一項改進小數(shù)乘法豎式教學(xué)的實驗研究

羅永軍 許兆琛

【摘? ?要】小數(shù)乘法豎式計算中，存在一些常見且易導(dǎo)致學(xué)生出錯的問題。對此，教師展開了實驗研究。在分析小數(shù)乘法意義的基礎(chǔ)上，使用面積模型來建立整數(shù)乘法與小數(shù)乘法的運算一致性，為小數(shù)乘法的整數(shù)化提供算理基礎(chǔ)。實驗研究結(jié)果顯示，采用改進后的小數(shù)乘法豎式進行計算，為學(xué)生提供了一種新的視角，可以有效避免小數(shù)點的干擾。這項研究不僅具有一定的教學(xué)指導(dǎo)意義，也能顯著提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，可供教材編寫選用。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)乘法豎式；運算的一致性；面積模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，存在一些常見且易導(dǎo)致學(xué)生出錯的問題，這些問題常常被教師戲稱為“坑”。盡管教師和學(xué)生都對這些“坑”的存在心知肚明，但不管教師怎么提醒，學(xué)生還是會不由自主地“掉”進去。例如，受小數(shù)加減法豎式計算的影響，學(xué)生在進行小數(shù)乘法的豎式計算時，往往習(xí)慣性地將小數(shù)點對齊。然而，小數(shù)乘法的豎式計算應(yīng)當采取末尾對齊的方式。正是這種計算上的習(xí)慣，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)各種錯誤（如圖1）。

學(xué)生出錯的原因，與“同形繼承”這一既有經(jīng)驗有關(guān)。［1］當前的教學(xué)主要側(cè)重于通過理解乘法的意義和積的變化規(guī)律來理解算理，進而明確算法。盡管算理的理解相對容易，但在實際操作中，由于正處于具體運算階段，學(xué)生的思維依賴可見的具體形式，所以當他們看到小數(shù)點時，就不由自主地將其對齊進行運算，從而導(dǎo)致計算出錯。此外，受“乘法是越乘越大”（積大于因數(shù)）這一經(jīng)驗的負遷移，學(xué)生反而會認為錯誤的結(jié)果是正確的。因此，僅僅依靠教師的不斷提醒并不能從根本上解決問題。學(xué)生的問題就是教學(xué)研究的課題，筆者試圖重新審視問題的根源，從算理入手，探索破解之道。

一、數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析

數(shù)是對數(shù)量的抽象，分析算理需要把數(shù)的運算還原為數(shù)量之間關(guān)系的比較。小數(shù)加減法之所以要求小數(shù)點對齊或者說相同數(shù)位對齊，是由加減法的意義決定的，即表示兩個同類量的合并與分離。例如，買了5.7元蘋果與4.12元桃子，一共要付多少元？解決這個問題就是要把兩個同類量合并成一個新的數(shù)量。合并時，要把相同單位上的數(shù)合在一起（如圖2），5元和4元相加得到9元，7角和1角相加得到8角，再與2分相加，得到9元8角2分，即9.82元。這種相同單位上數(shù)量的加減運算，抽象到數(shù)的加減運算層面，就是相同計數(shù)單位的數(shù)的加減運算。因此，小數(shù)加減法的豎式計算要求小數(shù)點對齊。

對于小數(shù)乘整數(shù)的運算，乘法的意義是若干個相同加數(shù)相加。因此，當兩個因數(shù)相乘時，它們所表示的意義是不同的：一個表示“相同加數(shù)”，另一個表示相同加數(shù)的“個數(shù)（倍數(shù)）”。例如，買了2千克單價是5.7元/千克的蘋果，一共花了多少錢？5.7元/千克和2千克并非同類量，單位也不同。這里的2需要與5和7分別相乘，因此，在進行乘法計算時，并不要求數(shù)位對齊（如圖3）。

實際上，從計數(shù)單位運算的一致性視角來看，可以把5.7元理解為57個0.1元，即57角，而2個57角就是114角。這樣，小數(shù)乘整數(shù)就可以全部轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法。這就提供了另一條豎式教學(xué)路徑，即無須依賴積的變化規(guī)律，而是通過“整數(shù)化”的方法進行計算，如5.7×2=57×2×0.1=11.4（元）（實際書寫時先寫結(jié)果114，然后再加小數(shù)點）。在豎式中，像這樣直接按整數(shù)乘法的法則進行計算，不加小數(shù)點，使得算理和算法得以統(tǒng)一，既易于理解，又便于操作。

那么，對于小數(shù)乘小數(shù)的運算，是否也可以采用類似的思路進行教學(xué)呢？答案是肯定的。其中，乘法的面積模型為小數(shù)乘法整數(shù)化的算理和算法提供了支持。

二、參考教材的思考

用面積模型解釋小數(shù)乘法的意義在歐美教材中已經(jīng)使用多年，如美國的California Mathematics（《加州數(shù)學(xué)》）。該教材提供了一種讓學(xué)生直觀理解小數(shù)乘法意義的方法，這種方法是用方格圖來表示小數(shù)單位及小數(shù)運算（如圖4），被稱為模型圖（Models）。方格圖由10×10即100個方格組成，表示1；一行或一列10個方格組成數(shù)條，表示0.1或[110]；每個方格表示0.01或[1100]。學(xué)生三年級第一次認識小數(shù)時，便開始使用這一模型圖［2］，并在后續(xù)小數(shù)學(xué)習(xí)過程中反復(fù)應(yīng)用。

在教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)時，教材通過小數(shù)模型直觀形象地呈現(xiàn)了0.8 × 0.4的計算過程［3］：首先，構(gòu)建一個10×10的空白小數(shù)模型，每個小方格表示1個0.01。然后，用涂色表示第一個因數(shù)0.8，即每行表示1個0.1，涂8行。接著，將模型中的4列小方格涂成藍色，表示乘0.4。涂色后的重疊部分即為乘積。這種計算方式實際上是在計算長方形的面積，面積單位與小數(shù)單位相對應(yīng)，即0.8×0.4=8×4×0.01=0.32（如圖5）。

美國教材的編排與筆者的設(shè)想不謀而合，除了上述簡單的小數(shù)乘法，對其他類型的乘法，如0.7×2.5、2.5×1.36、0.036×3500等，也可以用如下的形式進行計算（如圖6）。需要注意的是，在列豎式時，如果涉及小數(shù)乘整十數(shù)、整百數(shù)等的乘法運算，應(yīng)先化簡再計算。

三、學(xué)生研究

從運算的一致性視角，把小數(shù)乘法整數(shù)化，無論是算理還是算法，都是自洽的。此種方法有助于消除學(xué)生面對小數(shù)乘法時可能產(chǎn)生的混淆和困擾。然而，實際效果究竟如何？為探究此問題，本研究設(shè)計了針對小數(shù)乘法常見類型的問卷調(diào)查（如圖7），并進行了對照實驗。

第1部分是小數(shù)加減法，共4題，分別涉及了小數(shù)加減法的常見類型，以了解學(xué)生對數(shù)位對齊的掌握情況。第2部分包含小數(shù)乘法常見的三種類型：第①②題是小數(shù)乘整數(shù)；第③⑤⑥題是小數(shù)乘小數(shù)，分別為一位小數(shù)乘一位小數(shù)、一位小數(shù)乘三位小數(shù)但轉(zhuǎn)化為整數(shù)是三位數(shù)乘兩位數(shù)、一位小數(shù)乘兩位小數(shù)但轉(zhuǎn)化為整數(shù)是兩位數(shù)乘三位數(shù)；第④⑦⑧題是小數(shù)乘整十數(shù)。

本研究分別于2021年和2023年對兩屆學(xué)生進行了對照實驗。結(jié)果顯示，兩屆學(xué)生的實驗結(jié)果基本一致。以2023年為例，對學(xué)校五年級240人進行了前測。其中，有42人全對或只是在進位上出錯，表明他們已提前掌握了小數(shù)乘法。因此，在統(tǒng)計實驗人數(shù)時，這42名學(xué)生排除在外（僅在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時排除，實際教學(xué)時仍正常參與）。實際列入對照分析的學(xué)生人數(shù)共計198人，其中實驗班人數(shù)為95人，對照班人數(shù)為103人。

分析結(jié)果顯示，小數(shù)加減法的正確率較高，達到了約92%。研究還發(fā)現(xiàn)，小數(shù)加減法的正確率與小數(shù)乘法的正確率之間并無顯著相關(guān)性，即加減運算的技能并不能直接遷移到乘法運算中。然而，加減運算的經(jīng)驗卻對乘法運算產(chǎn)生了普遍的負遷移。具體前測情況如表1所示。

從上表可以看出，對照班在每一題上的正確率幾乎都略高于實驗班，但差異并不顯著。在前測中，學(xué)生的主要錯誤來自小數(shù)點的干擾，從而造成對位混亂以及積的小數(shù)位數(shù)錯誤。由此可見，亟須探索一種有效的方法來使學(xué)生擺脫這一困境。

四、教學(xué)實驗

（一）實驗設(shè)計

鑒于將小數(shù)乘法整數(shù)化處理后，“小數(shù)乘整數(shù)”與“小數(shù)乘小數(shù)”的算法就達成了統(tǒng)一，因此將它們合并于同一課時進行教學(xué)。教學(xué)設(shè)計遵循浙教版教材五年級上冊“小數(shù)乘法”的有關(guān)內(nèi)容，具體分為五個環(huán)節(jié)：（1）情境引入。（2）讓學(xué)生獨立思考并交流7.8×2的豎式計算方法，通過面積模型理解算理。（3）延伸，嘗試數(shù)學(xué)情境中0.55×2.6的計算。（4）鞏固練習(xí)。根據(jù)因數(shù)判斷積的小數(shù)位數(shù)、直接由整數(shù)積得出小數(shù)乘法結(jié)果，以及列豎式計算2.5×0.08、2.5×1.36、0.036×3500等。（5）課堂小結(jié)。在對比實驗過程中，對照班與實驗班的主要區(qū)別在于“列豎式”這一環(huán)節(jié)，即實驗班在列豎式時將因數(shù)由小數(shù)改成整數(shù)，以減少小數(shù)點對計算的干擾。那么，這一細微改變將如何影響教學(xué)效果呢？

（二）實驗結(jié)果

為便于對比分析，后測卷與前測卷的內(nèi)容保持一致，具體結(jié)果如表2所示。

對于小數(shù)乘法計算，經(jīng)過與前測數(shù)據(jù)的對比，發(fā)現(xiàn)實驗班每一題計算的正確率都超越了對照班。實際上，從2021年的實驗開始，就發(fā)現(xiàn)這樣的豎式計算對學(xué)生幫助很大，效果明顯，所以這次筆者將基礎(chǔ)稍顯薄弱的班級作為實驗班。從后測數(shù)據(jù)來看，實驗班的正確率還是全面超越對照班，并未對原有的小數(shù)加減法計算能力產(chǎn)生負面影響。更值得關(guān)注的是小數(shù)乘法中最容易出錯的兩種情況，經(jīng)過測試驗證，新方法在以下兩個方面表現(xiàn)出的差異顯著：（1）當兩個因數(shù)相乘的結(jié)果的末尾為0時，如1.76×5 （P=0.000），新方法顯著提高了正確率；（2）當小數(shù)乘整十數(shù)，且因數(shù)本身含有0，乘積末尾也有0時，如2.75×140（P=0.004）、280×1.35（P=0.002），新方法同樣展現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢。

五、分析與討論

從后測結(jié)果來看，實驗班在計算正確率上顯著超越了對照班。這一令人欣喜的進步在小數(shù)乘法的教學(xué)中具有特殊意義。這是因為小數(shù)乘法的豎式計算歷來都被視為教學(xué)中的難點，盡管教師反復(fù)強調(diào)，學(xué)生也經(jīng)過了反復(fù)的練習(xí)，但仍無法完全掌握，經(jīng)常出現(xiàn)反復(fù)犯錯的情況。

現(xiàn)在，筆者只是在本實驗教學(xué)中作了一點小小的改進，就觀察到了顯著的效果。這種改進基于運算的一致性原理，將小數(shù)乘法整數(shù)化后轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法進行計算。這種方式用橫式對應(yīng)算理、豎式對應(yīng)算法，使得學(xué)生在處理豎式計算時，能夠?qū)⑵湟暈榕c整數(shù)乘法完全相同的計算方法。這一轉(zhuǎn)變消除了數(shù)位對齊和末尾對齊兩者之間差異對學(xué)生的干擾，從而顯著提高了學(xué)生的計算正確率。進一步分析表明，在傳統(tǒng)的算法中，豎式計算中因數(shù)帶小數(shù)點對成人來說可能影響不大，但對于學(xué)生來說卻是一個很大的挑戰(zhàn)。這主要是因為學(xué)生的大腦皮層尚未發(fā)育完全，神經(jīng)元連接的穩(wěn)定性相對較弱，導(dǎo)致他們在處理類似問題時更依賴于原有的認知結(jié)構(gòu)。所以，當對新的教學(xué)內(nèi)容作微小的改動，以融入學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)時，他們會更容易掌握。

類似地，對于小數(shù)除法的易錯點——除數(shù)是小數(shù)的除法問題，也可以從運算一致性的視角出發(fā)，將除數(shù)整數(shù)化來解決。例如：35.7÷0.17=3570÷17=210、3.57÷0.17=357÷17=21、0.357÷0.17=35.7÷17=2.1。這種方法實際上在多年前就已被提出，并在一些學(xué)校中得到了應(yīng)用。在浙教版教材五年級上冊中，小數(shù)除法的豎式計算就同時呈現(xiàn)了“畫去小數(shù)點”和“整數(shù)化”兩種方法，而學(xué)生在實際應(yīng)用中更傾向于使用后者，認為這種方式更加清晰明了。

盡管小數(shù)除法豎式計算的整數(shù)化方法已經(jīng)進入教材多年，并幫助無數(shù)學(xué)生提高了計算正確率，但小數(shù)乘法的豎式計算是否也可以作為算理算法相融的一種樣例進入教材呢？提供多種選擇對學(xué)生來說無疑是有益的，而且從運算一致性的視角來看，這種方法有助于學(xué)生從整體理解和掌握四則運算的算理。希望本文能引起更多教師的關(guān)注，并開始深度嘗試這種教學(xué)方法，從而為學(xué)生帶來更好的學(xué)習(xí)效果。

參考文獻：

［1］曹晶晶，林玲，郜舒竹.同形繼承導(dǎo)致錯誤［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2019（7/8）：4-7.

［2］ALTIERI? M B，BALKA D S，DAY R，et al. California mathematics：concepts，skills，and problem solving（Grade 3）［M］.New York：McGraw-Hill Companies，2007：548.

［3］ ALTIERI? M B，BALKA D S，DAY R，et al. California mathematics：concepts，skills， and problem solving［M］. New York：McGraw-Hill Companies，2007：288.

（1.浙江省杭州市勝利山南小學(xué)2.浙江省杭州市鳳凰小學(xué)）