利用模型思想巧解數(shù)學題的策略

孫鵬飛

摘? 要：模型思想是培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力的重要思想方法，是與數(shù)學建模競賽相聯(lián)系的，并逐步在中小學教育中得到越來越多的重視.高中數(shù)學的理論概念和生活實際的聯(lián)系較為緊密，教師指導學生在理解和掌握必要的數(shù)學知識的基礎之上，培養(yǎng)學生關于數(shù)學的模型思維以及將數(shù)學理論和生活實際相結合的數(shù)學能力.在新課改的實施進程中，數(shù)學思想的應用也被納入了高中數(shù)學課堂的教學目標中.如何利用模型思想解決高中數(shù)學的具體問題，從而達到優(yōu)化解決問題的目的，是高中數(shù)學教師需要思考的問題之一.

關鍵詞：模型思想；簡化假設；模型識別

建模通俗地講就是建立模型，本質地說是一種思考方法，是對實際問題進行抽象、假設、簡化，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到的一個數(shù)學框架或結構，進而求解模型、驗證模型解的全過程.而建模思想就是利用模型的結論、模型的假設、模型的特征、模型的背景等去解決問題的一種方法，下面我將分享建模思想在解題中的一些初步應用.

1? 模型結論的識別

1.1? 當且僅當

^^（2014年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科·16）&&已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為??? .

解析：顯然面積模型為三角形，要求面積最大，往往會想到等邊三角形.均值不等式定理就是利用“當且僅當”實現(xiàn)的，所以這道題只需要驗證60°的存在問題.顯然角為60°成立，所以面積為3.這樣的秒殺就是建模思想的充分利用.

1.2? 三點共線

圖1

（1）如圖1，已知橢圓C：x27+y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，點N（-1，1），則|MN|+|MF1|的最大值為??? .

解析：利用橢圓的定義轉化，由幾何法求出|MN|+|MF1|的最大值.|MN|+|MF1|=|MN|+27-|MF2|≤|NF2|+27=

（2+1）2+（0-1）2=10+27（當M，F(xiàn)2，N三點共線時，等號成立），所以|MN|+|MF1|的最大值為10+27.

（2）如圖2，已知橢圓C：x24+y23=1的右焦點為F，點P在橢圓C上，若點A（5，8），則|PA|-|PF|的最小值為??? .

圖2

解析：由橢圓的定義知，|PF1|+|PF|=4，所以|PF|=4-|PF1|，

因此|PA|-|PF|=|PA|-（4-|PF1|）=|PA|+|PF1|-4，而|PA|+|PF1|的最小值是當P，A，F(xiàn)1三點共線時AF1的長，因此|PA|-|PF|≥|AF1|-4.又F1（-1，0），因此|AF1|=（5+1）2+82=10，所以|PA|-|PF|≥6，因此|PA|-|PF|的最小值為6.

2? 假設簡化的識別

2.1? 模型假設

如圖3，已知橢圓：x2a2+y2=1（a＞1）的離心率為12，則a等于（? ）.

A. 233

B. 2

C. 3

D. 2

圖3

解析：常規(guī)解法為a2-1a=12，兩邊平方求解.當有模型假設時，就變?yōu)楸壤P系13=a2，解得a=233.

2.2? 簡化假設

^^（2023年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科·21）&&甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

2024年第3期數(shù)學建模

數(shù)學建模2024年第3期

（1）求第2次投籃的人是乙的概率.

（2）求第i次投籃的人是甲的概率.

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（ni=1Xi）=ni=1qi，記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

解析：第一問其實就是第二問必要的簡化與引子，第二問只需要模型假設即可.設甲第i次投籃的概率為pi，則甲第（i+1）次投籃的概率為pi+1=0.6pi+0.2（1-pi），通過構造即可求解，但是閱卷的零分率卻很高，不得不讓我們反思，數(shù)學建模教學存在嚴重的不足.

3? 特征結構的識別

^^（2023年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科·16）&&如圖4，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2A=-23F2B，則C的離心率為??? .

圖4

解析：從-23的特征結構出發(fā)，結合對稱性建立直角模型.假定AF2=2，則BF2=3，BF1=3，AF1=4，2a=2，a=1，由cosA=45=16+4-4c216=5-c24，c2=95，所以

ca=

c2a2=355.

參考文獻

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