集約束下的變分不等式：像空間分析法

孫怡 賀越 劉丹陽

摘要：變分不等式是一種數(shù)學(xué)模型，屬于平衡問題的一類，常應(yīng)用于交通均衡問題、經(jīng)濟(jì)均衡問題以及生態(tài)產(chǎn)業(yè)鏈問題。像空間分析法（ISA）是研究最優(yōu)問題與平衡問題非常重要的工具之一。為了豐富ISA在變分不等式問題上的研究，在集約束的假設(shè)下，利用ISA研究了在歐氏空間中經(jīng)典變分不等式問題。首先，驗(yàn)證了問題的線性分離性。然后，通過拉格朗日型函數(shù)得到了拉格朗日型鞍點(diǎn)條件。最后，給出了變分不等式的最優(yōu)性條件。

關(guān)鍵詞：集約束；變分不等式；像空間分析法；線性分離性；鞍點(diǎn)；最優(yōu)性條件

中圖分類號：O224文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：16735072（2024）03025407變分不等式問題（VI） 在優(yōu)化問題、均衡問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。錐約束VI廣泛應(yīng)用于交通網(wǎng)絡(luò)均衡問題、經(jīng)濟(jì)平衡均衡問題、電力交通耦合網(wǎng)絡(luò)均衡狀態(tài)。Hartman和Stampacchia提出有限維VI［1］，Kinderlehrer和Stampacchia提出了無窮維VI［2］。VI豐富了非線性分析和光滑凸規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件理論，有利于這些應(yīng)用中算法的發(fā)展。

像空間分析法（Image Space Analysic，ISA）由Giannessi ［3］正式提出，該方法如今已經(jīng)被廣泛用于研究VI［410］、約束極值問題［11］和優(yōu)化問題［12］的線性分離性、鞍點(diǎn)定理、拉格朗日型最優(yōu)性條件［1314］。這些問題的任何含參系統(tǒng)不可行形式可退化表示為ISA中兩個(gè)適當(dāng)子集不相交。通過證明這兩個(gè)不相交子集位于某個(gè)分離泛函的兩個(gè)子水平集中就可以得到該系統(tǒng)的不可能性。如果分離泛函是線性的，則這兩個(gè)子集是線性分離的。

本文利用ISA研究集約束下的VI。首先回顧了一些本文所需要的基礎(chǔ)知識，再描述了在集約束下VI的ISA，接著討論了VI的線性分離性，最后證明了拉格朗日型鞍點(diǎn)條件和拉格朗日型最優(yōu)性條件。