“概率統(tǒng)計(jì)”的復(fù)習(xí)備考建議

張雷

摘要：?作為高考中的主干知識(shí)之一，概率統(tǒng)計(jì)部分的復(fù)習(xí)備考是高考復(fù)習(xí)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).通過(guò)數(shù)學(xué)閱讀能力培養(yǎng)、數(shù)學(xué)概念公式理解、數(shù)學(xué)思想方法提煉、知識(shí)內(nèi)涵與解題規(guī)范、未涉及知識(shí)教學(xué)復(fù)習(xí)等層面的展開(kāi)，剖析復(fù)習(xí)備考建議，全面提升數(shù)學(xué)能力與培養(yǎng)核心素養(yǎng)，優(yōu)化復(fù)習(xí)備考效益.

關(guān)鍵詞：概率；統(tǒng)計(jì)；高考；備考；復(fù)習(xí)建議

概率統(tǒng)計(jì)（含計(jì)數(shù)原理、排列組合與二項(xiàng)式定理等）模塊知識(shí)是新高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)重要考查知識(shí)點(diǎn)，往往以“一大一小”（一個(gè)解答題，一個(gè)選擇題或填空題）的形式來(lái)全面考查.此模塊知識(shí)重在培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、理性數(shù)學(xué)思維方式以及解決問(wèn)題的基本能力等.

在高中數(shù)學(xué)課程體系中，概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)貫穿于必修、選擇性必修課程之中，成為高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要主題，也是全面培養(yǎng)與提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)等方面的重要媒介之一.

特別地，在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，隨著課程改革的不斷深入，高考命題的創(chuàng)新引領(lǐng)，概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)必將成為高考數(shù)學(xué)試卷中的核心知識(shí)和熱點(diǎn)考點(diǎn)之一.鑒于此，結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)模塊自身的特點(diǎn)，高三復(fù)習(xí)備考中可以從以下一些細(xì)節(jié)與注意點(diǎn)入手，拋磚引玉，強(qiáng)化復(fù)習(xí)，提升能力.

1 重視數(shù)學(xué)閱讀能力與理解能力的培養(yǎng)

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查成為新高考創(chuàng)新命題的一個(gè)亮點(diǎn)，特別是涉及命題的“反套路”理念，以及學(xué)生“四能”的全面提升等方面的考查，成為高考命題中的一個(gè)新思路與新方式.

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查往往依托現(xiàn)實(shí)生活中的閱讀材料加以展開(kāi)與考查，沒(méi)有“套路”可循，這就對(duì)復(fù)習(xí)備考提出更高的要求，要求更加重視材料的閱讀與理解能力，對(duì)于新的問(wèn)題應(yīng)用情境中的信息收集、信息加工與實(shí)際應(yīng)用等提出更高的要求，要求教師要在平時(shí)的復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，更加有針對(duì)性地進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，提升閱讀理解能力等.

而對(duì)于很多學(xué)生得分情況不理想，甚至談起概率與統(tǒng)計(jì)解答題便產(chǎn)生恐懼心理，就需要更有針對(duì)性地進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀理解能力的培養(yǎng)，借助應(yīng)用場(chǎng)景與閱讀材料，增強(qiáng)材料的信息加工，文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化等方面的能力.

例1?位于成都市龍泉驛區(qū)的東安湖體育公園是第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)的核心場(chǎng)館，它包含一座綜合運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館.現(xiàn)安排包含甲、乙在內(nèi)的6名同學(xué)到這4個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每人去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1個(gè)人，則甲、乙兩人安排在相同場(chǎng)館的方法種數(shù)為（??）.

A.96

B.144

C.240

D.360

解析：首先將6名同學(xué)分成4組.一種方式是甲、乙組成一組，再?gòu)牧硗?人任選2人組成一組，其余的一人一組；

另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組.然后再把4組人分到4個(gè)場(chǎng)館.

所以安排方法種數(shù)為（C24+C14）A44=240.故選：C.

點(diǎn)評(píng)：此類涉及應(yīng)用的計(jì)數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵在于閱讀理解能力，根據(jù)志愿者活動(dòng)安排，通過(guò)分組的分類討論，結(jié)合排列組合的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)與應(yīng)用，進(jìn)而確定相應(yīng)的安排方法種數(shù).

2 重視數(shù)學(xué)基本概念和基本公式的理解

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)，要更加重視對(duì)數(shù)學(xué)教材的回歸與使用，真正起到數(shù)學(xué)教材的引領(lǐng)與指向功能.

在回歸教材與應(yīng)用教材過(guò)程中，結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的基本特點(diǎn)，要特別重視概率與統(tǒng)計(jì)中相關(guān)的基本概念的理解，以及一些相關(guān)基本公式的理解與掌握，把握解題的“通性通法”.特別要注意新教材中涉及全概率公式的應(yīng)用等，并能熟練利用基本概念與基本公式來(lái)解決一些相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，體現(xiàn)概念與公式的充分理解與把握等.

例2?某射手射擊三次，記事件Ai=“第i次命中目標(biāo)”（i=1，2，3），P（A1）=?1?6?，P（Ai+1|Ai）=3P（Ai），P（Ai+1|Ai?）=?1?4?（i=1，2），則P（A3）=＿＿＿＿.

解析：依題意知，P（A1）=?1?6?，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式可得P（A1?）=1－P（A1）=?5?6?.

結(jié)合P（Ai+1|Ai）=3P（Ai），可得P（A2|A1）=3P（A1）=?1?2?.又P（A2|A1?）=?1?4?，

利用全概率公式，可得P（A2）=P（A1）P（A2|A1）+P（A1?）P（A2|A1?）=?1?6?×?1?2?+?5?6?×?1?4?=?7?24?.

又利用對(duì)立事件的概率公式，可得

P（A2?）=1－P（A2）=?17?24?.

而P（A3|A2）=3P（A2）=?7?8?，又P（A3|A2?）=?1?4?，所以

利用全概率公式，可得P（A3）=P（A2）P（A3|A2）+P（A2?）P（A3|A2?）=?7?24?×?7?8?+?17?24?×?1?4?=?83?192?.

點(diǎn)評(píng)：該綜合應(yīng)用問(wèn)題以概率為問(wèn)題場(chǎng)景，通過(guò)條件概率以及遞推關(guān)系式的合理交匯與綜合，綜合對(duì)立事件的概率公式以及全概率公式等來(lái)綜合與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙分析與解決.特別要注意的是，合理利用事件概率之間的遞推關(guān)系式，要注意后繼事件的概率往往受前一個(gè)事件的概率的影響，需要逐一分析與求解，這對(duì)應(yīng)用問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)意義與規(guī)律.

3 重視數(shù)學(xué)思想方法與技巧策略的提煉

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)也離不開(kāi)數(shù)學(xué)基本思想方法與技巧策略，成為聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的一個(gè)重要場(chǎng)景.特別是以實(shí)際應(yīng)用題為場(chǎng)景的概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，更是突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的一個(gè)基本場(chǎng)所.

基于此，在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，要全面把握數(shù)學(xué)基本思想方法的引領(lǐng)，指向數(shù)學(xué)基本技巧策略應(yīng)用.要將數(shù)學(xué)的思想方法與技巧策略等貫穿在復(fù)習(xí)備考與數(shù)學(xué)解題過(guò)程中去，使得復(fù)習(xí)備考過(guò)程更加全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累和數(shù)學(xué)思想升華.

例3?為調(diào)查中某校學(xué)生每天學(xué)習(xí)的時(shí)間，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取高一學(xué)生400人，每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，抽取高二學(xué)生600人，每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為0.8，抽取高三學(xué)生1 000人，每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為10小時(shí)，方差為1，則估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為（??）.

A.1.25

B.1.35

C.1.45

D.1.55

解析：依題知，所抽取的總?cè)藬?shù)為400+600+1 000=2 000，

則高一、高二、高三學(xué)生所抽取的人數(shù)的頻率分別為?400?2 000?=0.2，?600?2 000?=0.3，?1 000?2 000?=0.5，

所以該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為

x?=0.2×8+0.3×9+0.5×10=9.3.

結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的樣本方差公式，可得到

s2=0.2×[0.5+（8－9.3）2]+0.3×[0.8+（9－9.3）2]+0.5×[1+（10－9.3）2]=1.45.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些復(fù)雜的分層隨機(jī)抽樣問(wèn)題時(shí)，首先要準(zhǔn)確確定分層隨機(jī)抽樣的層數(shù)，以及確定與之相關(guān)的基本概念（樣本總數(shù)、各層的樣本數(shù)或頻率等），進(jìn)而熟練利用分層隨機(jī)抽樣的樣本平均值、樣本方差公式加以推理與運(yùn)算，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景與現(xiàn)實(shí)實(shí)際來(lái)合理判斷與決策等.

4 重視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵與解題過(guò)程的規(guī)范

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的應(yīng)用，是閱讀材料與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，也是對(duì)材料信息的再認(rèn)識(shí)與再加工.在實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)，需要將對(duì)應(yīng)的應(yīng)用情境問(wèn)題加以合理抽象，巧妙建模，利用數(shù)據(jù)分析與信息加工，并結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等來(lái)分析與解決問(wèn)題.

基于此，在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，需要重視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的提煉，重視數(shù)學(xué)解題過(guò)程的規(guī)范、解題格式的訓(xùn)練，特別對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)的使用要規(guī)范準(zhǔn)確，語(yǔ)言表達(dá)精煉準(zhǔn)確，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算正確.

5 重視未涉及知識(shí)的教學(xué)復(fù)習(xí)

近兩三年來(lái)高考沒(méi)有考到的內(nèi)容：正態(tài)分布、一元線性回歸模型等相關(guān)問(wèn)題.隨著“教學(xué)評(píng)一體化”及人才選擇培養(yǎng)體系的變革，這一部分內(nèi)容將會(huì)成為來(lái)年高考的考點(diǎn)，需要教師與學(xué)生務(wù)必做好這些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)與復(fù)習(xí)，使得復(fù)習(xí)更加系統(tǒng)，更加全面，更加到位.

近年高考中，概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查更加吻合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022修訂）》，突出該模塊中的基本概念、主干知識(shí)以及基本數(shù)學(xué)方法與技巧策略等方面的考查等，吻合教材的內(nèi)容比例，全面考查知識(shí)的應(yīng)用等，特別在通性通法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適度的綜合與創(chuàng)新.