淺析新高考試題中的分段函數(shù)

陶慶梅

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，又是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí)。在高中階段乃至是在高考中，函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容都是重點(diǎn)和必考點(diǎn)，因此函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很高的地位。歷年高考答題中都會(huì)有函數(shù)相應(yīng)內(nèi)容的出現(xiàn)，而且考查的方式以及題型都在逐年變化。在新高考函數(shù)類型中大多會(huì)將函數(shù)圖象與函數(shù)解析式相結(jié)合（即數(shù)形結(jié)合），這一類型的試題大多會(huì)在高考填空或選擇題中出現(xiàn)，該類題型主要是考查學(xué)生對(duì)函數(shù)表達(dá)式以及三角函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)等的掌握程度，以及與之對(duì)應(yīng)的圖象轉(zhuǎn)換進(jìn)行判斷和分析。這題型在新高考數(shù)學(xué)中占一定比例的分值，是一種不容小覷的考試題型。所以，教師在平時(shí)針對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)多通過一些典型的考試題目或者借助歷年的考試真題，讓學(xué)生有針對(duì)性地訓(xùn)練，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生對(duì)與分段函數(shù)相關(guān)的題型有進(jìn)一步的了解以及更深刻的認(rèn)識(shí)，從而促使學(xué)生在高考中對(duì)這一類問題的解決達(dá)到事半功倍的效果。

下面主要通過近幾年的新高考試題來探討分段函數(shù)在高考中的應(yīng)對(duì)措施和解決方法。

一、分段函數(shù)中的奇偶性問題

例1（2022 上海8）若函數(shù)f（x）=a2x-1，x＜00，x=0x+a，x＞0為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_________.

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性﹢函數(shù)的解析式（理性思維）

分析：判斷分段函數(shù)的奇偶性要分段進(jìn)行判斷、整體考慮，即在分段函數(shù)的定義域內(nèi)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別考慮各個(gè)分段上函數(shù)f（-x）與f（x）的關(guān)系，判斷各個(gè)分段上函數(shù)的奇偶性，然后綜合在一起判斷分段函數(shù)的奇偶性。

分段函數(shù)中奇偶性在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，但學(xué)生在利用函數(shù)奇偶性的定義判斷和研究分段函數(shù)中奇偶性時(shí)，經(jīng)常會(huì)犯以下幾種錯(cuò)誤：（1）函數(shù)的奇偶性的概念理解不清由奇偶函數(shù)的定義可知，具有奇偶性的函數(shù)的定義域必是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（2）函數(shù)的奇偶性在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定義域內(nèi)是一致的，不能把定義域分割開來，因此，“當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)”的說法是錯(cuò)誤的。

本題主要考查函數(shù)的奇偶性，所以函數(shù)的奇偶性的定義為突破口。即（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）f（x）=f（-x）（奇函數(shù)）和f（x）=f（-x）（偶函數(shù)）；（3）對(duì)于填空題和選擇題中根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式中的參數(shù)問題，學(xué)生不會(huì)靈活應(yīng)用奇偶性的定義與特殊值法快速求解，在教學(xué)過程中教師應(yīng)對(duì)學(xué)生多加引導(dǎo)。

二、分段函數(shù)中的定義域和值域

1.分段函數(shù)的定義域求法：每一段函數(shù)定義域的并集為整個(gè)函數(shù)的定義域。

2.分段函數(shù)的值域求法：是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集，即每一段函數(shù)值域的并集為整個(gè)函數(shù)的值域。求分段函數(shù)的最值通常有兩種方法：（1）先求出分段函數(shù)在各個(gè)范圍內(nèi)的最值，這些最值中的最大值即為該函數(shù)的最大值，這些最值中的最小值即為該函數(shù)的最小值；（2）作出分段函數(shù)的圖象，從中觀察可得出分段函數(shù)定義域和值域。

例2（2022上海8）已知函數(shù)f（x）=2x，x＞01，x≤0，則f（x）的值域?yàn)開________.

分析：主要考查分段函數(shù)的定義域和值域。

（1）分段函數(shù)對(duì)于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集；分段函數(shù)的值域是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集，即每一段函數(shù)值域的并集為整個(gè)函數(shù)的值域。

（2）本題以分段函數(shù)為載體，使學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)更加深刻，提高學(xué)生的觀察能力。

【解析】當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x單調(diào)遞增，f（x）＞1；當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=1.故f（x）的值域?yàn)閇1，+∞）.

點(diǎn)撥：分段函數(shù)的定義域和值域在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，但學(xué)生在解答與分段函數(shù)定義域和值域有關(guān)的問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)犯幾種錯(cuò)誤：一是學(xué)生會(huì)把分段函數(shù)看成幾個(gè)函數(shù)，就把定義域和值域弄成幾個(gè)函數(shù)的。二是對(duì)定義域和值域的表示格式不清楚，往往會(huì)寫成不等式的形式，而沒有用集合來表示；不能填f（x）≥1，因?yàn)槎x域和值域都是集合，可以填{f（x）|f（x）≥1}或[1，+∞）。

點(diǎn)撥：畫分段函數(shù)的圖象對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，畫分段函數(shù)的圖象先過分段點(diǎn)作垂直于x軸的虛線，弄清楚基本初等函數(shù)圖象的形狀，再針對(duì)x的每一段范圍畫出圖象。

三、分段函數(shù)的單調(diào)性問題（討論分段函數(shù)的單調(diào)性常常借助圖象來解決）

例4（2013年 四川）已知分段函數(shù)

f（x）=x2+2x+a（x＜0）lnx（x＞0），其中a是實(shí)數(shù)，指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

分析：對(duì)于分段函數(shù)在定義域上的單調(diào)遞增（減）問題，除了保證在定義域的每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同之外，還要考慮在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小關(guān)系。若函數(shù)是增函數(shù)，則左邊函數(shù)值小于或等于右邊函數(shù)值（若函數(shù)是減函數(shù)，則右邊函數(shù)值小于或等于左邊函數(shù)值），這樣才能滿足在定義域上的單調(diào)遞增（減），否則求出的參數(shù)范圍會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，而學(xué)生常常忘記判斷分界點(diǎn)處左右兩段函數(shù)值的大小關(guān)系。分段函數(shù)的單調(diào)性在高考試題中出現(xiàn)的頻率比較高，對(duì)學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn)。本題還以分段函數(shù)為載體，考查學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性的掌握及運(yùn)算能力。

【解析】作出函數(shù)f（x）的大致圖象（見圖2），由圖象可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1]，單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），（0，+∞）.

點(diǎn)撥：關(guān)鍵是熟悉基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，充分使用數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中注意基本知識(shí)的教學(xué)。

四、分段函數(shù)中的求參數(shù)問題

例5（2022北京14）設(shè)函數(shù)f（x）=-ax+1，x＜a，（x-2）2，x≥a.若f（x）存在最小值，則a的一個(gè)值為_________；a的最大值為_________．

考點(diǎn)：分段函數(shù)的最值（理性思維、數(shù)學(xué)探索）。

分析：本題涉及分類討論思想，以分段函數(shù)為載體考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，隱含一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，一次函數(shù)y=-ax+1的單調(diào)性與一次項(xiàng)系數(shù)-a有關(guān)；因?yàn)楹瘮?shù)f（x）存在最小值，所以-a＜0，即a＞0；二次函數(shù)y=（x-2）2，（x≥a）是軸定區(qū)間動(dòng)的問題，要討論對(duì)稱軸x=2與區(qū)間[a，+∞）的位置關(guān)系（區(qū)間在對(duì)稱軸的左邊、右邊、被對(duì)稱軸穿過等情況），這對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生不易理解，在講解時(shí)利用數(shù)形結(jié)合的思想，要讓學(xué)生多畫圖、多觀察，教師再引導(dǎo)學(xué)生分析如何解決這類題型；二次函數(shù)軸定區(qū)間動(dòng)、軸動(dòng)區(qū)間定等設(shè)問方式是出題人最青睞的題型之一。

分段函數(shù)最值的求解方法：（1）最大值求法：每段函數(shù)先在所在范圍內(nèi)求最大值，所有最大值中最大的一個(gè)值為該分段函數(shù)的最大值；（2）最小值求法：每段函數(shù)先在所在范圍內(nèi)求最小值，所有最小值中最小的一個(gè)值為該分段函數(shù)的最小值。

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=1，x＜0，（x-2）2，x≥0，存在最小值0，所以a的一個(gè)取值可以為0；

當(dāng)a＜0時(shí)，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時(shí)函數(shù)f（x）不可能存在最小值；

當(dāng)0＜a≤2時(shí)，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時(shí)f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，則f（x）=（x-2）2∈[0，+∞）；若函數(shù)f（x）存在最小值，則-a2+1≥0，得0＜a≤1；

當(dāng)a＞2時(shí)，若x＜a，則f（x）=-ax+1，此時(shí)f（x）∈（-a2+1，+∞）；若x≥a，則f（x）=（x-2）2∈[（a-2）2，+∞）；若函數(shù)f（x）存在最小值，則-a2+1≥（a-2）2，此時(shí)不等式無解.綜上，0≤a≤1，所以a的最大值為1.

點(diǎn)撥：對(duì)于含有參數(shù)的分段函數(shù)，要讓學(xué)生充分理解代數(shù)式的意義，抓好數(shù)形結(jié)合思想。

五、新高考試題中的分段函數(shù)與方程思想

高考試題通過分段函數(shù)與方程相結(jié)合的方式考查學(xué)生對(duì)抽象圖形的處理及解答能力。分段函數(shù)與方程的結(jié)合是新題型，它主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，試題有一定難度，但有較強(qiáng)的再生能力。這種分段函數(shù)與方程相結(jié)合的出題方式不僅可以提高學(xué)生的綜合能力，還是對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)能力的整體考查。針對(duì)這類問題，首先學(xué)生要分析問題中所給出的信息系統(tǒng)性，其主要考查學(xué)生做題時(shí)的細(xì)心程度，因此在對(duì)該類型題目進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定要認(rèn)真審題確保答案正確。針對(duì)這一問題，學(xué)生在掌握分段函數(shù)以及方程基本內(nèi)容的同時(shí)，只有將兩者結(jié)合在一起并通過繪制圖象的形式才能保證答案的正確率。

例6（2021 浙江12）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2-4，x＞2x-3+a，x≤2.若f（f（■））=3，則a=_________.

考點(diǎn)：分段函數(shù)的求值（理性思維）。

分析：本題看上去是分為兩段，實(shí)則是分為三段；求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，關(guān)鍵是判斷出自變量的取值所處的區(qū)間，再代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，嚴(yán)格用分段函數(shù)的定義，由內(nèi)到外求值。

【解析】因?yàn)椤觯?，所以f（■）=6-4=2，所以f（f（■））=f（2）=1+a=3，解得a=2.

點(diǎn)撥：關(guān)鍵是充分理解分段函數(shù)的定義。

總之，在新高考試題中針對(duì)分段函數(shù)的考試題型，還會(huì)通過讓學(xué)生根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及特點(diǎn)，通過讓學(xué)生帶入數(shù)值的方法和數(shù)形結(jié)合思想對(duì)問題進(jìn)行解答，該類型題目大多是以填空的形式出現(xiàn)，讓學(xué)生通過計(jì)算從而得出正確答案。該類型題目中涉及了計(jì)算，所以很多學(xué)生會(huì)因?yàn)橛?jì)算失分，同時(shí)該類型的考題主要考查學(xué)生對(duì)分段函數(shù)基本性質(zhì)的掌握程度，因此學(xué)生在對(duì)分段函數(shù)展開探索和計(jì)算時(shí)，一定要多方面地對(duì)問題結(jié)構(gòu)以及內(nèi)容進(jìn)行分析，結(jié)合教師在課上所講的分段函數(shù)的解題技巧進(jìn)行思考，然后可以通過觀察、分析及計(jì)算對(duì)練習(xí)題或高考真題進(jìn)行解答，從而最大限度地確保答題的正確率。

以分段函數(shù)為載體的函數(shù)問題是每年必考的高考題型。通過以上內(nèi)容總結(jié)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在新高考試題中針對(duì)分段函數(shù)并不會(huì)單一地進(jìn)行考查，會(huì)結(jié)合圖象、方程等多種考試類型進(jìn)行考查，從而提升學(xué)生的綜合答題能力。

（作者單位：云南省曲靖市宣威市第五中學(xué)）

編輯：陳鮮艷