代數(shù)方法解幾何，數(shù)學問題不難做

☉江蘇省如皋市港城實驗學校 何銀峰

代數(shù)方法解幾何，數(shù)學問題不難做

☉江蘇省如皋市港城實驗學校 何銀峰

對于2013年江蘇省南通市中考試題第28題，在解題過程中用代數(shù)方法去解決，將簡化學生的思維.

圖1

（1）求b的值；

（2）求證：點（y1，y2）在反比例函數(shù)y=的圖像上；

（3）求證：x1OB+y2OA=0.

分析：本題是二次函數(shù)的綜合題型，涉及的知識點有二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像上點的坐標特征，三角形的面積，直線與拋物線的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中.求出△OCD的面積S是解第一問的關(guān)鍵；根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，得到y(tǒng)1、y2是方程y2－（16+8k2）y+64=0的兩個根，進而得出y1y2=64是解第二問的關(guān)鍵；根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理及其逆定理，得出∠AOB=90°，是解第三問的關(guān)鍵.但是如果按照這樣的思路解決第三問，將使解答過程變得非常煩瑣.

先用幾何法證明.

如圖2，過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F.由∠AOB=90°，得∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF.

圖2

從上述解答過程可以看出，利用平面內(nèi)兩點間的距離公式，表示出OA、OB，代入x1OB+y2OA，利用二次根式的相關(guān)知識進行變形，最后求出其值恒為0，進而證明第三問.用代數(shù)方法解決，大大簡化了學生的思維過程，能夠更貼合學生的解題思路，增加了學生解決此題的可能性.

雖然代數(shù)與幾何分屬數(shù)學的兩個不同分支，但是，教師在教學中，應(yīng)注重培養(yǎng)學生用代數(shù)思想解決幾何問題，用幾何思想解決代數(shù)問題，讓數(shù)學中的兩個不同分支有機結(jié)合，嘗試用不同的思想方法解決問題，培養(yǎng)學生的綜合解題能力，這一點在中考考試中也是尤為重要的.

以上所言，僅為教學過程中的一點感悟.只要真正將幾何與代數(shù)有機結(jié)合，所有的數(shù)學問題都將不是問題！