對(duì)一道解析幾何試題的探究與拓展

周杭敏 周勝煒

1真題呈現(xiàn)

解析幾何在全國(guó)新高考卷中分值占比較大，往往以2個(gè)客觀題、1個(gè)解答題的形式出現(xiàn)，是考查的重點(diǎn)，備受關(guān)注.下面我們從一道高考真題說(shuō)起.

已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

這是2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的第21題，主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，涉及數(shù)形結(jié)合、方程思想等.在情境“兩直線的斜率之和為0”中融入了簡(jiǎn)單的“對(duì)稱關(guān)系”，立足常規(guī)又超越常規(guī)，凸顯了新高考基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性及創(chuàng)新性的要求.

2一題多解

本題易得雙曲線方程為x22－y2=1，下面我們著重研究第（1）問(wèn).

2.1立足常規(guī)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

解法1：線參法一，設(shè)直線PQ的方程.

如圖1，顯然直線l的斜率存在.設(shè)l：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得

（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0.

所以x1+x2=－4km2k2－1，

x1x2=2m2+22k2－1.

因此，kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0.

整理，得

2kx1x2+（m－1－2k）（x1+x2）－4（m－1）=0.

化簡(jiǎn)，得（k+1）（m+2k－1）=0.

而直線l不過(guò)點(diǎn)A，即2k+m≠1，故k=－1.

評(píng)注：設(shè)直線l：y=kx+m時(shí)還需考慮斜率不存在的情況，故還可設(shè)l：x=ty+n，避免分類討論.“設(shè)直線方程—聯(lián)立方程組—消元—韋達(dá)定理……”，整個(gè)過(guò)程展現(xiàn)了利用坐標(biāo)思想解決幾何問(wèn)題的一般程序，屬于通性通法.目標(biāo)明確，思路清晰，符合大部分學(xué)生的思維習(xí)慣.運(yùn)用這種方法學(xué)生容易拿到部分過(guò)程分，但缺點(diǎn)是計(jì)算量大，計(jì)算結(jié)果易錯(cuò)，所以在平時(shí)教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

解法2：線參法二，設(shè)直線AP，AQ的方程.

設(shè)直線AP的斜率為k，則直線AP的方程為y－1=k（x－2），與雙曲線方程聯(lián)立，得

（1－2k2）x2+4（2k2－k）x－4+8k－8k2=0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則2x1=－4+8k－8k21－2k2.

所以x1=－2+4k－4k21－2k2，y1=2k2－4k+11－2k2.

同理，得x2=－2－4k－4k21－2k2，y2=2k2+4k+11－2k2.

所以kPQ=y2－y1x2－x1=－1.

評(píng)注：在兩條相關(guān)聯(lián)的直線與圓錐曲線交匯生成的問(wèn)題中，要會(huì)靈活運(yùn)用同構(gòu)運(yùn)算，因?yàn)榻忸}過(guò)程中常常有算理相同的運(yùn)算.只要認(rèn)真仔細(xì)地算準(zhǔn)一個(gè)表達(dá)式，那么另一個(gè)表達(dá)式就可以通過(guò)同構(gòu)替代，進(jìn)而簡(jiǎn)化運(yùn)算.例如，本題中根據(jù)兩條直線斜率之和為0，可用-k代換k，快速得到x2，y2.

另本題也可以不求y1，y2.

因?yàn)锳Q：y=1－k（x－2），所以

kPQ=y2－y1x2－x1

=1－k（x2－2）－［1+k（x1－2）］x2－x1

=4k－k（x1+x2）x2－x1

=－1.

解法3：直線參數(shù)方程法.

設(shè)AP，AQ的傾斜角分別為α，π-α，則

直線AP的參數(shù)方程為x=2+tcosα，y=1+tsinα（t為參數(shù)），代入雙曲線方程，可得tP=4（sinα－cosα）cos2α－2sin2α.

同理，得tQ=4（sinα+cosα）cos2α－2sin2α.

所以yP－yQ=（tP－tQ）sinα=－8cosαsinαcos2α－2sin2α，xP－xQ=（tP+tQ）cosα=8cosαsinαcos2α－2sin2α.

故kPQ=yP－yQxP－xQ=－1.

評(píng)注：引入?yún)?shù)，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，搭建起題目中量與量之間的關(guān)系，建立方程來(lái)求解，減少了運(yùn)算量，這種方法在探究解析幾何問(wèn)題中有獨(dú)特優(yōu)勢(shì).

解法4：點(diǎn)差法.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由kAP+kAQ=0，得

y1－1x1－2+y2－1x2－2=0.[JY]①

將點(diǎn)A，P的坐標(biāo)代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法得y1－1x1－2·y1+1x1+2=12，將其代入①式得x1+22（y1+1）+y2－1x2－2=0，整理得

2y1y2+x1x2－2（y1－y2）－2（x1－x2）－6=0.[JY]②

同理考慮點(diǎn)A，Q得

2y1y2+x1x2+2（y1－y2）+2（x1－x2）－6=0.[JY]③

③－②，得kPQ=y2－y1x2－x1=－1.

評(píng)注：維果茨基提出要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生思考與交流.“點(diǎn)差法”是解決圓錐曲線問(wèn)題的一種常用方法，引導(dǎo)學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題，在層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)中提煉方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.2轉(zhuǎn)化化歸，提升邏輯推理素養(yǎng)

解法5：齊次化簡(jiǎn)法.

設(shè)PQ：m（x－2）+n（y－1）=1，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

雙曲線方程為x22－y2=1，將其整理為

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）－4（y－1）=0.

聯(lián)立，齊次化，得（x－2）2－2（y－1）2+［4（x－2）－4（y－1）］［m（x－2）+n（y－1）］=0.

整理，得（－2－4n）（y－1）2+（－4m+4n）5（x－2）（y－1）+（1+4m）（x－2）2=0，即

（2+4n）y－1x－22+（4m－4n）×y－1x－2－4m－1=0.

易知，kAP，kAQ是上述方程的兩個(gè)根，所以可得

kAP+kAQ=4n－4m4n+2=0，則

m=n.

所以PQ：m（x－2）+m（y－1）=1.故kPQ=－1.

評(píng)注：利用y1－1x1－2+y2－1x2－2=0尋找m，n的關(guān)系，所以構(gòu)造以y1－1x1－2，y2－1x2－2為根的二次方程，進(jìn)一步構(gòu)造出關(guān)于y-1，x-2的齊次方程.

因此將方程

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）－4（y－1）=0中的

4（x－2）－4（y－1）進(jìn)行升次，使得齊次化，這樣的思考相對(duì)自然、合理，而且減少了計(jì)算量.

解法6：坐標(biāo)平移法.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

令x′=x－2，y′=y－1，則

kPA=y1－1x1－2=y[HT9.]′1x[HT9.]′1，kQA=y2－1x2－2=y[HT9.]′2x[HT9.]′2.

于是雙曲線方程C′：（x′+2）2－2（y′+1）2=2，即

x′2－2y′2+4x′－4y′=0.

設(shè)l：m（x－2）+n（y－1）=1，即l：mx′+ny′=1，故可得x′2－2y′2+（4x′－4y′）（mx′+ny′）=0.

整理，得1－2y′x′2+4－4y′x′m+ny′x′=0，則

（4n+2）y′x′2+4（m－n）y′x′－（4m+1）=0.

因?yàn)閗AP，kAQ是該方程的兩個(gè)根，所以

kAP+kAQ=4（n－m）4n+2=0，則m=n.

故kPQ=－mn=－1.

評(píng)注：解法6與解法5本質(zhì)類似，都是將問(wèn)題由“繁”到“簡(jiǎn)”，化“異”為“同”.通過(guò)齊次化簡(jiǎn)，進(jìn)一步提升轉(zhuǎn)化化歸能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

2.3特值探路，提升直觀想象素養(yǎng)

解法7：特值探路.

特值1：取點(diǎn)P，Q，使得kAP=1，kAQ=－1，算出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，可得結(jié)論，但解題速度不一定是最快的.

特值2：極限思想法.如圖2所示，借助幾何畫板，當(dāng)點(diǎn)P，Q同時(shí)趨近于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′時(shí)，kAP→+∞，

kAQ→－∞，滿足kAP+kAQ=0.故此時(shí)直線PQ的斜率即為點(diǎn)A′處切線的斜率，易得kPQ=－1.

評(píng)注：波利亞認(rèn)為解題要注重聯(lián)想，提出解題需要預(yù)測(cè)和回憶，上述特值法便是聯(lián)想.從特殊點(diǎn)或特殊位置入手，大膽猜想結(jié)論，從而找到證明目標(biāo)，是解決這類問(wèn)題的策略之一.先求得運(yùn)算結(jié)果有助于優(yōu)化運(yùn)算方法，提升學(xué)習(xí)信心;之后再推理證明，從特殊到一般，充分體現(xiàn)解析幾何“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法證明”的學(xué)科思想.這種以自主學(xué)習(xí)、探索為主的教學(xué)模式，與杜威所倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出假設(shè)、驗(yàn)證假設(shè)、形成結(jié)論”教學(xué)流程不謀而合.

多角度審視，可以看清問(wèn)題的本質(zhì).一題多解，橫縱銜接，有利于不同水平的學(xué)生作答，拓展思維，從而觸類旁通.但方法越多，也越需要梳理，同時(shí)要研究適用對(duì)象，把握解析幾何的本質(zhì)，突出理性思維.

綜上，研究解析幾何試題，主要有“線參”和“點(diǎn)參”兩種通法.在具體實(shí)踐中，解法1與解法2為大多數(shù)考生所選用，思路清晰，能拿部分得分，但計(jì)算量大；解法3～6對(duì)學(xué)生思維能力的考查要求較高，內(nèi)涵豐富，且運(yùn)算量相對(duì)減少，更適合尖子生脫穎而出，而解法7相較更適用于選擇題或填空題.正如章建躍博士所說(shuō)，高考命題的目標(biāo)是“既要均值，也要方差”，不僅要兼顧基礎(chǔ)，讓多數(shù)學(xué)生學(xué)有所得，也要加大區(qū)分度，便于選拔出拔尖創(chuàng)新人才.

3追本探源

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)：“Theproblemisthekey.”此時(shí)教師及時(shí)提出以下問(wèn)題：

（1）我們能夠總結(jié)出解這道題的方法嗎？

（2）我們能否一起探究出這道試題背后蘊(yùn)藏的機(jī)理？是否有相關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，便于后期快速解題？

（3）我們是否可以嘗試變式，并且運(yùn)用已學(xué)的方法證明？

（4）你是否在其他題目中也用到過(guò)這些方法？

3.1試題背景

傾角互補(bǔ)，連線定角：當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上，過(guò)點(diǎn)P作兩斜率互為相反數(shù)的直線，這兩條直線與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的斜率為定值.

該結(jié)論適用于橢圓、雙曲線和拋物線.

3.2二級(jí)結(jié)論

重現(xiàn)經(jīng)典問(wèn)題往往可得出一系列結(jié)論，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深刻、走向深入，促進(jìn)對(duì)問(wèn)題的深度理解.學(xué)生獨(dú)立思考，相互探討，合作交流.

以橢圓為例，得到了以下4個(gè)二級(jí)結(jié)論：

設(shè)P（x0，y0）為橢圓C：=1（a＞b＞0）上的定點(diǎn)，AB是橢圓C的一條動(dòng)弦.

（1）若kPA+kPB=0，則kAB=b2x0a2y0為定值；

（2）若kPA+kPB=λ（λ≠0），則直線AB過(guò)定點(diǎn)

x0-，－2b2x0λa2－y0；

（3）若kPA·kPB=b2a2（x0≠0），則kAB=－y0x0為定值；

（4）若kPA·kPB=λλ≠，則直線AB過(guò)定點(diǎn)x0（λa2+b2）λa2－b2，－y0（λa2+b2）λa2－b2.

類比橢圓，雙曲線、拋物線也有類似的二級(jí)結(jié)論，此處不作具體論述.

4一題多變

4.1變式研究

變式1已知點(diǎn)A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，斜率為-1的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn).求證：直線AP，AQ的傾斜角互補(bǔ).（當(dāng)條件和結(jié)論互換，仍成立.）

變式2已知點(diǎn)A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，斜率為-1的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn).求證：△APQ內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.（同一個(gè)結(jié)論的另一種表述，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.）

變式3已知點(diǎn)A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為-1.求證：直線l過(guò)定點(diǎn).（斜率之和為非零常數(shù)，則直線PQ過(guò)定點(diǎn).）

變式4已知點(diǎn)A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ互相垂直.求證：直線l過(guò)定點(diǎn).（斜率之積為定值，則直線PQ過(guò)定點(diǎn).）

變式5已知雙曲線E：x22－y2=1，過(guò)點(diǎn)（1，1）作斜率互為相反數(shù)的直線AC，BD，分別交雙曲線E于點(diǎn)A，C和B，D.求證：A，C，B，D四點(diǎn)共圓.（其逆命題也成立.）

4.2聯(lián)系真題

真題1（2009年江蘇高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答題第2題）

（下轉(zhuǎn)第92頁(yè)）

（上接第74頁(yè)）

已知拋物線y2=2x及點(diǎn)P（1，1），過(guò)點(diǎn)P且不重合的直線l1，l2與此拋物線分別交于點(diǎn)A，B，C，D，證明：A，B，C，D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線l1，l2的傾斜角互補(bǔ).

真題2（2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第11題）作斜率為13的直線l交橢圓C：x236+y24=1于A，B兩點(diǎn)，且P（32，2）在直線l的左上方.（1）證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；（2）若∠APB=600，求△PAB的面積.

真題3（2017年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），

P3－1，32，P41，32中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線AP2，BP2的斜率之和為-1，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).

真題4（2021年全國(guó)新高考I卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知F1（－17，0），F(xiàn)2（17，0），點(diǎn)M滿足|MF1|－|MF2|=2.記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=12上，過(guò)點(diǎn)T的兩條直線分別交C于點(diǎn)A，B和P，Q，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB，PQ的斜率之和.

5小結(jié)反思

縱觀近幾年全國(guó)卷新高考試題，發(fā)現(xiàn)全國(guó)卷不回避以往的高考題和常用結(jié)論.解析幾何大題注重基礎(chǔ)，很多題目來(lái)源于教材或歷年高考題，而且都有著內(nèi)涵豐富的知識(shí)背景.從一題多解到一題多變，亦或是多題一解，我們要鼓勵(lì)學(xué)生“多思少算”，打破以往的“模式化”，充分挖掘題目的教學(xué)價(jià)值，發(fā)展創(chuàng)新思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時(shí)，在新高考、新教材的銜接中要主動(dòng)改革學(xué)習(xí)方式和育人方式，貫徹立德樹人的要求.

2024年1月，教育部教育考試院命制數(shù)學(xué)科適應(yīng)性測(cè)試卷，并組織了相關(guān)省份進(jìn)行適應(yīng)性演練.其中第18題解析幾何題不僅分值增加，而且更突出對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的考查，引起一線教師和專家學(xué)者的廣泛關(guān)注.教師更加深刻地認(rèn)識(shí)到教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，減少死記硬背和機(jī)械刷題，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通、靈活應(yīng)用;鼓勵(lì)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，多角度思考，深入探究，從而提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)是一門藝術(shù)，是一門可以一直追求完美，但不可能完美的藝術(shù).知識(shí)、能力與素養(yǎng)都是我們追求的目標(biāo).路漫漫其修遠(yuǎn)兮，只要不停息，一起一步步地繼續(xù)探索，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然會(huì)在學(xué)生心里生根發(fā)芽，慢慢生長(zhǎng).