研讀高考試卷的三個層次

江民杰

摘要：研讀高考試卷，就是以課標(biāo)的理念、思想、要求來研讀；研讀試題，不僅要研讀試題的解法，還要研讀問題產(chǎn)生的情境，追尋試題的命題背景及思維軌跡，挖掘試題所潛藏的教育資源，引領(lǐng)學(xué)生高觀點認(rèn)識試題，認(rèn)清數(shù)學(xué)試題的大背景，掌握研究方法，學(xué)會在大背景下思考問題，拓展思維.

關(guān)鍵詞：初讀（讀點、讀線）;再讀（讀面、讀體、讀脈）;三讀（讀情境、讀背景）

一份高考試卷，就像一輪月亮.

1層次一：初讀如漫步中散心觀月

初讀高考試卷，就如漫步中散心觀月.研讀試卷，首先關(guān)注的是題型、分值，壓軸題所涉及的內(nèi)容，難度大不大？題目如何求解？一份試卷讀完，也只是似曾相識，這就是初讀.

初讀，就是讀取題目的外部，獲取相關(guān)信息，形成初步認(rèn)識.

1.1讀點

讀點就是研讀出試卷所涉及的知識（核心知識點）、技能及通性通法，感悟所涉及的“通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想”.

1.2讀線

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動四條主線，它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程.研讀高考數(shù)學(xué)試卷，應(yīng)該圍繞這四條主線，讀出新課程背景下考試評價是如何圍繞這四條主線展開的.

例1（2022年新高考Ⅰ卷518）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

對于第（1）問，有兩種思路.

思路1：利用三角形內(nèi)角關(guān)系處理（利用倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出角B，過程略）.

思路2：結(jié)合同構(gòu)，利用函數(shù)單調(diào)性處理.

解法如下：

由于cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=cosπ2－2B1+sinπ2－2B，令f（x）=cosx1+sinx，則f（A）=fπ2－2B.

利用函數(shù)f（x）在-[SX（]π[]2[SX）]，[SX（]π[]2[SX）]上單調(diào)遞減，結(jié)合角A，B的范圍，得到A=[SX（]π[]2[SX）]-2B，進(jìn)而求得A=B=[SX（]π[]6[SX）].

對于第（2）問，也有兩種思路.

思路1：利用正（余）弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論（過程略）.

思路2：構(gòu)造圖形，利用余弦定理、基本不等式即可得出結(jié)論.

解：由C－B=π2，如圖1，構(gòu)造△ABC，令∠BCM=∠B，BC=a，AC=b，BM=m，則∠ACM=∠ACB－∠B=π2，所以b2=（c－m）2－m2，cos2B=cos∠CMA=mc－m.

在△BMC中，由余弦定理，得

a2=2m2+2m2·mc－m.

故a2+b2c2=1+4·m2c2－2·mc1－mc.

令1－mc=t∈（0，1），則有1+4·m2c2－2·m2c1－mc=－5+4t+2t

≥42－5，當(dāng)且僅當(dāng)t=22時，等號成立.

經(jīng)過研讀，發(fā)現(xiàn)本題涉及的知識點有倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、正弦定理、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等；涉及教材四條主線中的三條主線，如：函數(shù)、幾何與代數(shù)、數(shù)學(xué)建模.

初讀試卷，就是要圍繞四條主線，理解相關(guān)概念、命題、定理之間的邏輯關(guān)系，提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想，初步建立網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)；能夠用圖形探索解決問題的思路，形成數(shù)形結(jié)合思想.

2層次二：再讀如庭院中駐心賞月

再讀高考試卷，如站在庭院中，抬頭仰望，明月當(dāng)空，一覽無余，駐心賞月.隨著研讀的深入，對試卷的理解才能愈發(fā)深刻，進(jìn)入第二層次，這就是再讀.

再讀，就是對讀取的信息進(jìn)行深加工.如，考什么（試題的布局、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)）？怎么考（主干知識重點考）？試題命制的風(fēng)格及走向？

2.1讀面

四條主線，線線相交，或點線（知識點與主線）布排，形成試題的布局、結(jié)構(gòu)，這就是面.數(shù)學(xué)高考卷加強(qiáng)對主干內(nèi)容的考查，強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識的系統(tǒng)性，為此，需要讀面，強(qiáng)化對試卷的整體認(rèn)識.

讀面，就是研讀出試卷所考查的主干知識，各知識模塊所占分值比例，各知識點的組合方式，考查方式，等等.近年來數(shù)學(xué)試卷在選擇題、填空題、解答題等不同題型中都加強(qiáng)了對主干知識的考查，意在增強(qiáng)學(xué)生對主干知識深層次的認(rèn)識和理解，引導(dǎo)學(xué)生更好地感悟數(shù)學(xué)本質(zhì).

2.2讀體

讀體，就是讀出層次.高考試卷有較好的區(qū)分度，同一份試卷，同一道試題，能夠分層考查不同的學(xué)生.對同一道試題，我們要讀出不同的解法，讀出思維層次的高低.

例2（2023新高考Ⅰ卷520）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>1.令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和.若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99=99，求d.

思路1：直接利用等差數(shù)列通項公式、求和公式，通過解方程求解，但運算量大.該方法屬于第一層次.

思路2：由bn=n2+nan=n（n+1）an，數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，又等差數(shù)列{an}的公差為d（d>1），故設(shè)an=dn或an=d（n+1），結(jié)合求和公式，分類討論求解.

思路2充分挖掘條件，抓住等差數(shù)列通項公式的特征求解，運算量減小，該方法層次較高.

2.3讀脈

“脈”是指試題命制的走向.研讀高考試題，要研究命題走向，關(guān)注近年來一類問題的命題方向，即從歷年試題到新近試題的近遷移，再到大概念的遠(yuǎn)遷移.

對于同構(gòu)問題，近年來，高考題中主要有三種類型的同構(gòu)題型.

題型1：結(jié)構(gòu)相同（近）要同構(gòu).如2020年全國卷Ⅰ理科第12題.

題型2：“指對”跨界尋同構(gòu).如2022年新高考Ⅰ卷第22題第二問.

題型3：從無到有湊結(jié)構(gòu).

有些題目涉及的式子并不像以上提到的和（差）型或者積（商）型一樣明顯，而是將原先左右同構(gòu)的格式隱藏了起來，此類題型大大提升了解題難度，但通過對比發(fā)現(xiàn)，可以適當(dāng)配湊，實現(xiàn)原先的同構(gòu)格式.

例3（2020新高考Ⅰ卷第22題第二問）已知函數(shù)f（x）=aex－1－lnx+lna，若f（x）≥1，求a的取值范圍.

分析：f（x）=aex－1－lnx+lna=elna+x－1－lnx+lna≥1等價于elna+x－1+lna+x－1≥lnx+x=elnx+lnx.令g（x）=ex+x，則上述不等式等價于g（lna+x－1）≥g（lnx）.又g（x）為增函數(shù)，所以lna+x－1≥lnx，即lna≥lnx－x+1.令h（x）=lnx－x+1，易求得h（x）max=h（1）=0，所以lna≥0，即a≥1.故a的取值范圍是[1，+∞）.

同構(gòu)的本質(zhì)就是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.近年來，同構(gòu)的內(nèi)容涉及面廣，如式的運算、大小比較、函數(shù)零點、不等式（等式）的證明、求參數(shù)的取值范圍等，而且題目的綜合性逐步增強(qiáng)（2020年的大小比較到2022年的函數(shù)零點），同構(gòu)的技術(shù)含量也在增多，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察、運算和分析能力.同構(gòu)思想突破常規(guī)思路，為解題帶來了新的思路、新的方法、新的視野.

3層次三：三讀如水面上凈心玩月

三讀高考試卷，我們對試題的認(rèn)識（題目的解法、題目的源頭）逐步通透，認(rèn)識通透了，指導(dǎo)學(xué)生時方可得心應(yīng)手，如天上一個月亮，水中一個月亮，我們可以出神入化地玩月.三讀，就是要讀出命題人設(shè)置試題的意圖與解題人對試題認(rèn)識上的差異，只有找到差異，反思自己，才能找出方向，明確目標(biāo)，這就是三讀.

三讀，就是要讀出試題的情境（題目怎么處理），讀出試題命制時的思維軌跡及背景（題目怎么來）；三讀，就是對題目的處理做到出神入化，能解題知背景.

3.1讀情境

情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境.

研讀數(shù)學(xué)試題，要能在問題情境中，把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成解決問題的思路，其關(guān)鍵在于閱讀.

讀懂試題情境必須突破題意閱讀關(guān)，捕捉題中的關(guān)鍵信息；對信息加工，得到數(shù)據(jù)所提供的知識和規(guī)律，運用數(shù)學(xué)語言，清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)論證和數(shù)學(xué)建模的過程和結(jié)果；通過數(shù)學(xué)建模的結(jié)論和思想闡釋科學(xué)規(guī)律和社會現(xiàn)象；能夠合理地運用數(shù)學(xué)語言和思維進(jìn)行跨學(xué)科的表達(dá)與交流，這是高考數(shù)學(xué)命題的一個重要著力點.

例4（2022新高考Ⅰ卷第19題第二問）如圖2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22.

設(shè)D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

解讀情景：直三棱柱ABC-A1B1C1中，由題目所給條件分析出AB=BC=AA1=2，進(jìn)一步得到該直三棱柱就是由正方體分解而來，因此可在正方體的情境下處理問題.其過程如下：

解析：構(gòu)造正方體ABCN-A1B1C1N1，如圖3所示，二面角A-BD-C轉(zhuǎn)化為平面ABC1N1與平面BCN1A1所成角或其補(bǔ)角.由AB1⊥平面A1BC，可知向量B1A

為平面A1BCN1的法向量.由正方體ABCN-A1B1C1N1知B1C⊥BC1，B1C⊥AB，所以B1C⊥平面ABC1N1，則B1C為平面ABC1N1的法向量.又因為△AB1C是正三角形，所以〈B1A，B1C〉=π3，二面角A-BD-C的平面角為π3.故二面角A-BD-C的正弦值為32.

分析各條件間的關(guān)聯(lián)，將直三棱柱ABC-A1B1C1置于正方體中，其過程就是數(shù)學(xué)建模，在正方體的情境下處理，解題過程變得簡單.

能在復(fù)雜情境中，理出問題產(chǎn)生的數(shù)學(xué)情境，進(jìn)而優(yōu)化解題過程，這應(yīng)該是我們?nèi)x試題的追求之一.

3.2讀背景

背景是指命制試題時產(chǎn)生問題的大背景及命題人的思維軌跡.研讀高考試題，面對學(xué)生，我們不僅僅是指導(dǎo)學(xué)生解題，還要追尋數(shù)學(xué)試題的命題背景及思維軌跡，挖掘試題所潛藏的教育資源，引領(lǐng)學(xué)生高觀點認(rèn)識試題，認(rèn)清數(shù)學(xué)試題的大背景，掌握研究方法，學(xué)會在大背景下思考問題，拓展思維.

例5（2021新高考Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F1（－17，0），F(xiàn)2（17，0），|MF1|－|MF2|=2，點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

背景初析：設(shè)圓錐曲線C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0，過點P（x0，y0）的直線l，m的傾斜角分別為α，β，其斜率分別為k1，k2，直線l，m分別與圓錐曲線C交于A，B與C，D，則

（1）|PA|·|PB||PC|·|PD|=Acos2β+Bsin2βAcos2α+Bsin2α；

（2）若|PA|·|PB||PC|·|PD|=1，則α=π－β，傾斜角互補(bǔ)，即k1+k2=0，此時A，B，C，D四點共圓.

證明：略.

設(shè)直線l的方程x=x0+tcosα，y=y0+tsinα（t為參數(shù)），將其代入曲線C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0，得

（Acos2α+Bsin2α）t2+（2Ax0cosα+2By0sinα+Dcosα+Esinα）t+Ax20+By20+Dx0+Ey0+F=0.

設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則有

t1t2=Ax20+By20+Dx0+Ey0+FAcos2α+Bsin2α，

即|PA|·|PB|=|t1t2|=[JB（|]Ax20+By20+Dx0+Ey0+FAcos2α+Bsin2α[JB）|].

同理，有

|PC|·|PD|=[JB（|]Ax20+By20+Dx0+Ey0+FAcos2β+Bsin2β[JB）|].

所以，有

|PA|·|PB||PC|·|PD|=Acos2β+Bsin2βAcos2α+Bsin2α.[JY]①

當(dāng)曲線C表示圓，則①相應(yīng)于為圓的割線定理，即|PA|·|PB||PC|·|PD|=1；

當(dāng)曲線C不表示圓，若A，B，C，D四點共圓，從而|PA|·|PB||PC|·|PD|=1，即Acos2β+Bsin2βAcos2α+Bsin2α=1，進(jìn)而推得α=π－β，此時k1+k2=0.

四點共圓背景再析：根據(jù)上述結(jié)論的推導(dǎo)過程，結(jié)合平面幾何知識，可發(fā)現(xiàn)圓錐曲線以下性質(zhì).

性質(zhì)1：設(shè)直線AB，CD的斜率存在且不等于0，若AB，CD是圓錐曲線的兩條相交弦，交點為P，則

（1）兩弦AB，CD的傾斜角互補(bǔ)的充要條件是A，B，C，D四點共圓；

（2）兩弦AB，CD的傾斜角互補(bǔ)的充要條件是|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

性質(zhì)2：設(shè)直線AB，CD，AD，BC的斜率存在且不等于0，若AB，CD是圓錐曲線的兩條相交弦，且AB，CD的傾斜角互補(bǔ)，則AD，BC的傾斜角也互補(bǔ).

性質(zhì)3：設(shè)A，B，C是圓錐曲線上的三點，且直線BC的斜率存在，若AB，AC的斜率互為相反數(shù)（傾斜角互補(bǔ)），則直線BC的斜率與曲線在點A處的切線斜率互為相反數(shù).

以此背景的試題，如2022年新高考Ⅰ卷第21題.

讀試題背景，更多的是讀出知識背景（高等數(shù)學(xué)背景）或命制背景，僅用于明確問題處理方向，而問題的處理只能在中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)解決.作為數(shù)學(xué)教師，對試題背景應(yīng)該有深刻的認(rèn)識，認(rèn)清數(shù)學(xué)試題的大背景，教會學(xué)生在大背景下思考問題.

三讀高考試題，就是從課標(biāo)的理念、思想、要求來研讀，并在此基礎(chǔ)上把握教學(xué)，這種處理，就是站在與高考命題專家思想相通的平臺上，這樣教育教學(xué)將變得更有效、更得力、更自如.我們從觀月到賞月，再到玩月，隨著研讀的深入，對試題的認(rèn)識逐漸出神入化，這既需要較強(qiáng)的專業(yè)知識，更需要對教育的情懷！