基于“理解”的“余弦定理”課堂教學(xué)實踐

陸婧婧

摘要：指向理解的教學(xué)設(shè)計給學(xué)生以更多的探究機會，其不僅可以讓學(xué)生自然地接受新知識、理解新知識，而且通過新知與舊知的相互補充和融合，有利于學(xué)生知識體系的建構(gòu)和數(shù)學(xué)綜合學(xué)力的提升.在實際教學(xué)中，教師要打破“照本宣科”的教學(xué)模式的束縛，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究新知識的全過程，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識.

關(guān)鍵詞：理解；探究；綜合學(xué)力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，若想靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，首先就要理解它，只有理解了才能更深刻地感覺它、應(yīng)用它.不過，受唯分論的影響，部分教師為了追求“速度”，常常以灌輸?shù)姆绞浇虒W(xué)，學(xué)生因為沒有經(jīng)歷獨立思考和自主探究的過程而未能理解知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，這樣靈活應(yīng)用自然無從談起.在日常教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的探索過程，充分激發(fā)學(xué)生的主體性和積極性，從而讓學(xué)生獲得真正的理解，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

1挖掘“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識的本源，揭示問題的本質(zhì)，提煉蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法，從而讓學(xué)生真正地理解知識.基于此，教師要打破“講授式”教學(xué)模式的束縛，提供時間和機會讓學(xué)生自主探究，并通過課堂教學(xué)激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考，用數(shù)學(xué)的語言去表達，從而讓學(xué)生對知識的認(rèn)識理解逐漸走向深入，最終形成數(shù)學(xué)知識.

在日常教學(xué)中，若想讓學(xué)生對知識達到理解的程度，教師要以客觀材料為媒介，讓學(xué)生將新知與舊知有效地聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究新知的全過程，讓學(xué)生充分體會知識的實用性、必要性，促進學(xué)生知識體系的建構(gòu)和完善.在此過程中，教師不僅要教授知識，更要傳遞、滲透蘊含其中的思想方法和經(jīng)驗，幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì)和內(nèi)涵，提高學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2滲透“理解”的課堂教學(xué)實踐

在“余弦定理”教學(xué)中，教師以學(xué)生已有知識和經(jīng)驗為出發(fā)點，基于學(xué)生基本學(xué)情創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知水平的探究活動，讓學(xué)生主動參與到新知識的教學(xué)實踐中，讓學(xué)生通過經(jīng)歷思考、探索、感悟等活動，真正地理解知識，提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng).教學(xué)設(shè)計如下：

2.1情境引入，感悟新知

情境問題：小明周末從家出發(fā)購買學(xué)習(xí)用品和水果，他先是直線行駛300m到文具店購買學(xué)習(xí)用品，然后直線行駛400m去水果店購買水果.如圖1，點A代表小明家，點C代表文具店，點B代表水果店，若CA與CB的夾角是60°，小明買好水果后直接直線行駛回家，你知道小明需要行駛多遠(yuǎn)的距離嗎？

問題給出后，教師啟發(fā)學(xué)生將這一生活中常見的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：在△ABC中，已知AC=300，BC=400，∠C=60°，求AB的長.

設(shè)計意圖：以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活情境為背景，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究欲，提高學(xué)生解決問題的能力.在此過程中，教師鼓勵學(xué)生將問題向數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生深刻感受數(shù)學(xué)知識的簡潔性、便捷性和必要性，為接下來的新知學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

2.2探究新知，促進理解

為了更加清晰地展示小明直線行駛的路徑，教師啟發(fā)學(xué)生利用箭頭表示，學(xué)生給出圖2所示的圖形.

師：觀察圖2，你想到了什么？（學(xué)生一時不知從何說起.）

師：如果從平面向量的角度來看，你能將以上情境轉(zhuǎn)化為一道數(shù)學(xué)題嗎？

生1：在△ABC中，已知|AC|=300，|CB|=400，且AC與CB的夾角為120°，求|BA|的值.

師：非常好！根據(jù)圖2的路徑圖，結(jié)合向量加法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能得到怎樣的等式？

生2：AC+CB=－BA.

師：根據(jù)前面分析可知，所求為BA的模，即|BA|.那么如何將BA與|BA|建立聯(lián)系呢？

生3：向量的平方等于向量模的平方，所以有BA2=|BA|2.

師：結(jié)合以上分析過程，現(xiàn)在是否能夠求出|BA|的值呢？

教師讓學(xué)生以小組為單位，共同探索|BA|的值.學(xué)生積極思考、交流，教師巡視，并適時指導(dǎo).

師：哪個小組說一說，你們是如何求解的？

生4：將AC+CB=－BA這個關(guān)系式平方，得（AC+CB）2=（－BA）2，即AC2+2AC·CB+CB2=BA2，所以有|AC|2+2|AC|·|CB|cos120°+CB2=BA2.又

|AC|=300，|CB|=400，這樣將已知條件代入后，即可求得|BA|的值.

師：很好，現(xiàn)在我們將問題向一般化轉(zhuǎn)化，如圖3，若|CB|=a，|CA|=b，|BA|=c，CB與CA的夾角為α，結(jié)合以上研究經(jīng)驗，你能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（問題給出后，學(xué)生開始新一輪的探究.）

生5：結(jié)合以上探究過程，易得b2－2abcosα+a2=c2，即c2=b2－2abcosα+a2.

師：很好，結(jié)合“c2=b2－2abcosα+a2”這一關(guān)系式，我們可以研究什么問題？

生6：已知三角形兩條邊的長度分別為a和b，且兩條邊的夾角為α，則第三邊的長度c可求.

師：很好，這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的余弦定理.在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所對應(yīng)的邊為a，b，c，你能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生7：c2=a2+b2－2abcosC，a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB.

師：非常棒，有了公式的幫忙，我們就能輕松地計算出小明從水果店到家的距離.

設(shè)計意圖：在探究過程中，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對問題進行抽象，并鼓勵學(xué)生用向量的知識解決問題，以此借助已有經(jīng)驗有效溝通新知與舊知的聯(lián)系，喚醒學(xué)生的原認(rèn)知，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以便將新知納入到原有的向量相關(guān)的知識體系中，促進個體知識體系的建構(gòu)與完善.教師將主動權(quán)交給學(xué)生，通過有效問題的引領(lǐng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，并通過由特殊到一般的轉(zhuǎn)化，形成新知識.這樣讓學(xué)生親歷探索新知、抽象新知等過程，有利于促成學(xué)生對新知的深度理解，切實提高教學(xué)有效性.

2.3鞏固練習(xí)，加深理解

例1在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

例2在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求S△ABC.

例3如圖4，已知直線AB和CD相交于點O，且∠COA=80°.甲、乙兩人同時從點O出發(fā)，分別沿OA，OC方向行駛，[JP+1]其步行速度分別為4km/h和4.5km/h，問3小時后，兩人相距多遠(yuǎn)？（精確到0.1km.）

例3是一個以現(xiàn)實生活為背景的應(yīng)用題，不妨設(shè)3小時后，甲到達點P，乙到達點Q，則問題可以轉(zhuǎn)化為：在△OPQ中，已知OP=12km，OQ=13.5km，∠POQ=80°，求QP的長.

設(shè)計意圖：通過基礎(chǔ)練習(xí)，學(xué)生能從不同角度理解余弦定理.對于例1，已知三角形的兩邊和它們的夾角，可以求第三邊；對于例2，已知三角形的三條邊，可以求出角；對于例3，通過經(jīng)歷生活情境數(shù)學(xué)化的過程，進一步感知余弦定理的應(yīng)用價值，真正實現(xiàn)為用而學(xué)，在學(xué)中用，學(xué)而能用.

2.4課堂小結(jié)，升華認(rèn)知

師：通過以上研究過程，你學(xué)到了哪些知識、方法？談?wù)勀愕男牡皿w會.

此環(huán)節(jié)先由學(xué)生歸納總結(jié)，然后師生共同完善.

設(shè)計意圖：教師提供時間讓學(xué)生思考“為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)”等問題，讓學(xué)生腦海中形成清晰的知識脈絡(luò)，達成真正的理解.

3結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師作為課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、啟發(fā)者、點撥者，切勿將知識直接灌輸給學(xué)生，應(yīng)該創(chuàng)造機會讓學(xué)生主動參與到新知識的學(xué)習(xí)實踐中，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會學(xué)習(xí)新知識的重要性與便捷性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，感悟“學(xué)以致用”的教學(xué)真諦.在學(xué)習(xí)新知識的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注新知識與舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生用舊知識去探索新知識，從而讓新知識的學(xué)習(xí)更加自然、順暢，更易于學(xué)生理解和接受，逐步提高學(xué)生自主探究能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷提升自身的教學(xué)素質(zhì)，認(rèn)真地研究教學(xué)內(nèi)容、研究學(xué)生，基于學(xué)生最近發(fā)現(xiàn)區(qū)創(chuàng)設(shè)有效的問題，提供機會讓學(xué)生主動探索新知，充分發(fā)揮課堂教學(xué)的育人功能，讓學(xué)生理解知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，促進深度學(xué)習(xí)教學(xué)目標(biāo)的落實.