實(shí)值函數(shù)近似鞍點(diǎn)集的連續(xù)性

王衍程，王 梅，劉 雷，李小兵

(重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400074)

鞍點(diǎn)問(wèn)題在數(shù)學(xué)規(guī)劃和博弈論的研究中占有非常重要地位.它為極大極小問(wèn)題、拉格朗日對(duì)偶問(wèn)題、變分不等式、Nash均衡問(wèn)題的研究提供了有效地表述形式和基本工具.目前鞍點(diǎn)問(wèn)題的理論研究主要是集中在鞍點(diǎn)的存在性[1-9].隨著向量?jī)?yōu)化的發(fā)展，在適當(dāng)?shù)臈l件下，學(xué)者們研究得到了大量的關(guān)于向量值函數(shù)錐鞍點(diǎn)存在性的結(jié)論[6，8-10].

受上述研究結(jié)果的啟發(fā)，主要研究標(biāo)量值函數(shù)的含參鞍點(diǎn)問(wèn)題.在大多數(shù)情況下，由于實(shí)際問(wèn)題中數(shù)據(jù)具有不確定性，優(yōu)化模型可能不存在精確解.因此，需要利用近似解來(lái)解決這些問(wèn)題.本文，主要分析參數(shù)鞍點(diǎn)問(wèn)題近似鞍點(diǎn)集的連續(xù)性.具體結(jié)構(gòu)如下：首先，提出擾動(dòng)鞍點(diǎn)問(wèn)題，與含參近似鞍點(diǎn)集、輔助近似參近似鞍點(diǎn)集的定義，并回顧了一些集值映射相關(guān)概念和性質(zhì)；然后，利用一些類似于文獻(xiàn)[25]的技巧，在適當(dāng)?shù)臈l件下討論了鞍點(diǎn)問(wèn)題近似解的Hausdorff連續(xù)性.

1 模型描述及預(yù)備知識(shí)

其中f:C×D×Λ→為實(shí)值函數(shù)，是非空凸集值映射并且M(Λ):={C(λ)×D(λ)|λ∈Λ}.

在優(yōu)化理論與應(yīng)用中，通常很難用數(shù)值算法得到優(yōu)化模型的精確解，因此往往考慮優(yōu)化模型的近似解.本文將考慮受到擾動(dòng)鞍點(diǎn)問(wèn)題的近似解的一些拓?fù)湫再|(zhì).為此，任取ε∈+(+表示非負(fù)實(shí)數(shù)集)以及λ∈Λ，接下來(lái)分別定義擾動(dòng)鞍點(diǎn)問(wèn)題的ε-近似鞍點(diǎn)集與輔助ε-近似鞍點(diǎn)集：

本文主要考慮拓?fù)湫再|(zhì)：當(dāng)參數(shù)λ和ε變化時(shí)，ε-近似鞍點(diǎn)集S(ε,λ)的穩(wěn)定性(Hausdoff連續(xù)性).

下面，先介紹一些集值映射的相關(guān)知識(shí).

1) 在x0∈X處Hausdorff上半連續(xù)(簡(jiǎn)寫為H-上半連續(xù))，若對(duì)于Y中的任意鄰域，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對(duì)任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x)?Q(x0)+.

2) 在x0∈X處Hausdorff下半連續(xù)(簡(jiǎn)寫為H-下半連續(xù))，若對(duì)于Y中的任意鄰域，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對(duì)任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x0)?Q(x)+.

3) 在x0∈X處Berge上半連續(xù)(簡(jiǎn)寫為B-上半連續(xù))，若對(duì)于滿足Q(x0)?U的每一個(gè)開(kāi)集U，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對(duì)任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x)?U.

4) 在x0∈X處Berge下半連續(xù)(簡(jiǎn)寫為B-下半連續(xù))，若對(duì)于滿足Q(x0)∩U≠φ的每一個(gè)開(kāi)集U，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對(duì)任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x)∩U≠φ.

若Q在x0處B-下半連續(xù)且B-上半連續(xù)，則稱Q在x0處B-連續(xù).同理，若Q在x0處H-下半連續(xù)且H-上半連續(xù)則稱Q在x0處H-連續(xù).

1) 若Q在x0處B-上半連續(xù)，則Q在x0處H-上半連續(xù).

2) 若在x0處H-上半連續(xù)，并且Q(x0)是緊值的，則Q在x0處B-上半連續(xù).

3) 若Q在x0處H-下半連續(xù)，則Q在x0處B-下半連續(xù).

4) 若Q在x0處B-下半連續(xù)，并且Q(x0)的閉包c(diǎn)lQ(x0)是緊值的，則Q在x0處H-下半連續(xù).

1) 若Q在Λ上是緊值的，則Q在x0處B-上半連續(xù)的充要條件為：對(duì)X中任意的收斂序列xn→x0，任意序列yn∈Q(xn)，存在序列{yn}的子列{ynk}，y0∈Q(x0)，使得ynk→y0.

2)Q在x0處B-下半連續(xù)的充要條件為：對(duì)任意的收斂序列xn→x0，y0∈Q(x0)，存在序列{yn}?Q(x0)，使得yn→y0.

下面給出二元函數(shù)的凹性與凸性的定義.

定義2[29]假設(shè)C，D分別是X與Y中的非空凸子集.

1) 若對(duì)于?x1,x2∈C，?y∈D，?t∈(0,1)，滿足：

f(tx1+(1-t)x2,y)≤tf(x1,y)+(1-t)f(x2,y).

(1)

則稱實(shí)值二元函數(shù)f:X×Y→在C上關(guān)于x是凸的，反之亦然.

2) 若對(duì)于?x∈C，?y1,y2∈D，?t∈(0,1).滿足：

f(x,ty1+(1-t)y2)≥tf(x,y1)+(1-t)f(x,y2),

(2)

則稱實(shí)值二元函數(shù)f:X×Y→在D上關(guān)于y是凹的，反之亦然.

3) 若f既在C上關(guān)于x是凸的，又在D上關(guān)于y是凹的，則稱f在C×D上是凹-凸的.

2 主要結(jié)果

考慮鞍點(diǎn)集S(ε,λ)在考慮點(diǎn)(ε0,λ0)附近的變化情況,在接下來(lái)的討論中，均假設(shè)S(ε,λ)在點(diǎn)(ε0,λ0)的某個(gè)鄰域內(nèi)是非空的.

定理1 假設(shè)下列條件成立：

1)C(Λ)與D(Λ)是有界的；

2) 對(duì)于?λ∈Λ，f(·,·,λ)在C(Λ)×D(Λ)上是凹-凸的.

則對(duì)于X中的任意閉凸零鄰域,存在ε0的鄰域V,對(duì)于?λ∈Λ，?ε∈V,滿足:

S(ε0,λ)?S(ε,λ)+，S(ε,λ)?S(ε0,λ)+.

(3)

證明因?yàn)镃(Λ)與D(Λ)是有界的，不難得出M(Λ)也是有界的.于是，對(duì)于X中的任意閉凸零鄰域,存在ρ>0，使得:

M(Λ)-M(Λ)?ρ.

(4)

對(duì)于?η∈(0,ε0)，?ε1,ε2∈(ε0-η,ε0+η),其中ε1<ε2.任取(x1,y1)∈S(ε1,λ)，則:

f(x,y1,λ)-f(x1,y,λ)+ε1≥0,?(x,y)∈M(λ).

于是，有:

f(x,y1,λ)-f(x1,y,λ)+ε2=f(x,y1,λ)-f(x1,y,λ)+ε2+(ε1-ε2)≥0.

因此，(x1,y1)∈S(ε2,λ)，且S(ε1,λ)?S(ε2,λ).進(jìn)而對(duì)于?ε∈[ε0-η,ε0+η]，有:

S(ε0-η,λ)?S(ε,λ)?S(ε0+η,λ).

(5)

(6)

事實(shí)上，任取(x1,y1)∈S(γ,λ)和(x2,y2)∈S(ε2,λ).根據(jù)式(1)和式(2)，可得:

(7)

(8)

(9)

S(ε0,λ)?S(ε,λ)+.

S(ε,λ)?S(ε0,λ)+.

綜上所述，式(3)成立.

引理3 令ε>0，λ∈Λ，若C(λ)與D(λ)在λ處B-上半連續(xù)并且有緊值，則S(ε,λ)在M(Λ)上是緊集.

證明由于C(λ)與D(λ)是緊子集，因此只需要證明S(ε,λ)是閉集即可.取(xn,yn)∈S(ε,λ)滿足(xn,yn)→(x0,y0)，那么對(duì)任意的x∈C(λ)，y∈D(λ)，有:

f(x,yn,λ)-f(xn,y,λ)+ε≥0.

因?yàn)镃(λ)與D(λ)在λ處B-上半連續(xù)并且有緊值，則(x0,y0)∈C(λ)×D(λ).因此對(duì)任意的x∈C(λ)，y∈D(λ)，有:

對(duì)對(duì)照組提供開(kāi)腹手術(shù)方法治療。首先,為患者提供硬膜外麻醉處理,取3-6cm的麥?zhǔn)锨锌?然后找到闌尾,若系膜相對(duì)較為厚,則必須要分次進(jìn)行結(jié)扎[2];若系膜屬于正常范疇,則在患者的闌尾根部采用血管鉗進(jìn)行戳孔,在完成帶線結(jié)扎處理以后,然后再切斷系膜;把長(zhǎng)度為0.5cm的闌尾結(jié)扎線留出來(lái),選擇使用碘酒進(jìn)行消毒處理,之后實(shí)行打結(jié)操作。最后,將切口進(jìn)行縫合處理,然后進(jìn)行消毒包扎,結(jié)束手術(shù)操作。

f(x,y0,λ)-f(x0,y,λ)+ε≥0,

即(x0,y0)∈S(ε,λ).

定理2 假設(shè)下列條件成立：

1) 若C(·)與D(·)在λ0處B-連續(xù)并且緊值的；

2) 存在λ0的鄰域N(λ0)，使得f(·,·,λ)在C(N(λ0))×D(N(λ0))×N(λ0)連續(xù)且是凹-凸的.

則存在ε0的鄰域V使得，?ε∈V，S(ε,·)在λ0處H-連續(xù).

證明首先，證明S(ε,·)在λ0處H-上半連續(xù).根據(jù)引理1(1)，只需證明S(ε,·)在λ0處B-上半連續(xù)即可.反設(shè)S(ε,·)在λ0處不是B-上半連續(xù)的，即存在S(ε,λ0)的鄰域U，λn→λ0，(xn,yn)∈S(ε,λn)，但(xn,yn)?U.根據(jù)S(ε,λn)的定義，存在xn∈C(λn)，yn∈D(λn)且λn→λ0，使得：

f(x,yn,λn)-f(xn,y,λn)+ε≥0,?(x,y)∈M(λ).

(10)

(11)

又因?yàn)閒在C(N)×D(N)×{λ0}上是連續(xù)的，則：

與式(11)矛盾.

因此S(ε,·)在λ0處B-上半連續(xù)，那么S(ε,·)在λ0處也是H-上半連續(xù)的.

(12)

因?yàn)镃(·)與D(·)在λ0處B-上半連續(xù)并且有緊值，則存在{xn}的子序列{xnk}和{yn}的子序列{ynk}，使得xnk→x，ynk→y，其中x∈C(λ0)，y∈D(λ0).根據(jù)式(12)可得:

由引理1(4)可知，S(ε,·)在λ0處H-下半連續(xù).

定理3 假設(shè)下列條件成立：

1)C(Λ)與D(Λ)是有界的；

2) 若C(·)與D(·)在λ0處B-連續(xù)并且有緊值；

3) 存在λ0的鄰域N(λ0)，使得f(·,·,λ)在C(N(λ0))×D(N(λ0))×N(λ0)連續(xù)且是凹-凸的.

則ε-近似鞍點(diǎn)集S(·,·)在(ε0,λ0)處H-連續(xù).

證明顯然，對(duì)于任意的零鄰域,存在零鄰域0?X，滿足:

0+0?.

(13)

S(ε0,λ)?S(ε,λ)+0，S(ε,λ)?S(ε0,λ)+0.

(14)

再根據(jù)定理2可得，S(ε,·)在λ0處H-連續(xù).因此，對(duì)于任意的ε∈V0，存在λ0的鄰域N0，使得:

S(ε,λ0)?S(ε,λ)+0，S(ε,λ)?S(ε,λ0)+0，?λ∈N0.

(15)

顯然，(V0×N0)是(ε0,λ0)的鄰域.結(jié)合式(13)，式(14)與式(15)可知，對(duì)于任意的(ε,λ)∈(V0×N0)，有:

S(ε0,λ0)?S(ε,λ)+，S(ε,λ)?S(ε0,λ0)+.

因此，S在(ε0,λ0)處H-連續(xù).