關(guān)注核心素養(yǎng)培養(yǎng)的課堂教學(xué)
——以“遞推數(shù)列求通項公式”復(fù)習(xí)課教學(xué)為例

文| 袁雯青

陶行知先生曾言“教育應(yīng)當(dāng)培植生活力，使學(xué)生向上生長”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這句話體現(xiàn)了“讓數(shù)學(xué)教學(xué)為學(xué)生成長助力”的理念。尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，遵循學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)，確立其主體地位，使他們的核心素養(yǎng)得到充分發(fā)展，在課堂中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣。

如何在復(fù)習(xí)課的教學(xué)課堂中，讓學(xué)生在已有的知識方法儲備中進(jìn)行更深刻的思考，產(chǎn)生更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，獲得更多的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力？本文結(jié)合“遞推數(shù)列求通項公式”復(fù)習(xí)課教學(xué)案例進(jìn)行分析，旨在教會學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、課堂呈現(xiàn)

（一）基本問題展示，回顧基本方法，抓牢求通項本質(zhì)

問題：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，nan+1=（n+1）an，則an=______.

給學(xué)生一點(diǎn)時間思考后，學(xué)生積極提出自己的想法，并給出主要解題過程。

當(dāng)n≥2 時，用累乘法可得又因a1=1 符合上式，所以an=n。

師：很好！這位同學(xué)將條件變形成前后兩項的比值，利用累乘法求得了數(shù)列的通項，并且注意了n≥2這個條件，很細(xì)致！那么，我們還有其他解決方法嗎？

師：這位同學(xué)通過條件的另一種變形，構(gòu)建了一個新的數(shù)列，得到了前后兩項的相等關(guān)系，利用構(gòu)造法構(gòu)造了常數(shù)列，求得通項公式，有不錯的轉(zhuǎn)化意識。

（二）問題變形遞進(jìn)，深入基本方法研究，促進(jìn)思維進(jìn)階

探究1：記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，已知a1=是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式。

師：有沒有同學(xué)可以給這位同學(xué)幫幫忙？

生5：順著這位同學(xué)的想法，目標(biāo)構(gòu)造常數(shù)列，這樣的話需要式子兩邊結(jié)構(gòu)相同，所以在式子的兩邊分母上都乘以n+1，原式變?yōu)槿绱说玫綌?shù)列為常數(shù)列，可知進(jìn)而得到數(shù)列的通項公式。

師：非常好！通過變化結(jié)構(gòu)，構(gòu)造常數(shù)列，體現(xiàn)了構(gòu)造的靈活性，拓寬了運(yùn)用范圍。這道題是2022 年新高考1 卷第17 題的第一問，看大家剛才的發(fā)言，就知道這道題難不倒大家的！由此可見，對于不是常規(guī)結(jié)構(gòu)的模型，可以通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)，利用熟悉的方法來解決問題。

探究2：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=3，an+1=3an-4，求數(shù)列｛an｝的通項公式。

生6：這個簡單，構(gòu)造等比數(shù)列｛an- ｝2 ，就可以求出通項。

師：很好！這位同學(xué)直接看出式子兩邊同時減2就可以構(gòu)造等比數(shù)列了，如果有同學(xué)看不出來，那怎么辦？

生6：待定系數(shù)法！既然不知道常數(shù)是多少，就設(shè)為λ，用待定系數(shù)法可以求出來。

師：沒錯！如果把條件中的“4”變成“4n”呢？

生7：試著構(gòu)造等比數(shù)列，兩邊加常數(shù)。

生8：不能加常數(shù)，后面是4n，猜想應(yīng)該加關(guān)于n的一次式，可以用待定系數(shù)法，設(shè)｛an+kn+｝b是公比為3 的等比數(shù)列，則有an+1+k（n+1）+b=3（an+kn+b）?an+1=3an+2kn+2b-k，結(jié)合條件可知，所以是公比為3 的等比數(shù)列。

生9：這位同學(xué)的做法中有個問題，構(gòu)造出的數(shù)列首項是0，不是等比數(shù)列，應(yīng)該是個常數(shù)列，所以an=2n+1。

師：好的，學(xué)生8 的做法體現(xiàn)了構(gòu)造法的靈活運(yùn)用，不局限于兩邊加常數(shù)的想法。學(xué)生9 注意到了更細(xì)節(jié)的地方，首項為0，根據(jù)遞推就可以得到所有項為0，得到了常數(shù)列，兩位同學(xué)結(jié)合以后，解法就完美了！

生10：我還有其他想法。根據(jù)遞推關(guān)系和a1，算了a2=3，a3=5，我猜通項公式就是an=2n+1，接下來證明：直接構(gòu)造｛an-2n-1｝ 就可以了。

師：這位同學(xué)的想法體現(xiàn)了數(shù)列的本質(zhì)“列”，并且在列的過程中歸納總結(jié)，猜想出了通項公式，通過猜想并證明的過程求出了通項公式，數(shù)學(xué)直覺非常棒！數(shù)列，“列”是本質(zhì)，尤其是在小題中，通過“列”來探求規(guī)律，歸納總結(jié)出通項公式，解決問題，大題需要證明！如果把“4n”變成“4n”呢？

生11：兩邊同時除以3n+1，式子變形為然后用累加法就可以得到通項公式了；也可以兩邊同時除以4n+1，式子變形為，然后用構(gòu)造法求得通項公式。

師：太棒了！這位同學(xué)提供了兩個解題思路，將復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為我們求通項的基本方法，做到化繁為簡，利用已掌握的知識解決相對困難的問題，非常好！

生12：我也有一個思路，順著學(xué)生8 的構(gòu)造想法，構(gòu)造｛an+λ·4｝n，an+1+λ·4n+1=3（an+λ·4n）?an+1=3anλ·4n，由待定系數(shù)法得λ=1，又因a1+4=7≠0，可知｛an+4n｝是首項為7、公比為3 的等比數(shù)列，可得an+4n=7·3n-1?an=7·3n-1-4n。

師：以上探究體現(xiàn)了構(gòu)造的不同形式，不再局限于一開始問題的常數(shù)列，還可以構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列等各種我們可以求通項的遞推關(guān)系，體現(xiàn)了求通項方法運(yùn)用的靈活性。

（三）立足高考題型，深化基本方法運(yùn)用，構(gòu)建基本方法體系

探究3：已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛an｝，滿足an+2=2an+1+3an，若，求數(shù)列｛an｝的通項公式。

學(xué)生思考之后，提出自己的見解和看法。

生14：觀察發(fā)現(xiàn)，兩邊同時加一個an+1，可得an+2+an+1=3（an+1+an），又因a1+a2=2，求得an+1+an=2·3n-1，這個形式和探究2 中的第三個問題是一樣的，求通項的方法很多！

生15：參考了這位同學(xué)的做法，發(fā)現(xiàn)兩邊同時減3an+1效果一樣，可得an+2-3an+1=-（an+1-3an），又因a2-3a1=0，求得an+1-3an=0，竟然是個等比數(shù)列，這下就很簡單了。

師：這個題是2021 年新高考八省聯(lián)考第17 題的第二問，學(xué)生14 的解法實(shí)際就是原題的第一問，證明｛an+1+an｝是等比數(shù)列，同學(xué)們和出題專家想到一起去了。第一位同學(xué)依然采取了多列幾項找規(guī)律的形式，但是無法證明。另外兩位同學(xué)數(shù)學(xué)直觀想象水平很高，數(shù)學(xué)感覺很好，通過觀察，發(fā)現(xiàn)了解法，很厲害！實(shí)現(xiàn)了三項關(guān)系到兩項關(guān)系的轉(zhuǎn)化，就利用前面兩項關(guān)系的探究來解決問題，體現(xiàn)了化歸思想的重要性，將未知轉(zhuǎn)化為已知！對于很多同學(xué)來說難度比較大，我們來探討一下解決這個問題的通用方法。要實(shí)現(xiàn)三項關(guān)系向兩項關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考慮將兩項作為整體，左右形式統(tǒng)一，由此進(jìn)行構(gòu)造。

設(shè)an+2+pan+1=q（an+1+pan）?an+2=（q-p）an+1+pqan，結(jié)合條件an+2=2an+1+3an，由待定系數(shù)法可得，就是學(xué)生14 和學(xué)生15 兩位觀察出來的兩組數(shù)據(jù)。

師：這道題顯然第二組數(shù)據(jù)解題更為簡單，如果出現(xiàn)兩組數(shù)據(jù)運(yùn)算過程和難度差不多，可以兩組同時進(jìn)行，借助方程求通項。這也說明，在解題過程中擇優(yōu)也是必要的，可以優(yōu)化計算，減少計算量，增加正確率。

二、教學(xué)感悟

在整個課堂教學(xué)過程中，教師讓方法和思維意識在每一次探究中層層遞進(jìn)，并在最后都通過高考題點(diǎn)明基礎(chǔ)方法的重要性，讓學(xué)生了解，很多高考題，本質(zhì)還是考基礎(chǔ)的，在條件分析中將平時掌握的知識層層套入，就能將高考題層層解析，最后得出想要的結(jié)果。

（一）構(gòu)建方法體系

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中遇到各種困難和障礙，往往是解題的基本方法體系存在漏洞，不夠完善。構(gòu)建基本方法體系的課堂，需要教師在平時的課堂教學(xué)中，從整個單元的視角出發(fā)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，精準(zhǔn)選擇課堂例題，精心設(shè)計問題的探究，引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、猜想、證明、轉(zhuǎn)化、化歸等途徑建立方法之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，幫助學(xué)生多方面、多角度整合解決問題的方法，促進(jìn)求數(shù)列的通項公式的方法體系不斷生長，進(jìn)而使數(shù)列整個章節(jié)的基本方法體系不斷完善。

（二）探究題型變化

在新課標(biāo)的導(dǎo)向以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的需求下的數(shù)學(xué)課堂，教師處于引導(dǎo)地位，學(xué)生作為主體積極參與課堂教學(xué)，并在這個過程中不斷積累各種基本方法。此時要求教師要基于學(xué)生學(xué)情，設(shè)計例題的各種變化形式，引導(dǎo)學(xué)生深入研究問題，由簡到繁，從已知到未知，學(xué)習(xí)新的知識、新的方法，再實(shí)現(xiàn)化繁為簡、將未知變成已知的目標(biāo)，促進(jìn)知識的不斷生長。

深度研究題型變化是教會學(xué)生運(yùn)用基本方法的、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑。在學(xué)生探究的過程中，基本方法體系是基礎(chǔ)，邏輯思維是引領(lǐng)。在解決“遞推數(shù)列求通項公式”時，學(xué)生在找規(guī)律、累加法、累乘法、簡單構(gòu)造、待定系數(shù)法等基本方法的基礎(chǔ)上，又了解并掌握了構(gòu)造常數(shù)列、復(fù)雜兩項關(guān)系構(gòu)造、三項關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩項關(guān)系的處理方式，使學(xué)生在問題探究的過程中，不斷熟悉方法，并做到靈活運(yùn)用，鍛煉了思維，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）教會學(xué)生思考

思考是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，學(xué)會思考是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。要讓學(xué)生抓牢掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師先要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析思考問題，更要能深度思考問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師不是簡單地告訴學(xué)生這個題怎么做、用什么方法，而是要呈現(xiàn)思維過程，教會學(xué)生如何通過分析題目條件，抓住題目本質(zhì)，找到解題方向，用對解題方法，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

（四）促進(jìn)思維進(jìn)階

這節(jié)課的教學(xué)中，教師通過3 個探究及幾個變式的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生對“遞推數(shù)列求通項公式”的基本方法進(jìn)行深入探索，滲透了數(shù)學(xué)思想。很多學(xué)生積極提出自己的見解，并給出了解題過程，另外在不同的觀點(diǎn)和解法中，提出補(bǔ)充與修正，使解題方法得到完善，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》在教學(xué)建議中也強(qiáng)調(diào)：“‘四基四能’是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體?！币虼耍跀?shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)抓牢“四基四能”，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。