提升高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)
——以“數(shù)列的概念”為例

文| 李 峰

數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵能力，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和未來的職業(yè)發(fā)展具有重要意義。本文以湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第1章“數(shù)列的概念”為例，提出引導(dǎo)學(xué)生樹立建模意識(shí)、創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生在探究中掌握建模知識(shí)、結(jié)合實(shí)際生活分析數(shù)學(xué)知識(shí)等策略，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。通過實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用數(shù)列的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力。

一、數(shù)學(xué)建模能力概述

數(shù)學(xué)建模能力是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、符號(hào)、公式等工具，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的問題進(jìn)行抽象、簡化，并建立數(shù)學(xué)模型的能力。它是一種綜合性的思維能力，需要學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、良好的分析問題能力以及一定的創(chuàng)新能力。在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析和解決，這有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和解決問題的能力。數(shù)學(xué)建模能力是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的重要途徑之一，也是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教育中的重要任務(wù)。

二、高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提升策略

（一）引導(dǎo)學(xué)生樹立建模意識(shí)，學(xué)習(xí)建模知識(shí)

在高中教育階段，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)建模是一種將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解的過程。為了培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生樹立建模意識(shí)，讓他們認(rèn)識(shí)到建模在解決實(shí)際問題中的作用和意義。教師需要注重基礎(chǔ)知識(shí)的講解，包括代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)。只有掌握了這些基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生才能更好地理解和掌握建模方法。同時(shí)，教師還需要注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力。

★情景導(dǎo)入

教師：同學(xué)們，大家好！今天我們將學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念——數(shù)列。在我們的日常生活中，數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，如工資、獎(jiǎng)金、存款等都是按照數(shù)列的方式進(jìn)行計(jì)算的。那么，數(shù)列的概念是什么呢？讓我們一起來探索吧！

學(xué)生：老師，數(shù)列是不是一組數(shù)排列起來？

教師：是的，數(shù)列是一組有序的數(shù)，按照一定的規(guī)律排列。數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都有其特定的位置，相鄰的兩個(gè)數(shù)之間有一定的關(guān)系。如等差數(shù)列和等比數(shù)列就是兩種常見的數(shù)列類型。

學(xué)生：老師，等差數(shù)列和等比數(shù)列有什么區(qū)別呢？

教師：等差數(shù)列是指相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，而等比數(shù)列是指相鄰兩個(gè)數(shù)的比是一個(gè)常數(shù)的數(shù)列。如自然數(shù)序列1，2，3，…，就是一個(gè)等差數(shù)列，而1，2，4，8，…，就是一個(gè)等比數(shù)列。好了，下面開始我們今天的學(xué)習(xí)。

★知識(shí)點(diǎn)講解

1.數(shù)列的概念

數(shù)列是一組有序的數(shù)，按照一定的規(guī)律排列。數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都有其特定的位置，相鄰的兩個(gè)數(shù)之間有一定的關(guān)系。

2.數(shù)列的表示方法

通?？梢杂米帜负鸵恍┓?hào)來表示數(shù)列。比如，an表示第n項(xiàng)的值，a1表示第一項(xiàng)的值，d表示公差，r表示公比。

3.數(shù)列的分類

根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)，可以將數(shù)列分為等差數(shù)列和等比數(shù)列。等差數(shù)列是指相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一個(gè)常數(shù)的數(shù)列；等比數(shù)列是指相鄰兩個(gè)數(shù)的比是一個(gè)常數(shù)的數(shù)列。

★例題講解

例1.求等差數(shù)列1，4，7，10，13，…，的第10 個(gè)數(shù)。

講解：首先要確定這個(gè)等差數(shù)列的公差是多少。根據(jù)等差數(shù)列的定義，我們可以得出公差是3。那么第10 個(gè)數(shù)就是1 加上9 個(gè)公差，即1+3×9=28。

例2.求等比數(shù)列2，4，8，16，32，…，的第5 個(gè)數(shù)。

講解：首先要確定這個(gè)等比數(shù)列的公比是多少。根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們可以得出公比是2，那么第5 個(gè)數(shù)就是2 乘以2 的四次方，即2×24=32。

★小結(jié)與拓展

通過學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)列的概念、表示方法和分類有了深入的了解，并掌握了如何求等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)。這些概念和技巧不僅有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)，還能夠在實(shí)際生活中加以應(yīng)用。同時(shí)，學(xué)生也意識(shí)到了不斷提高自己的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和能力的重要性。除了等差數(shù)列和等比數(shù)列，還有其他特殊類型的數(shù)列如質(zhì)數(shù)列、合數(shù)列等。這些特殊類型的數(shù)列在數(shù)學(xué)中也有著重要的應(yīng)用。例如，質(zhì)數(shù)在密碼學(xué)中有著重要的應(yīng)用，而合數(shù)則在計(jì)算一些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的解時(shí)起到關(guān)鍵的作用。因此，了解這些特殊類型的數(shù)列也是非常重要的。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在探究中掌握建模知識(shí)

創(chuàng)設(shè)情境是提升高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的關(guān)鍵策略之一，通過創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性的情境，可以引導(dǎo)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)建模的知識(shí)和方法。這種情境化的教學(xué)方式有助于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)建模的核心概念和技巧，提高他們的數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，創(chuàng)設(shè)情境還可以激發(fā)學(xué)生的思維活躍性和創(chuàng)新性，培養(yǎng)他們解決問題的能力。

探究活動(dòng)：數(shù)列的規(guī)律探索

1.引入情境

教師向?qū)W生展示一組數(shù)列，如1，4，7，10，13，…，并引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)的規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等差數(shù)列，其中每個(gè)數(shù)之間的差是常數(shù)。

2.提出問題

（1）這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是什么？

（2）如何用數(shù)學(xué)模型描述這種規(guī)律？

（3）你能找出這個(gè)數(shù)列的其他規(guī)律嗎？

3.探究過程

定義數(shù)列：教師引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)列的概念，強(qiáng)調(diào)數(shù)列是有序的數(shù)字排列，每個(gè)數(shù)字都有其特定的位置和規(guī)律，同時(shí)，讓學(xué)生了解數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)公式等基本概念。

分析規(guī)律：教師引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)列的規(guī)律。在這個(gè)例子中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，其中每個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大3。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，其中a1是第一項(xiàng)，d是公差，n是項(xiàng)數(shù)。

預(yù)測(cè)與驗(yàn)證：教師引導(dǎo)學(xué)生使用通項(xiàng)公式來預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)或給出新的數(shù)列規(guī)律。在這個(gè)例子中，學(xué)生可以預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)為13+3=16，而給出新的數(shù)列規(guī)律如2，5，8，11，…，然后，讓學(xué)生通過計(jì)算驗(yàn)證他們的預(yù)測(cè)是否正確。

拓展思考：除了等差數(shù)列，還有其他的數(shù)列類型如等比數(shù)列。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何探究等比數(shù)列的規(guī)律。例如，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1×r（n-1），其中a1是第一項(xiàng)，r是公比，n是項(xiàng)數(shù)。學(xué)生可以嘗試使用這個(gè)公式來描述一些常見的等比數(shù)列，如2，4，8，16，…。

分組討論：學(xué)生分組討論，嘗試找出更多數(shù)列的規(guī)律和建模方法。小組成員可以互相交流想法，分享發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。教師巡視并給予指導(dǎo)和幫助。

分享與評(píng)價(jià)：各小組選派代表匯報(bào)討論結(jié)果，其他小組提出疑問或補(bǔ)充意見。教師對(duì)各組的匯報(bào)進(jìn)行評(píng)價(jià)和總結(jié)，強(qiáng)調(diào)建模的重要性和適用性。

鞏固應(yīng)用：教師通過一些練習(xí)題或小測(cè)驗(yàn)來檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)列規(guī)律和建模方法的掌握情況。學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，并積極回答問題。

4.總結(jié)與反思

通過此次探究活動(dòng)，學(xué)生親身經(jīng)歷了從問題提出、規(guī)律發(fā)現(xiàn)到模型建立的全過程，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)建模的魅力和價(jià)值。通過數(shù)列規(guī)律的探索，他們不僅掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，還學(xué)會(huì)了如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。通過此次探究活動(dòng)，學(xué)生的建模素養(yǎng)得到了顯著提升，他們不僅掌握了建模知識(shí)，還提升了建模素養(yǎng)。這對(duì)學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和職業(yè)生涯都將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，更重要的是學(xué)會(huì)了如何面對(duì)挑戰(zhàn)、勇于創(chuàng)新的精神品質(zhì)。

（三）結(jié)合實(shí)際生活分析數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)以致用

數(shù)學(xué)建模作為連接現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁，其重要性在于訓(xùn)練學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。而要實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際意義和應(yīng)用背景。因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中應(yīng)積極尋找數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的結(jié)合點(diǎn)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的無處不在和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。通過這樣的教學(xué)方式，學(xué)生可以逐漸培養(yǎng)起從數(shù)學(xué)角度觀察和分析問題的習(xí)慣。具體來說，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去尋求解決方案。這種能力的培養(yǎng)不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，還能提升他們的邏輯思維能力和問題解決能力。

活動(dòng)名稱：數(shù)列在生活中的應(yīng)用

1.活動(dòng)目標(biāo)

（1）讓學(xué)生了解數(shù)列的概念和基本性質(zhì)。

（2）讓學(xué)生掌握數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

（3）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力。

2.活動(dòng)步驟

（1）準(zhǔn)備階段：教師首先向?qū)W生介紹了數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，包括數(shù)列的定義、分類、通項(xiàng)公式等。同時(shí)，教師還引導(dǎo)學(xué)生了解了數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如斐波那契數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等。為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)列的概念和性質(zhì)，教師還提供了一些例題和練習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)和鞏固。

（2）實(shí)踐活動(dòng)：在實(shí)踐活動(dòng)階段，學(xué)生分組進(jìn)行以下任務(wù)。

任務(wù)一：尋找生活中的數(shù)列

學(xué)生分組后，每組選擇一個(gè)與數(shù)列相關(guān)的主題，如時(shí)鐘的秒針運(yùn)動(dòng)、音樂中的音符排列等。學(xué)生利用課余時(shí)間，通過觀察、記錄等方式，了解所選主題中的數(shù)列現(xiàn)象。在收集數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析，建立數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，教師還提供了一些指導(dǎo)性的問題和建議，幫助學(xué)生更好地完成任務(wù)。

任務(wù)二：解決生活中的數(shù)列問題

學(xué)生分組后，每組選擇一個(gè)與數(shù)列相關(guān)的實(shí)際問題，如計(jì)算物品排列的種類、分析數(shù)據(jù)的周期性等。學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析和解決，建立數(shù)學(xué)模型并得出結(jié)論。同時(shí)，教師還提供一些指導(dǎo)性的問題和建議，幫助學(xué)生更好地完成任務(wù)。

（3）課堂展示：在課堂展示階段，學(xué)生將分析結(jié)果在課堂上進(jìn)行展示，與全班同學(xué)分享自己的發(fā)現(xiàn)和體會(huì)。在展示過程中，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋和說明。同時(shí)，教師需要對(duì)每個(gè)小組的展示進(jìn)行評(píng)價(jià)和總結(jié)，強(qiáng)調(diào)數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。為了讓學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)列的應(yīng)用，教師還提供了一些拓展性的問題和建議，幫助學(xué)生更好地拓展自己的思維和知識(shí)面。

3.總結(jié)與反思

教師總結(jié)學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中的表現(xiàn)和成果，指出存在的問題和不足，并給出改進(jìn)建議，同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)過程和方法，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，為今后的學(xué)習(xí)提供借鑒和指導(dǎo)。通過這次實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生更加深入地了解了數(shù)列的概念和實(shí)際應(yīng)用。他們不僅學(xué)會(huì)了如何將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，還培養(yǎng)了觀察能力和數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，通過與其他同學(xué)的交流和分享，他們也增強(qiáng)了團(tuán)隊(duì)合作和溝通能力。這種學(xué)以致用的教學(xué)方式對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力具有積極的意義。

我們發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生樹立建模意識(shí)、創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生在探究中掌握建模知識(shí)、結(jié)合實(shí)際生活分析數(shù)學(xué)知識(shí)等策略可以有效提高高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。這些策略不僅有助于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)列的概念，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力。在未來的教育實(shí)踐中，我們應(yīng)該更加注重?cái)?shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，通過多種方式提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和未來的職業(yè)發(fā)展能力。