創(chuàng)新定義設(shè)置，數(shù)學(xué)思維發(fā)散

梁麗

摘? 要：高考綜合改革的不斷推進(jìn)與平穩(wěn)過(guò)渡，是“三新”背景下高考改革的一個(gè)重要?jiǎng)酉?本文結(jié)合2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷中的一道最值求解的填空題，以創(chuàng)新定義的形式來(lái)設(shè)置，從不同思維來(lái)切入與發(fā)散，剖析問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，探求問(wèn)題的求解與突破，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新定義；思維；最值

由教育部命題考試中心于2024年1月命制的九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷填空題中，

壓軸題是一道以創(chuàng)新定義為情境，結(jié)合三變量的不等關(guān)系來(lái)創(chuàng)設(shè)，進(jìn)而確定代數(shù)式的最值問(wèn)題，是集基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性等于一體的代數(shù)問(wèn)題，值得深入研究.

1? 問(wèn)題呈現(xiàn)

^^（2024年九省聯(lián)考高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷·14）&&以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0

此題是考查涉及三個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的多個(gè)代數(shù)式間的最值問(wèn)題，一直是高考命題中的一類熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一.此類問(wèn)題的設(shè)置場(chǎng)景多樣，本題通過(guò)新定義“maxM”來(lái)創(chuàng)設(shè)，同時(shí)結(jié)合兩個(gè)并列的不等條件合理設(shè)置，優(yōu)化問(wèn)題場(chǎng)景，開(kāi)拓創(chuàng)新性應(yīng)用.

2? 問(wèn)題破解

2.1? 平均值原理思維

方法1：（換元法）

解析：設(shè)m=a，n=b－a，p=c－b，q=1－c，則有m+n=b，p+q=1－b，此時(shí)max{b－a，c－b，1－c}=max{n，p，q}.

由b≥2a或a+b≤1可知，n≥m或2m+n≤1，

可得max{n，p，q}≥maxn，p+q2=maxn，1-b2=maxn，1-（m+n）2.

若n≥m，則有maxn，1-（m+n）2≥n+1-（m+n）22=1+n-m4≥14.

若2m+n≤1，由于n+4×1-（m+n）2=2－（2m+n）≥1，則有maxn，1-（m+n）2≥n+4×1-（m+n）25=2-（2m+n）5≥15.

綜上分析，可知maxn，1-（m+n）2≥15，當(dāng)且僅當(dāng)2m+n=1且n=15，即a=25，b=35，c=45時(shí)，等號(hào)成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解后反思：合理消元是處理多變量代數(shù)式的最值問(wèn)題中最為常用的一類技巧方法，而結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，有時(shí)通過(guò)換元可以給消元開(kāi)拓一個(gè)全新的局面，也是處理問(wèn)題的一種“通性通法”.本題中消元的基本工具就是利用平均值的性質(zhì)max{a，b}≥a+b2加以合理放縮，借助巧妙的配湊與放縮，從而實(shí)現(xiàn)消元的目的.

方法2：（分類討論法）

解析：設(shè)M=max{b－a，c－b，1－c}.

由平均值原理，可得M≥（b-a）+（c-b）+（1-c）3=1-a3，整理，得a≥1－3M.

又M≥（c-b）+（1-c）2=1-b2，整理，得b≥1－2M.

若b≥2a，結(jié)合b－a≤M，則知M≥b－a≥a≥1－3M，解得M≥14.

若a+b≤1，則知1－2M≤b≤1－a≤1－（1－3M）=3M，解得M≥15.

綜上可知，M≥15，當(dāng)且僅當(dāng)a=1－3M=25，b=1－2M=35，c=45時(shí)，等號(hào)成立.

所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解后反思：挖掘創(chuàng)新定義的內(nèi)涵，結(jié)合題設(shè)條件加以合理推理與論證，往往是解決此類問(wèn)題最為常見(jiàn)的基本思路.而本題中，結(jié)合兩個(gè)并列的涉及參數(shù)取值的不等式條件，推理時(shí)需要加以分類討論，當(dāng)然在推理分析時(shí)離不開(kāi)不等式的基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用.而本題的主要解題思路就是多次利用平均值原理（即若干個(gè)數(shù)的平均值介于最大值和最小值之間）即可嚴(yán)格論證.

2024年第3期解題探索

解題探索2024年第3期

2.2? 不等式性質(zhì)思維

方法3：（不等式性質(zhì)法）

解析：設(shè)M=max{b－a，c－b，1－c}，由創(chuàng)新定義知，M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c.

若b≥2a，則b－2a≥0，對(duì)不等式M≥b－a，M≥b－a，M≥c－b，M≥1－c同向相加，可得4M≥1+b－2a≥1，從而M≥14.

若a+b≤1，對(duì)不等式M≥b－a，M≥c－b，M≥c－b，M≥1－c，M≥1－c同向相加，可得5M≥2－a－b=2－（a+b）≥1，從而M≥15.

綜上可知，M≥15，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=1且b－a=c－b=1－c，即a=25，b=35，c=45時(shí)，等號(hào)成立，所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15.

解后反思：回歸創(chuàng)新問(wèn)題的本質(zhì)以及相應(yīng)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，利用不等式的基本性質(zhì)來(lái)分析與處理，是問(wèn)題考查的本質(zhì)所在.而該解法中，通過(guò)不同條件下不等式的情形，合理構(gòu)建與之相吻合的不等式個(gè)數(shù)，進(jìn)行同向相加處理，達(dá)到巧妙化歸與轉(zhuǎn)化的目的，是該解法的關(guān)鍵所在.

2.3? 數(shù)形結(jié)合思維

方法4：（數(shù)形結(jié)合法）

解析：設(shè)M=max{b－a，c－b，1－c}.

如圖1所示，要確定M的最小值，即確定圖中b－a，c－b，1－c所對(duì)應(yīng)的三條線段中最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)的最小值.

圖1

首先，假設(shè)固定參數(shù)a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，此時(shí)1－a為定值，此時(shí)所分析的b－a，c－b，1－c所對(duì)應(yīng)的三條線段的總長(zhǎng)度為定值1－a.

依創(chuàng)新定義知，b－a≤M，c－b≤M，1－c≤M，這三個(gè)不等式同向相加，可得1－a≤3M，即M≥1-a3，亦即M=max{b－a，c－b，1－c}≥1-a3.

而要求1-a3的最小值，只要求參數(shù)a的最大值即可，取b－a=1-a3，可得b=2a+13.

結(jié)合題設(shè)條件b≥2a或a+b≤1，則有2a+13≥2a或a+2a+13≤1，解得a≤14或a≤25.

所以參數(shù)a的最大值為25，此時(shí)M的最小值為1-a3=15.

所以max{b－a，c－b，1－c}的最小值為15，當(dāng)且僅當(dāng)a=25，b=35，c=45時(shí)，等號(hào)成立.

解后反思：根據(jù)創(chuàng)新定義的內(nèi)涵，化“代數(shù)”為“幾何”，利用幾何圖形直觀來(lái)輔助推理，有時(shí)也是解決此類問(wèn)題中比較常用的一種基本思路.

3? 教學(xué)啟示

3.1? 改革題量，引導(dǎo)備考

2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷，測(cè)試卷減少了試題數(shù)量，增加了解答題的分?jǐn)?shù)占比，對(duì)數(shù)學(xué)思維過(guò)程的考查有所加強(qiáng).由于試題數(shù)量減少，考查知識(shí)內(nèi)容的覆蓋面受到一定影響，測(cè)試卷著重考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求，不受限于對(duì)某些具體知識(shí)內(nèi)容的考查.

而測(cè)試卷改革的目的，其根本就是靈活改變?cè)囶}順序，防止猜題押題，鼓勵(lì)考生注重素質(zhì)教育，消除應(yīng)試教育的弊端.可以說(shuō)，2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷對(duì)數(shù)學(xué)高考改革做了一次有益的探索，值得關(guān)注.總結(jié)它的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐效果，讓我們對(duì)今后的復(fù)習(xí)備考以及數(shù)學(xué)高考改革充滿期待.

3.2? 注重思維，發(fā)展素養(yǎng)

從以上問(wèn)題（2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第14題）的設(shè)置與考查的知識(shí)，也可以看出，高考改革對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)更加明確，注重?cái)?shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力，全面培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，引導(dǎo)育人本位，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育扎實(shí)實(shí)施素質(zhì)教育.

3.3? 總結(jié)思路，歸納技巧

一道有價(jià)值、優(yōu)美的數(shù)學(xué)題，往往是困難的題目，但衡量一道數(shù)學(xué)題目的優(yōu)美及難易程度卻因人而異，比自身目前解題功力略高一籌，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的思索，有了想法，有了思路，一番苦功做下來(lái)，一番苦汗流淌下來(lái)，困難問(wèn)題的解答必定是優(yōu)美的，而優(yōu)美的解答必定助益于長(zhǎng)時(shí)間思維的千錘百煉.

易見(jiàn)，其解題策略絕大部分并非全靠套路，而多是一題一術(shù)，就像好的木匠，因料施工；就像成熟的將軍，因勢(shì)施略、見(jiàn)招拆招，無(wú)招勝有招.思維如同歷經(jīng)了一番春雨、扎根、抽苗，排除萬(wàn)難，最終攻克這道難題，似是打通七經(jīng)八脈，如感真氣流貫全身，他強(qiáng)由他強(qiáng)，清風(fēng)拂山崗，他橫由他橫，明月照大江.故而這種數(shù)學(xué)題目對(duì)能力提升有難以估計(jì)的巨大功用，可謂之，好的數(shù)學(xué)題.