基于數(shù)學(xué)文化的高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例
——以“數(shù)列”為例

文| 王洋洋

一、背景

數(shù)學(xué)文化涵蓋了數(shù)學(xué)知識、思想、方法，以及它們在社會歷史進程中的應(yīng)用和影響，這包含了數(shù)學(xué)在歷史、科學(xué)、藝術(shù)和哲學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用和影響。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重心不再只是解題技巧和公式定理的灌輸，而是要讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識之余，能夠深度理解并體驗到數(shù)學(xué)的歷史沿革和文化內(nèi)涵，從而激發(fā)他們的創(chuàng)新思維。在這個背景下，這套教學(xué)案例設(shè)計獨特而新穎。案例不再是一道道簡單的數(shù)學(xué)題目，而是具有真實性、歷史性和文化性的問題，如金字塔的建造問題、哥德巴赫猜想等，這些都是數(shù)學(xué)歷史上的重大問題，是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。

二、教學(xué)過程

（一）引入數(shù)列概念

在初步接觸數(shù)列概念的階段，教師會通過舉例來引入數(shù)列的定義和特性。在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里，數(shù)列是一項基本且關(guān)鍵的概念，特別是對高中生來說。為了讓學(xué)生掌握這一概念，教學(xué)過程中教師應(yīng)結(jié)合實際例子幫助學(xué)生感受數(shù)列的實用性。例如，可以用人口增長、金融投資收益等現(xiàn)實情境來說明數(shù)列如何在社會和經(jīng)濟領(lǐng)域內(nèi)發(fā)揮作用。

數(shù)列的定義涵蓋一組按照一定順序排列的數(shù)，這些數(shù)稱為項，它們按照位置排列形成第一項、第二項等序列。探索數(shù)列時，會發(fā)現(xiàn)它們可能遵循某種規(guī)律，像等差數(shù)列中項與項之間的差是恒定的，等比數(shù)列中每一項都是其前一項的固定倍數(shù)。這些規(guī)律反映了數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點，為深入數(shù)學(xué)研究提供了線索。

教師：同學(xué)們知道數(shù)列是什么嗎？

學(xué)生1：數(shù)列就是按照一定規(guī)律排列的一串數(shù)字。

教師：非常好，這是數(shù)列的基本理解。數(shù)列確實是一系列按照特定規(guī)律排列的數(shù)字。誰能說出一個生活中的例子呢？

學(xué)生2：我們考試成績表上的成績由高到低排列，可以看作是一個數(shù)列。

教師：很好的例子，每次考試的成績確實可以形成一個數(shù)列。大家知道人口增長怎么算嗎？

學(xué)生3：人口增長，是不是每年的人口數(shù)量會有變化，這個變化可以用數(shù)字表示出來。

教師：正是如此。想象一下，如果我們有一個城市從2000 年到2020 年每年人口的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)會形成怎樣的數(shù)列呢？

學(xué)生4：這應(yīng)該是一個時間序列的數(shù)列，可能是遞增的，因為人口一般會增長。

教師：非常精準，這樣的數(shù)列可以幫助我們了解人口增長的趨勢。

教師在這一階段的教學(xué)中，應(yīng)從具體的情境出發(fā)，循序漸進地幫助學(xué)生建立對數(shù)列的直觀理解。然后，通過分類討論和案例分析介紹數(shù)列的不同類型及其性質(zhì)，如等差和等比數(shù)列。在這個過程中，教學(xué)重點應(yīng)放在數(shù)列在現(xiàn)實問題解決中的應(yīng)用上，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并提升他們對數(shù)學(xué)知識的掌握。

（二）探索數(shù)列的性質(zhì)

在這個階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和分析不同的數(shù)列來找出數(shù)列的性質(zhì)和規(guī)律。探討數(shù)列性質(zhì)時，教師應(yīng)深入解釋數(shù)列的定義、其在多個領(lǐng)域的應(yīng)用，以及如何計算數(shù)列的特定項和總和。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生要學(xué)會使用數(shù)列描述和推測現(xiàn)實生活中的規(guī)律。同時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生探求那些不遵循普遍規(guī)律的數(shù)列，并嘗試描述它們的模式。

為了幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)列的知識，教師需要設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的實踐問題和活動，通過問題啟發(fā)學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生的深入思考，使其自主地掌握數(shù)列的性質(zhì)。這種做法不僅加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，還鼓勵他們在現(xiàn)實場景中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具。另外，教師應(yīng)當展示數(shù)列知識的歷史進程，介紹數(shù)學(xué)家如何對數(shù)列知識作出貢獻，以激起學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛。采用這種教學(xué)案例設(shè)計，學(xué)生不僅能掌握數(shù)列的特性，還能更全面地了解數(shù)學(xué)知識在實際生活中的運用和數(shù)學(xué)的文化價值。

教師：我們已經(jīng)了解了數(shù)列的基本概念。接下來將進一步探究數(shù)列的性質(zhì)。首先，大家來看一個簡單的等差數(shù)列：2，4，6，8，10……。這個數(shù)列有什么特點呢？

學(xué)生1：每一項比前一項多2。

教師：非常好，這就是等差數(shù)列的一大特性——公差。那么，等比數(shù)列的特性是什么？

學(xué)生2：等比數(shù)列的每一項都是前一項乘以同一個數(shù)，這個數(shù)我們稱為公比。

教師：很好，現(xiàn)在讓我們更深入一點。大家知道等差數(shù)列有通項公式an=a1+（n-1）d。請問，為什么需要通項公式？

學(xué)生3：有了通項公式，我們可以直接計算出數(shù)列中任意一項的值，而不需要逐步地計算每一項。

教師：正確。那么，我們能不能嘗試推導(dǎo)一下等比數(shù)列的通項公式？

學(xué)生4：等比數(shù)列的每一項都是前一項乘以公比q，所以通項公式應(yīng)該是an=a1·q（n-1）。

教師：很棒！我們通過觀察數(shù)列中項與項之間的關(guān)系，得出了通項公式?，F(xiàn)在大家來看一個具體的問題。假設(shè)有一個等差數(shù)列：3，7，11，15……。如果我想知道第100 項的值，應(yīng)該怎么做呢？

學(xué)生5：首先，要確定公差d，這里d=7-3=4。然后用公差和通項公式an=a1+（n-1）d，這里a1=3，n=100，所以第100 項是a100=3+（100-1）×4。

教師：非常正確。大家現(xiàn)在已經(jīng)開始理解數(shù)列的規(guī)律了。那么在等比數(shù)列中，如果知道第一項a1是2，公比q是3，能計算出第5 項嗎？

學(xué)生6：可以用通項公式an=a1·q（n-1），將a1=2，q=3和n=5 代入，得到第5 項是a5=2×3（5-1）=2×34。

教師：這個方法對計算任何一項都是有效的。除了通項公式，數(shù)列還有其他性質(zhì)。比如說等差數(shù)列的前n項和或者它表示了數(shù)列前n項的總和。為什么對等差數(shù)列來說，求和會這么簡單？

學(xué)生7：我想這是因為等差數(shù)列中項與項之間的增量是固定的，所以和可以看作是首項和末項平均值的n倍。

教師：非常好。等比數(shù)列的前n項和也有一個公式，對于q≠1 的等比數(shù)列，和為現(xiàn)在我們有了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，可以解決許多與數(shù)列相關(guān)的問題了。

（三）數(shù)列的應(yīng)用

教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的應(yīng)用時，教學(xué)中需將理論與實際相結(jié)合，展示數(shù)學(xué)在生活中的實用性。設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時，教師應(yīng)強調(diào)數(shù)列應(yīng)用的廣泛性以及其在解決問題時的實際作用。案例可以從簡單數(shù)列開始，如探討等差數(shù)列在金融事務(wù)中的應(yīng)用，包括存款計息和分期償還。等比數(shù)列則可用于解釋生物群落的增長模式或放射性衰減等現(xiàn)象。這些案例可以讓學(xué)生直觀感受到數(shù)列在日常生活中的應(yīng)用，激發(fā)他們對數(shù)列知識的學(xué)習(xí)興趣。

教師：同學(xué)們，大家已經(jīng)了解了數(shù)列的基本概念和一些基本性質(zhì)?，F(xiàn)在，我們一起看看數(shù)列是如何在實際問題中被應(yīng)用的。首先，回憶一下，數(shù)列在我們的日常生活中有哪些應(yīng)用？

學(xué)生1：數(shù)列可以用來預(yù)測人口增長和股市的走勢。

教師：很好，這些都是數(shù)列的典型應(yīng)用?，F(xiàn)在我出一個問題。假設(shè)大家要為一家公司設(shè)計一個儲蓄計劃，每個月存入固定金額的錢，銀行每年給予固定比例的利息。這個問題我們能用數(shù)列來解決嗎？

學(xué)生2：可以的。每個月存入的金額構(gòu)成一個等差數(shù)列，每年的利息可能會構(gòu)成一個等比數(shù)列。

教師：非常聰明！你已經(jīng)開始用數(shù)列來思考實際問題了。那我們怎樣具體計算呢？

學(xué)生3：我們可以列出一個數(shù)列來表示每月存款的總額，然后計算出每年的利息收入，最后把它們加起來。

教師：對，通過構(gòu)造數(shù)列并計算可以得到最終的儲蓄總額。這樣的計算對財務(wù)規(guī)劃非常有用。

通過這些實際問題，學(xué)生不僅加深了對數(shù)列的理解，還學(xué)會了如何將數(shù)列應(yīng)用于解決現(xiàn)實生活中的問題。同時學(xué)生也能認識到數(shù)學(xué)是美麗的，更是實用的，它無處不在，伴隨我們的每個思考過程。教師通過案例設(shè)計培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并提高其問題分析與解決技能，同時加深學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的理解與尊重。

（四）延伸與拓展

在這個階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探索一些更復(fù)雜的數(shù)列問題，以提高他們解決問題的能力，并加深他們對數(shù)列知識的理解。

教師：同學(xué)們，經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，大家已經(jīng)對等差數(shù)列和等比數(shù)列有了深入的理解?，F(xiàn)在，讓我們進一步探索更有趣的數(shù)列——斐波那契數(shù)列。大家知道斐波那契數(shù)列是怎樣的數(shù)列嗎？

學(xué)生1：斐波那契數(shù)列中每個數(shù)字都是前兩個數(shù)字的和，如1，1，2，3，5，8……

教師：沒錯。斐波那契數(shù)列的每項都是前兩項之和，這給了我們一個遞歸的數(shù)列定義方式。那么，誰能告訴我，斐波那契數(shù)列有什么特殊的性質(zhì)或者它在自然界中有哪些有趣的應(yīng)用呢？

學(xué)生2：我聽說過斐波那契數(shù)列與黃金比例有關(guān)，還有，好像在許多植物的葉子排列和花瓣的數(shù)量中可以看到斐波那契數(shù)列。

教師：非常棒的觀察！斐波那契數(shù)列與黃金分割有著密切的聯(lián)系，而且確實在自然界中有廣泛的應(yīng)用。比如，在植物的葉序和菊花的花瓣中都能發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的規(guī)律。現(xiàn)在，讓我們深入探索一下數(shù)列在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。比如，斐波那契數(shù)列的每一項與前面所有項的和存在什么關(guān)系呢？

學(xué)生3：我不確定，我們需要找出規(guī)律。

教師：好的。大家可以這樣做：首先寫下前幾項的和，然后尋找這些和與斐波那契數(shù)列中相應(yīng)項之間的關(guān)系。

學(xué)生1：我發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律！斐波那契數(shù)列的每一項幾乎都等于前面所有項之和加1。

教師：精彩！你發(fā)現(xiàn)了一個很重要的性質(zhì)。事實上，斐波那契數(shù)列中第n項幾乎等于前n-1 項和加1。這是斐波那契數(shù)列中的一個重要性質(zhì)。這種性質(zhì)可以幫助我們快速計算數(shù)列的部分和。現(xiàn)在，我們進一步延伸，嘗試解決一個更具挑戰(zhàn)性的問題。如果我們需要找到斐波那契數(shù)列中第n項是多少，而且不能一個接一個地去計算，你會怎么做？

學(xué)生2：這個問題難多了，我們能直接找到第n項的公式嗎？

教師：這就是我們要探索的問題。實際上，斐波那契數(shù)列有一個閉合形式的公式，叫做Binet 公式，它可以直接計算出數(shù)列的第n項。但是，這個公式涉及平方根和黃金比例，所以計算起來比較復(fù)雜。我們不需要深入探討這個公式的所有細節(jié)，但是了解它的存在對理解數(shù)列的深度非常重要。數(shù)列不僅可以被遞歸地定義，有時還可以找到直接計算任意一項的方法。希望大家能繼續(xù)探索數(shù)列，發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)之美。

三、教學(xué)反思

（一）強化問題情境與生活聯(lián)系

教師在教學(xué)案例中引入的問題需貼近學(xué)生實際，但有時可能缺少足夠的挑戰(zhàn)性和生活實際的緊密結(jié)合。這可能限制了學(xué)生將數(shù)列知識與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來的能力。因此，教師應(yīng)設(shè)計更復(fù)雜、與學(xué)生日常經(jīng)驗直接相關(guān)的問題，結(jié)合與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，加深學(xué)生對數(shù)列在現(xiàn)實中應(yīng)用的理解。

（二）促進數(shù)列深度探究與創(chuàng)新思考

教師引入如斐波那契數(shù)列等復(fù)雜問題以及相關(guān)的數(shù)學(xué)文化能促進學(xué)生思維能力的提升，但在激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和自主研究興趣方面仍有空間。因此，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生以小組合作的方式探討數(shù)列在多領(lǐng)域的運用，如自然科學(xué)、計算機等，以激發(fā)學(xué)生跨學(xué)科的創(chuàng)新思維。教師通過提出開放性問題，可激勵學(xué)生主動提問并尋求答案，培養(yǎng)他們的探究精神和解題創(chuàng)新能力。