雙向車道：整式乘法與因式分解

鄭勝輝

第九章 整式乘法與因式公解

領(lǐng)? 銜? 人：姜鴻雁（江蘇省特級(jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省無(wú)錫市初中數(shù)學(xué)姜鴻雁名師工作室

經(jīng)歷前面知識(shí)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們理解并掌握了有理數(shù)、代數(shù)式以及冪的相關(guān)知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，我們?cè)诒菊逻M(jìn)一步學(xué)習(xí)了整式乘法與因式分解，這些內(nèi)容都是代數(shù)學(xué)習(xí)的“底色”，也是今后學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的內(nèi)容和物理、化學(xué)等其他學(xué)科的基礎(chǔ)。

一、統(tǒng)攬全局，系統(tǒng)思考

本章內(nèi)容為整式乘法與因式分解。因單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式，故整式乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。完全平方公式與平方差公式只是多項(xiàng)式間乘法的特殊情形。同學(xué)們?cè)谛W(xué)階段學(xué)過整數(shù)乘法與分解質(zhì)因數(shù)，比如，2×3×7=42就是整數(shù)乘法，反過來(lái)，42=2×3×7就是分解質(zhì)因數(shù)。整數(shù)乘法和分解質(zhì)因數(shù)是一個(gè)互逆過程。類比過來(lái)，整式乘法是把幾個(gè)因式積的形式寫成和的形式（單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式除外），因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式。整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，正如雙向車道一般，如圖1。

二、端本正源，數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是將“入微之?dāng)?shù)”和“直觀之形”相結(jié)合，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系并相互轉(zhuǎn)化來(lái)理解數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)思想。在學(xué)習(xí)整式乘法與因式分解時(shí)，我們可借助圖形直觀地闡明數(shù)量關(guān)系，也就是“以形助數(shù)”。

例如，將邊長(zhǎng)分別為a、b的兩個(gè)正方形與長(zhǎng)為a、寬為b的兩個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的大正方形。從不同角度表示大正方形的面積，可得完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2（如圖2）。你會(huì)用類似方法驗(yàn)證另一個(gè)完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2嗎？

同樣，我們也可以用剪拼圖形的方式直觀地解釋平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2（如圖3），你還有其他不同的拼圖方案解釋平方差公式嗎？試試看！

值得一提的是，圖形中的字母a、b均表示線段，所以代替的是正數(shù)，但公式中的字母a、b可以代替正數(shù)、負(fù)數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

三、明辨方向，運(yùn)用自如

在整式乘法與因式分解的雙向變形過程中，同學(xué)們常常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。如沒有理解整式乘法與因式分解的變形“方向”；對(duì)于因式分解，沒有先提取公因式；因式分解的結(jié)果不“徹底”等。

關(guān)于因式分解，我們不妨用這個(gè)口訣：一“提（公因式）”，二“用（公式）”，三“十字（相乘）”，四“分組（分解）”，五“檢查（是否分解徹底）”。它可以幫你成功“繞坑”。

俗話說：干一行，行一行，一行行，行行行……這其中的奧秘就是遷移。整式乘法與因式分解本質(zhì)上是一種互逆關(guān)系，是“倒過來(lái)想”的一種思維方式。數(shù)學(xué)中具有互逆關(guān)系的還有我們熟悉的加法與減法、乘法與除法，和將來(lái)我們要學(xué)習(xí)的乘方與開方、原命題與逆命題……這種“倒過來(lái)想”的思維方式不僅存在于數(shù)學(xué)中，在生活及其他學(xué)科中，也都是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的有效途徑。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市清名橋中學(xué)）