“生本”理念下精彩習題課堂的建構

陳婷婷

摘要：在高中數(shù)學習題課上，教師應結(jié)合教學實際不斷創(chuàng)新教學手段和教學模式，充分發(fā)揮學生的主體價值，讓學生成為習題課真正的主人.在具體實施過程中，教師要做啟發(fā)型和探究型的老師，要重視呈現(xiàn)學生的思考過程，并鼓勵學生從不同角度分析和解決問題，以此幫助學生積累豐富的解題經(jīng)驗，切實提高學生解題能力，提升學生數(shù)學素養(yǎng).

關鍵詞：習題課；主體價值；解題能力

習題課是數(shù)學教學的重要課型，它既可以檢測學生知識、技能、方法的掌握情況，也可以幫助學生查缺補漏、開闊思路、積累經(jīng)驗、建構知識體系[1].習題課用不著面面俱到，如果每道題都講、每個知識點都強調(diào)，那么習題課就上成了新授課，這樣所講知識過于繁雜，不僅影響個體知識結(jié)構的建立與完善，而且容易造成學生思維疲勞，難以發(fā)揮習題課的育人價值，影響習題課的教學質(zhì)量.在習題課教學中，教師要重視歸類、總結(jié)，重視呈現(xiàn)學生的思考過程，引導學生探尋問題的本質(zhì)，以此達到會一題、通一類的效果，切實提高習題課教學的有效性.筆者以“橢圓習題課”教學為例，談談對習題課教學的幾點淺見，若有不足，請指正！

1教學簡錄

問題1已知P是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點，O為坐標原點，求OP2的最值.

該題解法不唯一，教師鼓勵學生嘗試應用不同的方法解決問題.問題給出后，教師預留充足的時間讓學生思考，然后充分展示學生的思考過程.

師：誰來說一說，你想利用什么方法解決這一問題呢？

生1：設點P的坐標為（x，y），通過消元將問題轉(zhuǎn)化為主元是x的二次函數(shù)，在定義域［－a，a］上求最值.

生2：我和生1的想法基本相同，不過我通過消元將問題轉(zhuǎn)化為主元是y的二次函數(shù)，在定義域［－b，b］上求最值.

師：還有其他解決方案嗎？

生3：還可以設P（acosA，bsinA），這樣可以將問題轉(zhuǎn)化為主元為cosA或sinA的二次函數(shù)，在定義域［－1，1］上求最值.

師：非常好，以上同學給出的方法是解決此類問題常用的方法，通過消元，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的經(jīng)驗解決問題.

教師正準備讓學生任選一種方法，完善解題過程時，生4又給出了另一種解法.

生4：以上都是從數(shù)的角度分析，其實該題還可以從形的角度分析，將目標看成圓與橢圓相切的兩個狀態(tài)就是最值.（部分學生投來疑惑的眼神.）

師：是個不錯的想法，請具體說說你的想法.

生4在黑板上畫出了兩個臨界狀態(tài)，學生恍然大悟.

師：你認為哪種方法是最優(yōu)解法呢？

通過互動交流，最終達成共識：若該題是填空題，可以選擇生4的方法來解決，借助幾何直觀，可以優(yōu)化運算過程，提高解題效率；若該題是解答題，則需要利用前面幾位同學給出的代數(shù)法進行推理.

教學評注：教學中，教師將課堂還給學生，鼓勵學生應用不同方法解決問題，有利于激活思維，激發(fā)潛能，這樣學生的思維動起來了，課堂也就活起來了，有利于提升教學有效性[2].

問題2已知點P在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上（點P異于橢圓頂點），F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若∠F1PF2=60°，則這樣的點P有幾個？

同樣，問題給出后，教師沒有急于呈現(xiàn)標準答案，而是將解題主動權交給學生.學生獨立求解，教師巡視.從解題反饋來看，學生給出了不同的答案：4個；4個或2個或0個；4個或0個.基于此，教師給出如下解題過程：

設橢圓的離心率為e，根據(jù)焦半徑公式，得x0=±1e3c2－b23，y0=±3b23c，由此可知，符合條件的點P應該是4個.

教師話音剛落，學生提出異議.

生5：不對，令a=2，b=3，c=1，顯然當e=12時，只有兩個解.當e<12時，無解.

師：真的嗎？

生6：兩個解時，顯然與題目中“異于頂點”相矛盾，應舍去.

此時，給出兩個解的學生恍然大悟.

這樣通過師生互動交流，最終明確，點P有4個或0個.

師：現(xiàn)在我們將題目變一變，若將“∠F1PF2=60°”改為“∠F1PF2=90°”，你有什么發(fā)現(xiàn)？

改編后，學生聯(lián)想到圓.在此基礎上，教師又引導學生將橢圓向特殊化轉(zhuǎn)化，讓學生體會離心率變化帶來的視覺沖擊.當然，也有學生提出將角向一般化轉(zhuǎn)化，如令∠F1PF2=θ.這樣通過特殊與一般轉(zhuǎn)化，既有利于發(fā)散學生的數(shù)學思維，拓寬學生的視野，又利于增強學生的解題信心.

教學評注：教學中教師要充分發(fā)揮課堂主導的作用，當學生出現(xiàn)分歧或困惑時及時給予引導，以此增強學生學習信心.此環(huán)節(jié)，教師引導學生將問題進行改編，以此通過變式使習題變得更有廣度、更有深意，有利于揭示問題的本質(zhì)，提升學生數(shù)學素養(yǎng).

問題3AB是橢圓x216+y24=1的弦，點M（2，1）是弦AB的中點，求直線AB的方程.

中點弦問題是高考的一個重要考點，教師讓學生以小組為單位，共同探索解題思路.

生8：可以利用方程組法求解，設斜率，聯(lián)立方程，利用設而不求的方法解題.解題時需要注意，設斜率需要考慮斜率是否存在，該題根據(jù)已知條件可知，直線AB的斜率是存在的，所以設所求的方程為y－1=k（x－2）即可.

師：很好，方程組法是解決橢圓中點弦問題的常用方法，將直線方程與橢圓組成的方程組，通過消元將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程，從而利用一元二次方程根與系數(shù)的關系及中點坐標公式可以求出斜率，以此得到直線方程.還有其他方法嗎？

生9：設點A（x，y），則由對稱性得B（4－x，2－y），利用這兩點都在橢圓上，即可得到所求.

師：非常好，利用對稱性解決了問題.該方法就是我們常說的中點轉(zhuǎn)移法.解題時，先設弦的一個端點坐標，然后借助中點坐標，可以得到另一端點坐標，將兩點分別代入橢圓方程，直接相減即可得到所求的直線方程.

生10：也可以分別設出A，B兩點坐標，然后將兩點坐標分別代入橢圓方程，兩式相減可以求得直線斜率.這樣得到直線斜率后，問題即可迎刃而解.

師：非常棒，該方法可以稱其為“點差法”，是解決中點弦問題的一個不錯方法.

生11：其實這個題單憑看也能得到答案.

師：哦！你是怎么看的呢？

生11：直接寫出上頂點和右頂點的坐標，它們的中點就是點M，這樣可以直接寫出直線方程.

學生紛紛投來羨慕的目光.

師：太厲害了，憑借直觀思考，一眼看穿！若將點M坐標改為（1，2）呢？

這樣更改后，顯然利用生11的方法行不通了，由此通過對比既讓學生感知通法的通用性，也讓學生體會幾何直觀的優(yōu)越性.

教學評注：在此過程中，生11利用直覺思維，借助幾何直觀高效地解決了問題，充分展示了數(shù)形結(jié)合的魅力，不過該解法具有一定的特殊性.在日常教學中，我們不僅要強調(diào)通法，也要關注最優(yōu)解法，對于一些客觀題，若能用優(yōu)法解題，可以達到事半功倍的效果.對于該題，教師還可以引導學生想一想，若點M不是弦的中點該如何求解，由此讓學生體會方程組法才是解析幾何最重要的解法.

2教學思考

習題課上，教師切勿“求多”，而是要“求精”.教學中，教師要認真研究“課標”和真題，結(jié)合教學經(jīng)驗和學生學習反饋精心挑選典型性例題，以此充分發(fā)揮典型例題的輻射功能，提高學生舉一反三的能力[3].

習題課上，教師切勿大包大攬，應該將課堂還給學生，學會傾聽學生的想法，關注他們的思考過程，鼓勵他們合作交流，充分發(fā)揮學生的主體價值，讓不同思維碰撞出火花，以此拓寬學生的視野，激活學生的思維，促成深度學習.

值得注意的是，我們強調(diào)學生的主體價值，切忌忽視教師的主導作用，教師作為課堂教學的組織者、引領者，其在教學中的地位和作用是不可替代的.在課堂教學中，教師既要做好充分的預設，又要及時捕捉各種課堂生成.當課堂上出現(xiàn)“意外”時，要根據(jù)實際情況及時調(diào)整教學節(jié)奏和教學策略.如當學生困惑時，教師要適當?shù)胤怕_步，通過多角度分析幫助學生排疑解惑，以此讓學生真懂真會；當學生提供精彩的解法時，教師要給予充分肯定，激發(fā)學生學習興趣，升華學生認知.

總之，若想打造精彩的習題課堂，教師就要放權給學生，讓學生主動交流各自的所思、所想、所惑，讓學生把題真正地學懂、吃透，切實提高學生解題能力.同時，在課堂教學中，教師要及時引導學生總結(jié)和反思，以此優(yōu)化個體認知結(jié)構，提高學生舉一反三的能力.

參考文獻：

［1］曹慧.提高數(shù)學習題課效率的策略探討[J].中文科技期刊數(shù)據(jù)庫（全文版）教育科學，2021（9）：283.

［2］雷洪春.高中數(shù)學習題課變式教學探索——以“函數(shù)的概念與基本性質(zhì)”習題課為例[J].華夏教師，2022（25）：43-45.

［3］汪本旺.例談高中數(shù)學習題課的深度教學[J].中學數(shù)學研究，2022（10）：8-11.