初中幾何問題解題中的證明策略與方法研究

魏倩倩

【摘要】本文主要探討初中幾何問題解題中的證明策略與方法，具體涉及基本解題步驟和具體解題策略等方面的內(nèi)容.文中簡要闡述初中幾何證明題的基本解題步驟，包括理解題目、分析已知條件、確定證明方向等.在此基礎(chǔ)上，提出善于挖掘及利用題目圖形中的隱藏條件、運(yùn)用直接證明法進(jìn)行幾何證明和利用反證法進(jìn)行幾何證明三種具體解題策略.通過本文的研究，可以對初中幾何證明題的解題思路和方法進(jìn)行總結(jié)和歸納，從而為學(xué)生解決幾何問題提供一定的參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；隱藏條件；解題策略

1 初中幾何證明題基本解題步驟

第一，理解題目是解題的第一步.仔細(xì)閱讀題目，了解所給條件和需要證明的結(jié)論.

第二，分析已知條件是解題的關(guān)鍵.將所給條件進(jìn)行分類整理，確定已知條件之間的關(guān)系，并利用幾何知識進(jìn)行推導(dǎo)和聯(lián)想.

第三，確定證明方向.根據(jù)題目中所給的結(jié)論，判斷證明的方法，常見的證明方法包括直接證明法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.

第四，構(gòu)建證明過程.根據(jù)已知條件和證明方向，運(yùn)用幾何知識和推理方法，逐步推導(dǎo)需要證明的結(jié)論.在推導(dǎo)過程中，應(yīng)注重邏輯嚴(yán)密，避免漏洞和錯誤.

2 初中幾何證明題的具體解題策略探討

2.1 善于挖掘及利用題目圖形中的隱藏條件

在解決初中幾何證明題時，善于挖掘和利用題目圖形中的隱藏條件是一種有效的解題策略.通過觀察和分析圖形，可以發(fā)現(xiàn)那些在題目中沒有直接給出但可以推導(dǎo)出來的條件，從而更快地得出證明結(jié)果.

例1 如圖1所示，兩個圓都以點(diǎn)O為圓心，一條不過直徑的直線交外圓于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與內(nèi)圓相較于點(diǎn)C、點(diǎn)D，試證明AC=BD.

解析 首先可以通過觀察題目圖形尋找隱藏條件，在這個題目中，認(rèn)真觀察發(fā)現(xiàn)兩個圓的圓心均為點(diǎn)O.根據(jù)圓的性質(zhì)可知，OA=OB.盡管這個條件沒有明確給出，但它是一個隱藏條件，可以為后續(xù)的證明過程提供線索.

根據(jù)已知條件和圖形特點(diǎn)，可以使用直角三角形的性質(zhì)來展開證明.過點(diǎn)O作AB的垂線，并連接OA，OB.在△AOB中，因?yàn)閮蓷l邊OA和OB是外圓的半徑，所以△AOB是一個等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠OAB=∠OBA.

接下來，則需要找到與AC和BD有關(guān)的條件.觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)連接點(diǎn)A和點(diǎn)B到點(diǎn)O時，可以得到Rt△AOE和Rt△BOE.這是另一個隱藏條件，可以作為進(jìn)一步推導(dǎo)的線索.

考慮△OEC和△OED，它們的斜邊OC和OD分別為內(nèi)部小圓的半徑，同樣根據(jù)圓的性質(zhì)，△OEC和△OED都是等腰三角形.因此，CE=ED.

綜上所述，通過挖掘隱含條件，最終可以得到兩個關(guān)鍵的等邊關(guān)系：AE=BE，CE=DE，那么相應(yīng)地可得到線段AC=BD，由此便完成了該幾何證明題的解答.

小結(jié) 通過以上分析，可以看到善于挖掘和利用題目圖形中的隱藏條件是解決初中幾何證明題的重要策略.通過觀察和發(fā)現(xiàn)隱藏條件可以引導(dǎo)證明的方向，加強(qiáng)證明過程中的推理和推導(dǎo).

2.2 運(yùn)用直接證明法進(jìn)行幾何證明

直接證明法是解決初中幾何證明題最為常用的方法，是基于邏輯推理和已知條件，通過一系列明確的步驟來證明所要證明的結(jié)論.

例2 在△ABC中，AE作為△ABC外角的平分線，且有AE∥BC，試求證AB=AC.

解析 就該幾何證明例題而言，可以根據(jù)求證問題逐步考慮，循序漸進(jìn)地求出最終結(jié)果.具體而言，在三角形中，證明兩條邊相等最為常用的方法便是證明對應(yīng)的兩個角相等.如圖2所示，只要證明∠B=∠C，則可證明△ABC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)便可以得出AB=AC的證明結(jié)論.

根據(jù)上述思路，首先可以結(jié)合已知條件“AE為△ABC外角的平分線”得出∠DAE=∠CAE.再次分析題目已知條件，即AE∥BC；結(jié)合平行線定理，可以由此推出∠DAE=∠CAE，∠C=∠CAE.

通過分析題目已知條件最終得出∠DAE=∠CAE，∠DAE=∠ABC兩個關(guān)系，整合后可知四個角都相等，即∠DAE=∠ABC=∠B=∠C，由此可知在等腰三角形ABC中，有AB=AC.具體的解答過程如下.

證明 因?yàn)锳E為△ABC外角的平分線，

所以∠DAE=∠CAE.

因?yàn)锳E∥BC，根據(jù)平行線定理可得∠DAE=∠ABC，

同時也可以推出∠C=∠CAE.

結(jié)合上述所推導(dǎo)出的等角關(guān)系，

可知∠DAE=∠CAE=∠B=∠C，

所以△ABC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知其兩條腰長相等，

即AB=AC.

小結(jié) 經(jīng)分析可知，在幾何證明題解答過程中，通常可以先結(jié)合題目已知條件進(jìn)行逐步推導(dǎo)，將所推導(dǎo)出的內(nèi)容進(jìn)行整合，由此可以直接解決很多問題.

2.3 利用反證法進(jìn)行幾何證明

利用反證法進(jìn)行幾何證明是一種常見的解題策略，該方法通過假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，從而得出所要證明的結(jié)論必定成立的結(jié)論.

例3 如圖3所示圓O中兩條非直徑弦分別為CD，AB，兩弦相較于點(diǎn)M，求證：AB與CD不能互相平分.

解析 此處以逆向思維假設(shè)AB與CD能互相平分，平分點(diǎn)為M點(diǎn)，由已知條件可知AB，CD均不是圓O的直徑，即相交點(diǎn)M并非圓心.連接OA，OB以及OM.根據(jù)既定假設(shè)條件，AB與CD相互平分，且平分點(diǎn)為M，那么有AM=BM，所以M應(yīng)該是線段AB的中點(diǎn)，且根據(jù)圓的性質(zhì)可知，OA和OB是圓的半徑，因此OA=OB，所以△AOB為等腰三角形.在等腰三角形中，底邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線即為三角形的高，所以O(shè)M⊥AB.同理，在△OCD中，M平分CD即為CD的中點(diǎn)，因?yàn)镺C=OD，△OCD為等腰三角形.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，OM⊥CD.經(jīng)分析可知，假設(shè)CD和AB平分于點(diǎn)M，那么過點(diǎn)M的兩條直線AB，CD都將垂直于M，而二者間本身相互矛盾，因此可知AB與CD可以相互平分的假設(shè)不成立，故AB與CD無法相互平分.

小結(jié) 在實(shí)際應(yīng)用中，利用反證法進(jìn)行幾何證明可以幫助我們深入理解圖形和已知條件，并且有助于發(fā)現(xiàn)問題中隱藏的規(guī)律和特點(diǎn).

3 結(jié)語

初中幾何問題解題中，證明策略與方法是非常重要的.常用的證明方法包括直接證明法、間接證明法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.在選擇證明方法時，需要根據(jù)已知條件和所求結(jié)論的性質(zhì)進(jìn)行綜合考慮，并靈活應(yīng)用各種方法，通過多種方法的靈活運(yùn)用，可以幫助學(xué)生有效地解答各類幾何證明題.

參考文獻(xiàn)：

［1］白方.幾何變換思想在初中幾何教學(xué)中的滲透與應(yīng)用研究［D］.上海：上海師范大學(xué)，2021.

［2］程香紅.問題提出教學(xué)法在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究［D］.上海：上海師范大學(xué)，2021.

［3］鄭高攀.化歸思想在初中幾何解題中的應(yīng)用研究［D］.漳州：閩南師范大學(xué)，2021.