聚焦數(shù)量關(guān)系 發(fā)展推理意識

張淑嫻 鐘立

【摘? ?要】“探索規(guī)律”作為小學數(shù)學“數(shù)量關(guān)系”主題的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學生推理意識的重要途徑。以人教版教材六年級下冊“數(shù)學思考：探索規(guī)律”的教學為例，在引導(dǎo)學生分析數(shù)量關(guān)系的過程中，可運用發(fā)展學生推理意識的三個步驟提升學生的思維能力。這三個步驟具體為：深入了解學情，確定推理意識培養(yǎng)的起點；經(jīng)歷有序思考與歸納推理，培養(yǎng)推理意識；實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的遷移應(yīng)用，提升推理意識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；推理意識；探索規(guī)律

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）指出：“推理意識有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣，增強交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)?！?022年版課標特別關(guān)注對學生推理意識的培養(yǎng)，并把推理意識列為學生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一?！疤剿饕?guī)律”作為小學數(shù)學“數(shù)量關(guān)系”主題的重要內(nèi)容，不僅有助于學生理解數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)學問題，還是培養(yǎng)學生推理意識的重要途徑。因此，教師在教學“探索規(guī)律”時，應(yīng)關(guān)注學生推理意識的發(fā)展。那么，在“探索規(guī)律”的教學中，如何聚焦數(shù)量關(guān)系，有效發(fā)展學生的推理意識呢？本文以人教版教材六年級下冊“數(shù)學思考：探索規(guī)律”的教學為例，探討如何引導(dǎo)學生在經(jīng)歷分析數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學規(guī)律的過程中，感悟和發(fā)展推理意識。

一、深入了解學情，確定推理意識培養(yǎng)的起點

在教學前，教師要重視分析學生的原有知識經(jīng)驗和認知起點。為了更好地開展“探索規(guī)律”的教學，深入了解學情，教師在課前對六年級40名學生（使用人教版教材）進行了前測。題目是：同一平面，5個點最多可以連幾條線段？結(jié)果顯示，學生主要采用了以下四種解題方法。

第一種：1+2+3+4=10（條）。

第二種：4+3+2+1=10（條）。

第三種：（5-1） × 5÷2=10（條）。

第四種：C[25]=[5×42×1]=10（條）。

其中，有2名學生采用第一種方法，與教材呈現(xiàn)的方法一致。有27名學生采用第二種方法，這是運用二年級學過的解題經(jīng)驗解決問題。有4名學生采用第三種方法，有1名學生采用第四種方法。進一步了解得知，采用第三種和第四種方法的學生都是在課外習得方法的。另外還有部分學生沒有得出正確答案。分析學生的解題過程，發(fā)現(xiàn)大部分學生都具備利用畫圖和推理等方法解決問題的能力，但也有近一半的學生在解題時存在困難，如找不到切入點、思考無序，或不會利用數(shù)量關(guān)系進行類比歸納，從而得出規(guī)律，等等。

基于上述情況，在“數(shù)學思考：探索規(guī)律”的教學中，教師應(yīng)采取有效措施，幫助學生弄清題意，找到解題的切入點；借助學生已有經(jīng)驗，使其從無序思考走向有序思考；注重對問題中數(shù)量關(guān)系的分析，在揭示隱含的規(guī)律的過程中，使學生形成與提升推理意識，進而培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

二、經(jīng)歷有序思考與歸納推理，培養(yǎng)推理意識

要培養(yǎng)學生的推理意識，必須讓學生親身經(jīng)歷推理的過程，在分析問題、解決問題的過程中體驗推理、感悟推理、反思推理?；趯W生的前測情況，“探索規(guī)律”的教學應(yīng)聚焦于培養(yǎng)學生通過有序思考與類比歸納得出數(shù)學規(guī)律的能力。

（一）尋找解決問題的切入點，指向有序思考

小學生的思維以直觀形象思維為主，缺乏邏輯性和條理性。因此，他們面臨數(shù)學問題時，經(jīng)常感到迷茫和困惑，難以迅速找到正確的解題思路，可能會隨意猜測或錯誤嘗試，甚至直接選擇放棄。這實際上為培養(yǎng)學生的有序思考和推理意識提供了寶貴的契機。教師可以通過引導(dǎo)學生逐步進行分析和推理，有效促進他們推理意識的發(fā)展。

教學時，教師先出示問題：同一平面，100個點最多可以連幾條線段？（如圖1）

起初，多數(shù)學生會盲目亂猜。于是，為了引導(dǎo)學生找到解決問題的關(guān)鍵，教師提問：你打算如何解決這個問題？學生主要有以下三種思路。

第一種：連線段時應(yīng)該按照一定的順序畫，否則會非常雜亂。

第二種：當研究的點數(shù)較少時，可以通過畫圖驗證，進而推導(dǎo)出數(shù)學規(guī)律。

第三種：先研究2個點、3個點……尋找其中的規(guī)律，再來解決這個問題。

在交流討論的過程中，學生逐漸認識到可以從簡單情況入手，然后逐步過渡到復(fù)雜的情況。教師可引導(dǎo)學生先思考少數(shù)幾個點連線段的方法。由于連線段至少需要2個點，學生應(yīng)該先看2個點連線的情況。然后隨著點數(shù)逐步增多，得到更多個點連線段的情況。這種解題思路的轉(zhuǎn)變，驅(qū)動學生從無序思考走向有序思考，而有序思考對于提高學生的思維能力具有重要意義。教師應(yīng)關(guān)注學生的思維過程，鼓勵學生積極思考、勇于嘗試，并在他們遇到困難時給予適當?shù)囊龑?dǎo)和支持，通過培養(yǎng)學生有序思考的習慣，為他們做題乃至未來的學習和生活奠定良好基礎(chǔ)。

（二）突出數(shù)量關(guān)系分析，感悟推理的條理性

在解決問題的過程中，關(guān)鍵環(huán)節(jié)決定了問題能否順利解決。因此，對這些關(guān)鍵環(huán)節(jié)的把握是解決問題的核心。在“數(shù)學思考：探索規(guī)律”的教學中，1～4個點連線段的問題對學生來說并不困難（這是二年級的教學內(nèi)容），但當問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤?個點最多可以連幾條線段？”時，其復(fù)雜性就顯著增加。此外，這一情形下數(shù)量關(guān)系的分析對于探索一般規(guī)律有極大的示范與遷移作用。因此，“5個點最多可以連多少條線段？”的問題就成了探索規(guī)律的關(guān)鍵。為突出重點、突破難點，教師設(shè)計了如下學習單（如圖2）。

出示學習單后，教師先讓學生獨立思考，然后合作交流，并對部分學生進行有針對性的指導(dǎo)。隨后收集學生作品（如圖3），并請學生介紹相應(yīng)的思考過程。學生的思考過程具體如下。

第一種：從點A出發(fā)，與其余4個點B、C、D、E分別相連，得到4條線段AB、AC、AD、AE；接著，從點B出發(fā)，與剩余的3個點C、D、E分別相連，得到3條線段BC、BD、BE；然后，從點C出發(fā)，與剩余的2個點D、E分別相連，得到2條線段CD、CE；最后，將點D與點E相連，得到1條線段DE。共計10條線段，算式為4+3+2+1=10（條）。

第二種：先連接點a與點b，得到1條線段ab；再增加點c，與前面的點a、點b分別相連，得到2條線段ac、bc；接著增加點d，與前面的點a、點b、點c分別相連，得到3條線段ad、bd、cd；最后增加點e，與前面的點a、點b、點c、點d分別相連，得到4條線段ae、be、ce、de。共計10條線段，算式為1+2+3+4=10（條）。

第三種：從點A出發(fā)，與其他4個點分別相連，得到4條線段AB、AC、AD、AE。同理，從點B、點C、點D、點E出發(fā)，也能各自得到4條線段。但每兩點之間的線段都被重復(fù)計算了一次，實際的線段數(shù)量需要除以2。因此，總的線段數(shù)量為4×5÷2=10（條）。

接著，教師引導(dǎo)學生討論、比較三種思考過程。第一種思路是學生相對熟悉的計算方法，這個過程實際上是按照從大到小的順序進行的求和。第二種思路則是從最簡單的情況開始，逐步增加點數(shù)，最終得到5個點的連線情況，即1～4的所有整數(shù)之和。第三種思路則是從每個點出發(fā)進行計算，考慮到它可以與其他所有點連線，因而最終需要通過除以2去除重復(fù)計算。雖然這三種思路的具體方法不同，但得出的結(jié)果卻是一致的。這體現(xiàn)了推理的豐富性與內(nèi)在的一致性，也展示了邏輯推理的合理性。由此，通過探究5個點最多可以連幾條線段的問題，為探究更一般的數(shù)學規(guī)律提供了具有借鑒價值的思路。

（三）揭示數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，體驗類比歸納推理

推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，體現(xiàn)為能夠通過簡單的類比或歸納，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論。在“數(shù)學思考：探索規(guī)律”的教學中，教師要重視引導(dǎo)學生觀察、比較、分析不同情境下的數(shù)量關(guān)系，揭示其內(nèi)在的一致性，并通過類比和歸納，得出更一般的數(shù)學規(guī)律。這種推理過程不僅能夠加深學生對數(shù)量關(guān)系的理解，還能培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力以及抽象思維能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

回顧學生初步探索規(guī)律的過程可以發(fā)現(xiàn)，當面對2個點、3個點、4個點時，大多數(shù)學生選擇使用圖式進行表征，并通過數(shù)線段條數(shù)得到結(jié)果。然而，當研究5個點時，學生使用的方法開始分化：一部分學生直接畫出5個點，然后連線并計算線段數(shù)；另一部分學生則回顧并反思2、3、4個點連線的線段數(shù)，分析每種情況中點數(shù)與線段數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，從而猜測或發(fā)現(xiàn)5個點可以連的線段數(shù)（為了驗證結(jié)果，不少學生還會通過實際連線并計算線段數(shù)進行確認）。在深入分析5個點連線段的情況后，教師引導(dǎo)學生進一步探究6個點、8個點的連線情況。此時，學生已經(jīng)不再使用畫圖連線、數(shù)線段的方法，而是基于前面的觀察、比較和類推，直接得出線段數(shù)分別為6×5÷2=15（條）和8×7÷2=28（條）。通過推理，學生可以歸納出100個點、1000個點、10000個點乃至n個點可以連的線段數(shù)（如表1）。

這不僅是對數(shù)量的簡單計數(shù)，還是一種深入探究數(shù)量之間關(guān)系的類比歸納推理的過程。此時，學生不再依靠直觀計數(shù)，而是運用比較、類比、歸納等方式，從少量點的連線情況中提煉出更多點的連線情況，甚至用代數(shù)方法推導(dǎo)出n個點可以連的線段數(shù)的通用公式。借助這一形式化的公式，學生通過代入不同的數(shù)值，得到在不同點可以連的線段數(shù)。學生對這種推理過程的體驗，必將深化其對數(shù)量關(guān)系的理解與運用，提高其分析問題與解決問題的能力。

三、實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的遷移應(yīng)用，提升推理意識

學生在解決了“同一平面，n個點最多可以連幾條線段？”的問題后，感受到推理的魅力與價值，探索數(shù)學問題的欲望得到激發(fā)。此時，教師應(yīng)該設(shè)計富有啟發(fā)性的數(shù)學問題，引導(dǎo)學生運用已掌握的方法，探尋新規(guī)律，解決新問題，以便深入理解數(shù)量關(guān)系，提升推理意識。

例如，在學習新課內(nèi)容后，教師可以出示這樣兩個問題。

1. 有 15 名同學參加羽毛球單打比賽，如果每兩人之間進行一場比賽，一共要比賽幾場？

2. 觀察下圖（如圖4），想一想，依次排下去，第15幅圖有多少顆棋子？第n幅圖呢？

面對這些問題，學生需要思考新問題與已有數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)第1題中的問題與“同一平面，15個點最多可以連幾條線段？”類似，可以借助已學方法解決。同樣，要得出第2題中“第15幅圖或第n幅圖中有多少顆棋子”的結(jié)果，也要經(jīng)歷觀察、分析、類比等過程，從簡單情形中歸納出適用于復(fù)雜情形的解決方法。學生運用已有的解決問題的方法獲得推理方法，并將其遷移到新的問題中，通過實驗、計算、類比和歸納得出結(jié)論。這種思考新問題、解決新問題的方式與習慣，不僅提高了學生揭示問題中數(shù)量關(guān)系的能力，還培養(yǎng)了學生的抽象能力、模型意識及推理意識，為他們探索未知世界打開了一扇窗，指明了一條路。

總之，數(shù)學抽象的本質(zhì)是揭示規(guī)律，數(shù)學推理的本質(zhì)是研究規(guī)律，數(shù)學應(yīng)用的本質(zhì)是運用規(guī)律?！疤剿饕?guī)律”作為小學數(shù)學的重要內(nèi)容，是分析數(shù)量關(guān)系、培養(yǎng)學生推理意識的重要途徑。在“數(shù)學思考：探索規(guī)律”的教學中，教師要積極采取有效措施，在聚焦數(shù)量關(guān)系分析，揭示內(nèi)在聯(lián)系，探尋規(guī)律及遷移運用規(guī)律解決實際問題的過程中，關(guān)注學生推理意識的發(fā)展，進而提高學生分析問題與解決問題的能力，提升其數(shù)學核心素養(yǎng)。

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（1.浙江省杭州市余杭區(qū)五常中心小學2.浙江省杭州市余杭區(qū)教育發(fā)展研究學院）