi)涵是這樣表述的：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進行分類；根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。

實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的關(guān)系，使“點”與“數(shù)”有了和諧的統(tǒng)一。數(shù)可以用直線上的點來表示，反之直線上的點也可以用數(shù)來表示；絕對值與距離的關(guān)聯(lián)，讓點與點之間的距離可以用數(shù)來表達；平面直角坐標系的建立，讓“數(shù)”和“形”有了完美的結(jié)合。也就是說，可以用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，也可以從幾何的視角研究解決代數(shù)問題。初中階段，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要路徑之一。

在用代數(shù)的方法研究解決幾何圖形問題和借助幾何圖形研究解決代數(shù)問題中，平面直角坐標系是有效的數(shù)學(xué)工具，也是數(shù)形結(jié)合的平臺。在平面直角坐標系中，有序數(shù)對可以用來刻畫點的位置，還可以刻畫圖形的位置和形狀。它能描述兩個變量之間的依存關(guān)系，讓學(xué)生利用靜態(tài)的圖形研究動態(tài)的變化過程。下面以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“4.3 坐標平面內(nèi)圖形的軸對稱和平移”第1課時的教學(xué)為例，嘗試引導(dǎo)學(xué)生在積累基本活動經(jīng)驗的過程中感悟數(shù)形結(jié)合思想的魅力，發(fā)展幾何直觀能力。

一、明方向，定內(nèi)容，由形想數(shù)

為明確本節(jié)課數(shù)學(xué)問題的研究方向和學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師先展示一組能體現(xiàn)圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)變化在日常生活中應(yīng)用的圖片（略），并設(shè)計一組問題鏈讓學(xué)生進行自主探究和實踐操作。

問題1：從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度看，這些圖片所蘊含的數(shù)學(xué)知識可以分為幾類？分類的依據(jù)是什么？

問題2：分別說說軸對稱圖形和圖形的對稱軸，兩者的概念和性質(zhì)各是什么？

問題3：如圖1，在平面直角坐標系中作出線段AB關(guān)于y軸對稱的線段[A′B′，] 分別寫出點A，B，[A′，B′]的坐標，并觀察A，B兩點，以及與它們的對應(yīng)點[A′，B′]的坐標，你有什么發(fā)現(xiàn)？

本環(huán)節(jié)是從日常生活的具體事例中抽象出數(shù)學(xué)知識，觸發(fā)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗，通過簡單作圖和回答問題，引導(dǎo)學(xué)生主動參與到新知識的探究中，從而明確本節(jié)課的研究方向和學(xué)習(xí)內(nèi)容。這是一個完整的數(shù)學(xué)思維過程。從觀察現(xiàn)實生活中的軸對稱現(xiàn)象，到在平面直角坐標系中作軸對稱圖形，再到寫相應(yīng)的坐標及最后思考各坐標的特征，這是從幾何直觀（作圖）到代數(shù)表達的一個由“形”到“數(shù)”、發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的活動過程。在這個數(shù)學(xué)思維過程中，學(xué)生能夠基本確定本節(jié)課主要是研究“數(shù)”和“形”的關(guān)系。

二、引入數(shù)，升華形，由形助數(shù)

在平面直角坐標系中，研究點的變化規(guī)律是研究平面直角坐標系中圖形問題的基本路徑之一。新知識和新方法的探究應(yīng)該符合低起點、小切口的原則，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探究過程。在問題的解決過程中，學(xué)生受限于個人的思維水平和能力差異，所獲得的經(jīng)驗和抽象概括內(nèi)容是不同的。因此，在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該提倡合作交流，發(fā)展學(xué)生的批判思維和質(zhì)疑精神。如何引導(dǎo)學(xué)生進行合作交流呢？這時，教師可以引入對點的坐標這種“數(shù)”的思考，讓學(xué)生在思考中得到對刻畫點在平面直角坐標系中這種“形”的深度體驗。

問題4：在圖2中分別作出點[A2，3]關(guān)于x軸的對稱點A1，以及關(guān)于y軸的對稱點A2，并寫出點A1，A2的坐標，比較對應(yīng)點的坐標，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題5：取不同的點，再次驗證你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并與同伴交流。

在平面直角坐標系中，點[Aa，b]關(guān)于x軸的對稱點A1的坐標為[a，-b，] 關(guān)于y軸的對稱點A2的坐標為[-a，b。] 在寫點A1，A2坐標的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般的提出猜想、驗證猜想的思維過程。最后，由點的軸對稱（形）到發(fā)現(xiàn)點的坐標（數(shù)）規(guī)律，學(xué)生經(jīng)歷了由形到數(shù)的體驗、感悟過程。在與同伴的交流過程中，學(xué)生經(jīng)歷了質(zhì)疑、批判、評價、決策的過程。而問題鏈的解決，是從引入“數(shù)”開始，以升華“形”結(jié)束的，是一個幾何直觀與代數(shù)表達相融合的過程，使學(xué)生體驗到了“數(shù)”和“形”是相輔相成的。

三、形助數(shù)，尋路徑，由形定數(shù)

為進一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，使學(xué)生能從觀察“形”的結(jié)構(gòu)特征得到“數(shù)”的表達特征，從“數(shù)”的表達特征想象“形”的結(jié)構(gòu)特征，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，這就要求教師倒推教學(xué)過程中問題鏈的設(shè)計，從而促使學(xué)生再度探究數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，尋找解決問題的路徑。

問題6：如圖3 ，作出點[A2，3]關(guān)于直線x = -1的對稱點A1，以及關(guān)于直線y = 1的對稱點A2，并寫出點A1和A2的坐標。

問題7：在問題6中，連接AA1交直線x = -1于

點M1，連接AA2交直線y = 1于點M2，直接寫出點M1和M2的坐標。

問題8：若點[P6，2]和點[Q-2，2]關(guān)于某條直線對稱，試直接寫出該直線的表達式。

在平面直角坐標系中，點[A2，3]關(guān)于直線x = -1的對稱點A1的坐標為[-4，3，] 關(guān)于直線y = 1的對稱點A2的坐標為[2，-1。] 點[P6，2]和點[Q-2，2]關(guān)于直線x = 2對稱。因為對稱軸發(fā)生了變化，所以對稱點的坐標不再是簡單的符號變化。因此，在問題6和問題7中，學(xué)生從作出對稱點到寫出點的坐標，是對數(shù)形的淺層結(jié)合。而在問題8中，學(xué)生從根據(jù)點的坐標在平面直角坐標系中描出點，到畫出P，Q兩點的對稱軸，最后寫出對稱軸的表達式，這是一個具體可操作的可視化過程。在這個過程中，學(xué)生探究數(shù)形之間的關(guān)聯(lián)，從形中尋找數(shù)，使得數(shù)形深度結(jié)合，從而獲得一個具體的、有深度的、數(shù)形結(jié)合的活動經(jīng)驗。

四、融數(shù)形，提能力，數(shù)形相融

在明確探究問題的線索和研究解決問題的方法之后，學(xué)生的學(xué)習(xí)再度走向深入。如何從點關(guān)于軸對稱的學(xué)習(xí)深入到點關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的學(xué)習(xí)，以及由此得出任意一個線段中點坐標的學(xué)習(xí)。此時，教師應(yīng)該提供關(guān)聯(lián)性知識和解決問題的問題鏈，并在問題鏈的深度挖掘中使學(xué)生鞏固數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

問題9：寫出點[A2，3]關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的點的坐標，以及點[Pa，b]關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的點的坐標。

問題10：已知線段AB的兩個端點的坐標分別為[A4，-1，B2，3，] 試寫出線段AB的中點M的坐標，并與同伴交流你的思考過程。

有了前面解決問題的經(jīng)驗，對問題9的解決，學(xué)生基本能畫出如圖4所示的圖形，從而解決問題。

對于問題10，大部分學(xué)生無從下手，少部分學(xué)生通過畫圖猜想出正確答案，但無法解釋其中的原理。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧并觀察問題7中點M1與點A和點A1，點M2與點A和點A2之間的坐標關(guān)系，并提出猜想，通過畫圖驗證猜想是否成立。學(xué)生立刻發(fā)現(xiàn)問題7中的點M1的橫坐標為[2+-42=-1，] 點M2的縱坐標為[3+-12=1，] 而點M1，M2分別是線段AA1和線段AA2的中點，于是提出初步猜想：中點橫坐標就是線段兩端點橫坐標之和的一半，中點縱坐標就是線段兩端點縱坐標之和的一半。因此，問題10中的點M的坐標是[3，1。]

對于怎樣證明猜想的準確性，學(xué)生可以利用圖形的軸對稱性質(zhì)和三角形全等性質(zhì)構(gòu)造圖形來驗證。教師引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)與坐標軸平行的特殊線段中點坐標與線段端點坐標存在關(guān)聯(lián)，從而引發(fā)學(xué)生猜想：一般情況下的線段中點坐標是不是也如此，并利用圖形來驗證猜想是否成立。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了提出猜想、畫圖驗證、證明猜想的全過程。在與同伴的交流中，學(xué)生則經(jīng)歷了批判、選擇和決策的數(shù)學(xué)思維全過程，促進數(shù)形結(jié)合，進一步發(fā)展了幾何直觀能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

五、建框架，促思維，形成學(xué)習(xí)經(jīng)驗

構(gòu)建學(xué)習(xí)框架，是落實學(xué)生核心素養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體，是尋找解決問題的手段和方法，也是解決問題的核心環(huán)節(jié)。因此，在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師要學(xué)會放手，提供給學(xué)生思考的方向和必要的思考時間，讓學(xué)生自主進行歸納小結(jié)。關(guān)于本節(jié)課的學(xué)習(xí)，師生對以下幾個方面進行歸納小結(jié)。

（1）這節(jié)課的重點是什么？難點是什么？

（2）在平面直角坐標系中研究圖形問題時，其研究的基本對象是什么？從點關(guān)于坐標軸對稱，到關(guān)于平行于坐標軸的直線對稱，再到關(guān)于象限的角平分線對稱，最后到求平面直角坐標系中任意線段的中點坐標，在整個過程中，我們解決問題的核心方法是什么？

雖然學(xué)生的歸納各有不同，但大家對于數(shù)形結(jié)合思想、幾何直觀能力的認識達成了共識。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們以兩條坐標軸作為對稱軸，從觀察點的坐標的變化規(guī)律入手，到如何刻畫點在平面直角坐標系中位置的“形”的思考，從而獲得原始的直接經(jīng)驗；再到對稱軸為直線x = -1和直線y = 1時，感受點的坐標“數(shù)”的變與不變，深入探究變化中的不變性，從而積累活動經(jīng)驗；到最后以直線y = x為對稱軸寫出對稱點的坐標，以及拓展到能在平面直角坐標系中求出任意一條線段中點的坐標，獲得理性數(shù)學(xué)經(jīng)驗。數(shù)形結(jié)合思想貫穿了整個學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生獲得了充分體驗，逐步發(fā)展了幾何直觀能力。

六、教學(xué)反思

對于本節(jié)課，如果只按照教材的課時分配進行教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容止步在點關(guān)于坐標軸對稱和作圖形關(guān)于坐標軸對稱，那么本課時的教學(xué)就只是注重教授知識，忽略了“在平面直角坐標系中研究對稱性問題”這條關(guān)鍵教學(xué)主線，也難以對后續(xù)研究二次函數(shù)圖象的軸對稱性和反比例函數(shù)圖象中心對稱進行知識關(guān)聯(lián)，很難形成系統(tǒng)性的知識整合。忽視初中階段研究圖形和函數(shù)圖象的軸對稱性問題，會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識體系破碎化，缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連續(xù)性，限制學(xué)生的思維發(fā)展，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)局限于單一課時內(nèi)容的學(xué)習(xí)，長遠來看不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。我們還要深度思考：這節(jié)課的教學(xué)對后續(xù)的學(xué)習(xí)能起什么作用？對學(xué)生哪方面的數(shù)學(xué)思想方法有培養(yǎng)和提升作用？對于幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展提供了什么樣的學(xué)習(xí)路徑？這需要教師繼續(xù)思考、實踐與提煉。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］趙桂芳. 加強尺規(guī)作圖? 建立幾何直觀［J］. 遼寧教育，2022（21）：5-9.