基于思維導圖的數(shù)學題解后反思及啟示

☉江蘇省常熟市海虞中學 張文明

基于思維導圖的數(shù)學題解后反思及啟示

☉江蘇省常熟市海虞中學 張文明

*本文系江蘇省十二五重點立項課題“基于思維導圖的高效法的實踐研究”(課題編號：B-b/2 0 1 1/0 2/0 0 7；主持人：韓建光)及子課題“關于初中生運用思維導圖進行學后總結的實踐研究”(主持人：朱仁紅)的研究成果之一.

在學習數(shù)學的過程中，“理解”無疑是第一位的［1］.這就要求學生在學習后及時總結反思以減少被動性、滯后性、無序性、盲目性和低效性，提高自覺構建知識網絡的意識，從而使知識序列條理化、系統(tǒng)化.思維導圖正是幫助學生學后反思以理清思維秩序、增進程序性理解的有效工具.

一、思維導圖

思維導圖是英國“記憶之父”托尼·巴贊（Tony Buzan）開發(fā)出來的一種組織性思維工具，是從一個中心主題發(fā)散出來的自然結構，通過符號、關鍵詞、圖像、線條和顏色，遵循一套基本、簡單、自然易被大腦接受的規(guī)則，逐步建立一個有序的發(fā)散的樹狀圖，它是對思維過程的導向和記錄［2］.這是一種將放射性思考具體化的方法，放射性思考是人類大腦的自然思考方式，以大腦中的某一個知識點為思維中心，從這個知識點出發(fā)引發(fā)出與之相關的其他知識點，這些知識點又可以成為另外的思維中心.這種發(fā)散性的結構符合大腦工作的原理，體現(xiàn)了人們思維過程中的多向性和跳躍性，是一種能夠幫助人們分析問題、整理思路、快速學習的方法和工具.

思維導圖具有使“單調的知識形象化，抽象的知識具體化，零碎的知識系統(tǒng)化，復雜的知識簡單化，隱性的知識顯性化［3］”等特點，因此在數(shù)學學習活動中，思維導圖有助于學生對數(shù)學知識的綜合理解.

二、解后反思案例

例題 如圖1，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ.試判斷△CPQ的形狀.

分析：由題設易求∠PCQ=60°，觀察圖形，感知猜測△CPQ是一個等邊三角形.現(xiàn)在有兩個思路可以選擇：一是推理出∠PQC=60°（或∠QPC=60°），從而得到∠PCQ=∠PQC=∠QPC，根據“三個角相等的三角形是等邊三角形”證得猜測成立；二是推理出CP=CQ（或CP=PQ或CQ=PQ），根據“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”證得猜測成立.

解：因為△ABC和△CDE都是正三角形，

圖1

所以△CPQ是等邊三角形.

1.解后反思

由于授課班級學生已經有了使用思維導圖進行解后反思的基礎與實踐，因此不少學生都用思維導圖進行了解后反思.

2.反思解題過程

在解后反思環(huán)節(jié)的師生交流中，一些學生采取的思路是列示意圖，然后對解題思路進行甄別與整合，其實質是分析法，解題思路如下.

所以這條思路不便推理出猜想.

所以這條思路是可行的.

薛同學所畫的思維導圖如圖2所示.

圖2

3.反思問題涉及的基礎知識

問題中涉及的基礎知識有全等三角形的性質、全等三角形的判定、等邊三角形的性質、等邊三角形的判定等知識.學生需從復雜圖形中識別基本圖形，排除干擾，從而獲得有效信息，進行正確推理.同時，由于本題結論并未給出，需要學生先觀察、操作，猜想結論（甚至在這個環(huán)節(jié)還有幾位學生采用了度量邊或角來猜測△CPQ的形狀），再進一步演繹推理.學生在反思中基本能夠發(fā)現(xiàn)問題所涉及的基礎知識，圖3即是一份較好的對基礎知識進行反思的思維導圖.

圖3

4.反思解題思想

本題結論未直接明確告知，且難以一步達成結論（△CPQ是等邊三角形），所以既要先猜測，又要進行證明，故采用分析法較為合理.當思維比較順暢時，解題適宜按照由因導果的順序使用綜合法；當思維遇阻時，則解題適宜執(zhí)果索因，分析法就會大顯身手.而對于一般的數(shù)學問題，我們可以從一般解題步驟、常用解題方法、基本數(shù)學思想、解題元認知策略等方面進行反思（如圖4）.

圖4

5.反思問題的拓展與歸類

對于本問題，如果能夠有“腳手架”，學生更容易順利完成，因此學生對此進行了思維導圖式反思.該生還提出了一些拓展性問題，并對問題的架構進行了解構與重組（如圖5）.

圖5

由上述典型的思維導圖可觀察出學生的“圖式”思路，學生的反思基本是圍繞基礎知識、基本技能、基本數(shù)學思想方法、基本的數(shù)學活動經驗等方面進行的，這正是《義務教育階段數(shù)學課程標準（2011年版）》與《義務教育階段數(shù)學課程標準（實驗版）》的較大區(qū)別之一.具體反思內容可綜合為如圖6所示的思維導圖.

圖6

三、思考與啟示

1.基于思維導圖的解后反思調動了學生學習的積極性

課程標準實施后，學生的主體性地位得到明確，但是在數(shù)學學習活動中仍然存在為數(shù)不少的學生對教師具有極強的依賴性.這部分學生等著教師總結知識模塊、總結規(guī)律，然后記筆記.這種被動的學習方式既抑制了學生的主體創(chuàng)造性，又降低了學習效率.歸根到底，是由于學生的積極性不夠造成.而思維導圖的圖式化表示既有規(guī)則要求，又允許有個性化發(fā)揮，這擴大了學生的自我發(fā)揮空間，學生的積極性大有提高，從而切實提高了數(shù)學學習的有效性.

2.基于思維導圖的解后反思呈現(xiàn)了知識系統(tǒng)的直觀化

學生的思維過程是抽象的，思維導圖的圖式化直觀地表現(xiàn)了學生的思維過程，從而使得隱性知識顯性化.這樣的直觀化、可視化的思維過程有助于學生對問題表征、問題變式進行思考和理解，從而達到舉一反三的功效.從某種意義上說，思維導圖式的解后反思與“數(shù)形結合”的數(shù)學思想具有異曲同工之妙.

3.基于思維導圖的解后反思建構了知識系統(tǒng)的網絡化

由于課堂時間的限制，每一次數(shù)學活動中學生所收獲的知識點總是相對孤立和分散的，學生難以從整本書甚至整個學段（比如初中三年或者中學六年）上把握整個知識脈絡，從而難以建構出相對完整的知識網絡.這也是有些學生每節(jié)課的練習都做的不錯，但是一遇到綜合問題就不知所措的原因之一.基于思維導圖的解后反思恰好有效彌補了這個空缺，使得整個知識體系在多次的圖式化表示中得以趨近系統(tǒng)化、網絡化.

四、結束語

反思是數(shù)學思維的核心和動力［4］，而基于思維導圖的解后反思順應了大腦的自然思維模式，引領學生從題目的分析與架構、解題方法、相關變式等方面進行發(fā)散性思考，使得學生的知識建構具有“隨風潛入夜”的自然與平適.這種反思方式不僅提升了學生學習數(shù)學的興趣，也提高了數(shù)學學習的效率，使得學生在思考和表達中深化了對數(shù)學知識體系的表征與理解.

1.馬復.試論數(shù)學理解的兩種類型——從R.斯根普的工作談起［J］.數(shù)學教育學報，2001（3）.

2.［英］托尼·巴贊.思維導圖：大腦使用說明書［M］.張鼎昆，徐克茹，譯.北京：外語教學與研究出版社，2005.

3.吳丹，丁青.思維導圖在英語聽說教學中的應用與探索［J］.外語周刊，2012（81）.

4.楊紹平.反芻數(shù)學中考，思索數(shù)學教學——一道中考試題引發(fā)的思考［J］.中學數(shù)學（下），2013（11）.