重構(gòu)學(xué)習(xí)單元，創(chuàng)新學(xué)習(xí)指導(dǎo)

王銀

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，立體幾何中空間幾何體模塊知識(shí)的高考命題與綜合應(yīng)用更加新穎創(chuàng)新，特別是有關(guān)空間幾何體截面知識(shí)的應(yīng)用，成為高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn)與亮點(diǎn)，備受各方關(guān)注.涉及空間幾何體的截面問(wèn)題，源于高中教材，依托教材合理構(gòu)建截面概念；在此基礎(chǔ)上，強(qiáng)化截面的本質(zhì)與內(nèi)涵，增加平面幾何與立體幾何等相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系；彰顯與截面相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)思維能力；強(qiáng)化截面的數(shù)學(xué)應(yīng)用，著力應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)等.此類問(wèn)題成為高考數(shù)學(xué)命題中既充分體現(xiàn)知識(shí)基礎(chǔ)，又體現(xiàn)選拔功能的一類創(chuàng)新考點(diǎn).

1依托教材，構(gòu)建概念

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，回歸高中數(shù)學(xué)教材，突出對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、截面的概念與形狀等層面的考查，注重空間想象能力與直觀想象素養(yǎng)等，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的概念與相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，注重對(duì)空間幾何體的基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握，全面夯實(shí)基礎(chǔ).

例1（人教A版必修第二冊(cè)例3）如圖1所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′.

（1）要經(jīng)過(guò)面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi)，在木料表面應(yīng)該樣畫線？

（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？

具體的分析與解析過(guò)程可以參考教材中的對(duì)應(yīng)部分（教材第138頁(yè)），這里不再展開(kāi).初步總結(jié)并提煉空間幾何體中截面問(wèn)題的解答策略，體會(huì)空間中點(diǎn)、線、面的“動(dòng)”與“靜”之間的聯(lián)系，領(lǐng)悟“平面”與“立體”之間的化歸與轉(zhuǎn)化思想.在此基礎(chǔ)上，給出空間幾何體中截面的概念.

截面：用一個(gè)平面去截一個(gè)空間幾何體（經(jīng)過(guò)空間幾何體內(nèi)部的點(diǎn)），得到的平面圖形叫做這個(gè)空間幾何體的截面（其中，截面與空間幾何體表面的交線叫做截線）.

特別地，經(jīng)過(guò)空間幾何體的內(nèi)部，且每條邊都在空間幾何體表面上的封閉圖形，可以作為空間幾何體的截面.

基于此，可以通過(guò)截面的作法與確定來(lái)強(qiáng)化本質(zhì)，加強(qiáng)平面幾何與立體幾何之間的聯(lián)系；借助截面的形狀判斷來(lái)彰顯能力，凸顯空間想象思維、分類討論思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想等；結(jié)合截面圖形的面積或周長(zhǎng)等來(lái)著力創(chuàng)新，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)等.

2強(qiáng)化本質(zhì)，增加聯(lián)系

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，基于空間幾何體的截面的概念、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征等，以及問(wèn)題的場(chǎng)景應(yīng)用等，合理綜合立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等，合理通過(guò)截面的作法與確定，強(qiáng)化截面的本質(zhì)，從而構(gòu)建立體幾何與平面幾何等相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系.

例2正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱AB，BC，DD1上，如圖2所示，求作過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面.

正方體的截面，是空間幾何體的截面問(wèn)題中最常見(jiàn)的基本類型之一.從題設(shè)條件入手，抓住正方體的結(jié)構(gòu)特征加以合理分析與確定，巧妙聯(lián)系起立體幾何與平面幾何之間的關(guān)系與應(yīng)用等.

圖3

作法：如圖3，（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內(nèi)，過(guò)E，F(xiàn)兩點(diǎn)作出直線EF，該直線分別與棱DA，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)L，M；

（2）在正方體的側(cè)面AA1D1D內(nèi)，連接LG，并交棱AA1于點(diǎn)K；在正方體的側(cè)面DD1C1C內(nèi)，連接GM，并交棱CC1于點(diǎn)H；

（3）連接KE，F(xiàn)H，則五邊形EFHGK即為所求的過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面.

歸納起來(lái)，正方體的截面主要有以下幾種情況：正方體的橫截面為正方形；縱截面為正方形或矩形；斜截面的情況如圖4.

在解決空間幾何體的截面作法或與之有關(guān)的判斷問(wèn)題時(shí)，要強(qiáng)化直觀想象意識(shí)以及空間想象能力等，借助立體幾何圖形，從立體到平面進(jìn)行降維處理，有時(shí)還要涉及數(shù)形結(jié)合思想以及化歸轉(zhuǎn)化思想等.

3彰顯能力，凸顯思維

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，在截面的作法與確定的基礎(chǔ)上，合理判斷并確定截面的形狀等應(yīng)用，彰顯能力，突出對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及題設(shè)條件的應(yīng)用，突出立體幾何與平面幾何等相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，以及圖形結(jié)構(gòu)特征的內(nèi)涵與本質(zhì)等，凸顯數(shù)學(xué)思維.

例3（多選題）如圖5，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，其中P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CQ=m，若過(guò)A，P，Q三點(diǎn)的截面記為S.則下列命題中正確的是（）.（答案：ABC.）

A.當(dāng)0

B.當(dāng)m=12時(shí)，截面S為等腰梯形

C.當(dāng)m=34時(shí)，截面S與棱C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=13

D.當(dāng)34

在解決有關(guān)立體幾何中的截面形狀判斷以及與截面的幾何性質(zhì)相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要合理綜合運(yùn)用立體幾何中相關(guān)的基本性質(zhì)，綜合平面幾何的基本性質(zhì)，并結(jié)合直觀想象與空間想象來(lái)分析與處理.

4著力創(chuàng)新，強(qiáng)化應(yīng)用

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題場(chǎng)景，利用動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、動(dòng)平面等合理“動(dòng)態(tài)”引入，以截面圖形的面積或周長(zhǎng)等的確定或?qū)?yīng)最值的判斷等來(lái)著力創(chuàng)新，強(qiáng)化空間幾何體的綜合應(yīng)用，特別有時(shí)要聯(lián)系起函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)與解三角形、平面解析幾何等知識(shí)的交匯與應(yīng)用.

例4已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，平面α與棱AB，CD均平行，則平面α截該正四面體所得截面面積的最大值為（）.

A.1

B.2

C.3

D.2

圖6

解析：如圖6，取CD的中點(diǎn)O，連接OA，OB.因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形，O為CD的中點(diǎn)，所以O(shè)A⊥CD.同理OB⊥CD.

又OA∩OB=O，所以CD⊥平面AOB，又AB平面AOB，所以CD⊥AB.

設(shè)平面α分別交AC，AD，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE.

因?yàn)镃D∥平面α，CD平面ACD，平面ACD∩平面α=EF，

所以CD∥EF.同理GH∥CD，EH∥AB，F(xiàn)G∥AB.

所以EF∥GH，EH∥FG，故EFGH為平行四邊形.

又AB⊥CD，則EF⊥EH，所以EFGH為矩形.

設(shè)AEAC=x（0

因?yàn)镋F∥CD，所以EFCD=AEAC=x，于是EF=2x，同理可得EH=2（1－x）.

所以矩形EFGH的面積S=EF·EH=2x·2（1－x）≤4x+1－x22=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)，等號(hào)成立，即平面α截該正四面體所得截面面積的最大值為1.故選：A.

解決截面面積最值問(wèn)題的方法與技巧主要是：首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及截面所在平面滿足的條件，確定截面的形狀，然后合理設(shè)置變量，用變量表示出截面面積，最后利用均值不等式或函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可求得截面面積的最值.

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，進(jìn)一步落實(shí)“雙減”政策與新課改理念，探尋立體幾何中考點(diǎn)與考題的基礎(chǔ)性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性等，基于“四基”的落實(shí)與數(shù)學(xué)能力的提升，更加注意創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用，從而指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

課題信息：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“學(xué)習(xí)進(jìn)階理論下高中數(shù)學(xué)單元學(xué)習(xí)元指導(dǎo)研究”，課題編號(hào)為B/2022/03/65.