一題一課，讓思維深度發(fā)展

李佳 李國(guó)良

【摘 要】“等積變形”是在“組合圖形的面積”之后增設(shè)的一節(jié)拓展課。圍繞關(guān)鍵一題展開，利用平行線間的特性變換正方形組合圖形內(nèi)的陰影部分來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行等積變形，從而抽象出等積變形的模型。通過變式組合圖形的外部框架，幫助學(xué)生提煉等積變形的本質(zhì)，提高解決問題的能力，發(fā)展空間觀念，最終實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的落實(shí)。

【關(guān)鍵詞】一題一課 等積變形 思維發(fā)展

“一題一課”是教師通過對(duì)一道題的整體分析，充分研究其在數(shù)學(xué)中的功能價(jià)值，基于學(xué)情，自然、合理、有序地組織學(xué)生展開深入的探究，以達(dá)成多維目標(biāo)的過程。有效地研究一道題并拓展到一類題，可以讓思維深度發(fā)展，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、課前慎思

人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)中安排面積知識(shí)的學(xué)習(xí)，并探索了基本的長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算。在五年級(jí)上冊(cè)第六單元“多邊形的面積”中又研究了平行四邊形、三角形、梯形以及組合圖形的面積。仔細(xì)觀察平行四邊形和三角形面積相關(guān)的課后習(xí)題，可以發(fā)現(xiàn)多次出現(xiàn)等底等高的題目（如圖1、圖2），這三個(gè)題目的解決都需要用到圖形的性質(zhì)進(jìn)行等積變形，在一次次的對(duì)圖形進(jìn)行變化的過程中慢慢發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理意識(shí)。同樣，在五年級(jí)下冊(cè)“體積”和六年級(jí)下冊(cè)“圓柱與圓錐”知識(shí)中也存在等體積中的變形。

下圖中兩個(gè)平行四邊形的面積相等嗎？它們的面積各是多少？

下圖中哪幾對(duì)三角形的面積相等？（兩條虛線互相平行）你還能畫出和三角形ABC面積相等的三角形嗎？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，習(xí)題的設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法。筆者基于新課標(biāo)的要求和對(duì)教材的分析，以“等積變形”一題作為課的核心內(nèi)容來開展研究。所謂“等積變形”就是在不改變面積大小的前提下改變圖形的形狀，在變形的過程中運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)，根據(jù)一組平行線的特性將復(fù)雜的面積計(jì)算方法轉(zhuǎn)化成基本圖形的面積計(jì)算，降低解決問題的難度，發(fā)展學(xué)生的空間想象力和推理能力。

二、基礎(chǔ)慎析

學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是開展有效教學(xué)活動(dòng)的前提，通過對(duì)學(xué)生知識(shí)水平、已有經(jīng)驗(yàn)、思維能力等方面進(jìn)行了解、分析與思考，為教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施有針對(duì)性的教學(xué)提供依據(jù)。筆者結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)了兩個(gè)前測(cè)題（如圖3），要求學(xué)生在10分鐘時(shí)間內(nèi)獨(dú)立解決問題。

下圖均是由兩個(gè)正方形拼組而成，根據(jù)條件求出陰影部分的面積。

從前測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要聚焦于“總面積－空白部分面積=陰影部分面積”。第一小題基本采用6×6+10×10－10×10÷2-6×（10+6）÷2=38（cm2），第二小題采用6×6+10×10－（10－6）×10÷2－10×（10+6）÷2－6×6÷2=18（cm2），且正確率較低。這給教學(xué)提出了值得思考的問題：一是學(xué)生運(yùn)用“等底等高”圖形面積相等的知識(shí)點(diǎn)比較薄弱；二是無法實(shí)現(xiàn)從等底等高的知識(shí)點(diǎn)向“等積變形”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)遷移。因此，筆者試圖通過“等底等高”圖形面積之間的關(guān)系，構(gòu)建起“等積變形”的拓展題，讓學(xué)生感受其中的“變與不變”，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用該知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)造出更多等面積的圖形，能巧妙計(jì)算較為復(fù)雜的圖形面積，增強(qiáng)“等積變形”的意識(shí)，幫助其進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)思維的縱深發(fā)展。

三、課堂慎行

（一）利用基本圖形，初識(shí)變換模型

借助已學(xué)的基本圖形，喚醒學(xué)生的原有認(rèn)知，讓其感受利用平行線間的特性來找形狀不同而面積相等的圖形，初步認(rèn)識(shí)“等積變形”的模型，為之后更深思維層次的學(xué)習(xí)做鋪墊。

環(huán)節(jié)一：呈現(xiàn)單個(gè)圖形，喚醒原有認(rèn)知基礎(chǔ)

課始，出示圖4，組織學(xué)生比較4個(gè)陰影部分面積的大小并說一說理由。對(duì)于①②中的兩個(gè)陰影部分，學(xué)生利用直觀感知，采取計(jì)算面積的方法和利用長(zhǎng)方形與三角形面積關(guān)系的方法進(jìn)行比較。接著，教師追問：“除了計(jì)算的方法和圖形關(guān)系的方法知道它們的面積相等，大家還能用其他方法進(jìn)行比較嗎？”部分學(xué)生就明白把第2個(gè)圖中三角形上的一個(gè)頂點(diǎn)平移到左邊，從而變成與第1個(gè)圖完全一樣的三角形，也證明了兩個(gè)圖形的面積相等。通過這樣的設(shè)疑喚醒“平行線之間的距離處處相等（高相等）”的舊知，為③④圖與①圖陰影部分面積的比較做好鋪墊，在此基礎(chǔ)上揭示：平行線間圖形這樣的變化稱為“等積變形”。

比較下面陰影部分面積的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？

通過這4個(gè)圖形的變化，特別是第4個(gè)圖形需要添加輔助線并經(jīng)歷3次變化才能與第1個(gè)圖形一致，再結(jié)合動(dòng)畫演示其過程，讓學(xué)生充分經(jīng)歷思維的發(fā)展過程。由此總結(jié)出：在一組平行線內(nèi)，可以將圖形改變形狀成為與其同底等高的圖形，而面積保持不變，這在一定程度上發(fā)展了學(xué)生的空間想象力。

環(huán)節(jié)二：呈現(xiàn)組合圖形，初步體驗(yàn)變化特征

接著，筆者出示一組組合圖形，要求學(xué)生比較陰影部分的面積（如圖5）。學(xué)生通過兩種分析思路：一是大三角形面積均是正方形面積的一半，從而得出兩個(gè)陰影部分面積相等，這是學(xué)生的直覺思維；另一種是通過正方形相對(duì)的邊互相平行，將右圖大正方形里的F點(diǎn)沿著FH移動(dòng)到H點(diǎn)，變成與左邊的大正方形里的三角形完全相同的形狀，從而得出面積相等，讓學(xué)生經(jīng)歷組合圖形中平行線間的等積變形。這個(gè)變形過程是對(duì)環(huán)節(jié)一的鞏固與深化，這樣一來，學(xué)生知道了在組合圖形中也可以有效地利用等底等高的圖形面積相等的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（二）巧設(shè)陰影部分，構(gòu)建變換模型

運(yùn)用平行線特性進(jìn)行等積變形有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：找一組平行線，找同底等高的圖形，以及形狀變了面積不變。這些關(guān)鍵點(diǎn)應(yīng)滲透在每一環(huán)節(jié)中，逐漸使學(xué)生形成一個(gè)解題模型，即在等積變形時(shí)應(yīng)先找一組平行線，然后再將圖形（三角形）進(jìn)行同底等高的變化，最終將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)變成基本圖形的面積計(jì)算。

環(huán)節(jié)三：改變圖形結(jié)構(gòu)，發(fā)展建模能力

對(duì)“等積變形”運(yùn)用有了一定能力后，再一次改變組合圖形的陰影部分，要求學(xué)生求出陰影部分的面積，旨在引導(dǎo)學(xué)生利用“等積變形”的優(yōu)越性進(jìn)行計(jì)算。集體交流后發(fā)現(xiàn)，計(jì)算的方法大致有四種（如圖6）。

3.求陰影部分的面積。

對(duì)于這四種方法，分別讓學(xué)生說一說解題的思路。經(jīng)過交流后，發(fā)現(xiàn)第①③兩種屬于同一類，即用大面積減去小面積的思路來解決，而第②種則是采用合并求和的方法。但部分學(xué)生對(duì)第④種方法在理解上還是存在一定困難，因此，需要進(jìn)行適度的展開。

師：有多少同學(xué)看懂了這種方法？能向大家解釋一下嗎？

生1：先連接AC，知道了AC和EH都是正方形的對(duì)角線，所以AC∥EH，根據(jù)平行線之間的距離處處相等，△AEH和△CEH都是以EH為底，高也相等，因此S△AEH=S△CEH，所以這里求△CEH的面積就可以了，就是10×10÷2=50（cm2）。

隨后，教師運(yùn)用動(dòng)畫形象地展示變形的過程，讓抽象的變化直觀化、具體化，降低了學(xué)生理解的難度。在掌握、理解這種方法后，教師繼續(xù)追問：

師：這些方法中哪種更簡(jiǎn)單？對(duì)求復(fù)雜的陰影部分的面積有什么啟示？

生2：第④種采用了“等積變形”的方法，顯得更加便捷。

生3：在求陰影部分面積時(shí)，如果能找到一組平行線，利用平行線間的特性進(jìn)行等積變形，就可以將一個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成與它本身面積相等、形狀不同的三角形，這樣算就會(huì)很方便、很簡(jiǎn)潔。

生4：從第④種方法中，不僅可以運(yùn)用“平行線間的距離處處相等”來找同底等高等面積的三角形，還可以用“等面積的圖形-公共部分圖形”找等面積的三角形。

……

通過對(duì)比、質(zhì)疑，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到等積變形的簡(jiǎn)潔性與優(yōu)越性，拓寬了尋找等面積圖形的思路，也讓他們從原有的知識(shí)體系中梳理出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，利用知識(shí)點(diǎn)多次尋找面積相等的三角形，逐步建立等積變形的基本模型和方法，提高解決幾何問題的能力，為更高層次的空間想象奠定基礎(chǔ)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。

（三）變式組合圖形，運(yùn)用變換模型

通過上述內(nèi)容的研究，學(xué)生已建立了等積變形的基本模型，能夠運(yùn)用這個(gè)模型計(jì)算類似圖形的面積。而變換組合圖形內(nèi)部陰影或外部框架，能夠讓學(xué)生更深層次地理解“等積變形”的模型，豐富對(duì)變換模型的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，感悟它的優(yōu)勢(shì)，掌握它的本質(zhì)。

環(huán)節(jié)四：轉(zhuǎn)換內(nèi)部陰影，突出模型優(yōu)勢(shì)

接著，出示轉(zhuǎn)換陰影部分的組合圖（如圖3中的②），組織學(xué)生運(yùn)用等積變形的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理。大部分學(xué)生都能連接CF，利用BD∥CF，將△BDF轉(zhuǎn)化成同底等高的△BCD，很快就計(jì)算出陰影部分的面積。通過這一題的研究，更加明顯地感覺到等積變形的優(yōu)勢(shì)，提高了運(yùn)用模型的能力。

環(huán)節(jié)五：變動(dòng)外部框架，彰顯模型本質(zhì)

隨后，教師設(shè)問：“如果將這兩個(gè)正方形變成兩個(gè)平行四邊形（如圖7），其余條件不變，那么這個(gè)陰影部分的面積還是小平行四邊形面積的一半嗎？”經(jīng)過討論，學(xué)生一致認(rèn)為仍然成立。因?yàn)檫B接CF，BD與CF仍然平行，把△BDF轉(zhuǎn)化成同底等高的△BCD，△BCD的面積就是這個(gè)小平行四邊形面積的一半。教師繼續(xù)追問：“還能將‘兩個(gè)正方形改成什么圖形，使結(jié)果仍然成立呢？”有學(xué)生認(rèn)為長(zhǎng)方形也可以，有學(xué)生認(rèn)為只要滿足連接CF，使得BD∥CF的圖形都可以。

設(shè)置這個(gè)環(huán)節(jié)，主要是讓學(xué)生抓住這個(gè)模型最本質(zhì)的特征，即利用平行線等積變形，關(guān)鍵是要構(gòu)造出一組平行線，再利用平行線間的性質(zhì)尋找面積相等的圖形。通過變式練習(xí)，不僅拓寬了學(xué)生的視野，使其對(duì)概念有了更深的理解，還能引導(dǎo)學(xué)生多維度研究問題，激發(fā)其創(chuàng)新能力和探究能力，感知圖形變換的規(guī)律與內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)。

總之，空間觀念是核心素養(yǎng)的一個(gè)重要表現(xiàn)形式，是學(xué)生靈活想象和轉(zhuǎn)換幾何圖形與現(xiàn)實(shí)實(shí)物的一種思維能力。教師在平時(shí)的教學(xué)中要強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，學(xué)會(huì)用整體的眼光分析各個(gè)圖形知識(shí)點(diǎn)，尋找它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，充分挖掘每一題、每一個(gè)知識(shí)的內(nèi)涵價(jià)值，有目的地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，不斷用數(shù)學(xué)的眼光分析問題，從而形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。