由一道高考模擬題探究圓錐曲線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

張瑞雪 房元霞 徐茂林

由于圓錐曲線作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，蘊(yùn)含著運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中保持的某種“規(guī)律性”或“不變性”［1］，而這種“規(guī)律性”或“不變性”就是圓錐曲線的性質(zhì).本文以2023年某市高三二模第21題為例，利用GeoGebra軟件探究圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題.

一、題目

已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為3，C的右焦點(diǎn)F到其漸近線的距離為6.

（1）求該雙曲線C的方程；（2）若直線l與雙曲線C在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，直線x=3交線段AB于點(diǎn)Q，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).

本題以雙曲線為載體，考察轉(zhuǎn)化和聯(lián)立方程的計(jì)算能力，第（2）問(wèn)更是蘊(yùn)含了圓錐曲線一般性結(jié)論.我們?cè)O(shè)直線l與雙曲線C交于任意兩點(diǎn)A，B，直線x=3推廣至垂直于坐標(biāo)軸的直線x=t（或y=t），然后利用GeoGebra軟件探究得到如下情形與結(jié)論.

二、推廣到一般

定理1設(shè)雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），若直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（如圖 1），直線x=t（或y=t）交線段AB于點(diǎn)Q，交x（或y）軸于點(diǎn)F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則直線l過(guò)定點(diǎn)（a2t，0）（或過(guò)定點(diǎn)（0，－b2t））.若C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線y2a2－x2b2=1（a>0，b>0），則直線l過(guò)定點(diǎn)（－b2t，0）（或過(guò)定點(diǎn)（0，a2t））.

注：本文僅以焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線為例進(jìn)行證明，焦點(diǎn)在y軸上的證明不再累述.

證明：由已知有，直線x=t交線段AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)F.

由SΔFAQSΔFBQ=12|AF||FQ|sin∠AFQ12|BF||FQ|sin∠BFQ=AFBF，得sin∠AFQ=sin∠BFQ，所以直線AF與直線BF的傾斜角互補(bǔ)，kAF+kBF=0.設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯(lián)立y=kx+m，

x2a2－y2b2=1 得（b2－a2k2）x2－2kma2x－a2m2－a2b2=0，所以x1+x2=2a2kmb2－a2k2，x1x2=－a2m2+a2b2b2－a2k2，因?yàn)閗AF+kBF=0，即kx1+mx1－t+kx2+mx2－t=0，化簡(jiǎn)整理得2kx1x2+（m－tk）（x1+x2）－2tm=0.代入x1+x2、x1x2，化簡(jiǎn)得ka2+mt=0，即m=－a2kt，所以直線l的方程為y=kx－a2kt=k（x－a2t），恒過(guò)（a2t，0）點(diǎn).

注：原題中易得雙曲線C：x23－y26=1，直線為x=3，代入a2，t得定點(diǎn)為（1，0）.

定理2設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（如圖 2），直線x=t（或y=t）交線段AB于點(diǎn)Q，交x（或y）軸于點(diǎn)F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則直線l過(guò)定點(diǎn)（a2t，0）（或過(guò)定點(diǎn)（0，b2t））.若C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線y2a2+x2b2=1（a>0，b>0），則直線l過(guò)定點(diǎn)（b2t，0）（或過(guò)定點(diǎn)（0，a2t））.

定理3設(shè)拋物線C：y2=2px，若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（如圖 3），直線x=t交線段AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則直線l過(guò)定點(diǎn)（－t，0）.

定理4設(shè)拋物線C：x2=2py，若直線l與拋物線C

交于A，B兩點(diǎn)（如圖 4），直線y=t交線段AB于點(diǎn)

圖4Q，交x軸于點(diǎn)F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則

直線l過(guò)定點(diǎn)（0，－t）.

注：針對(duì)拋物線y2=2px直線y=t的情形，由于證明過(guò)程中m與k存在反比例關(guān)系，即無(wú)法證明定點(diǎn)與變量k無(wú)關(guān)，所以此種情況拋物線不過(guò)定點(diǎn)，類(lèi)似的，拋物線x2=2py直線x=t的情況同樣不過(guò)定點(diǎn).

上述，我們從雙曲線出發(fā)，通過(guò)類(lèi)比、猜想、實(shí)驗(yàn)、證明等數(shù)學(xué)思想方法的指引，得出了橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線一般性的結(jié)論，“對(duì)圓錐曲線進(jìn)行一般化推廣，變的是曲線，不變的是方法，將問(wèn)題進(jìn)行一般化的推廣，有助于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲線的性質(zhì).”［2］啟發(fā)學(xué)生做一道題，要學(xué)會(huì)解一類(lèi)題，拓展自己的解題空間，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性、靈活性和深刻性，進(jìn)而發(fā)展創(chuàng)造性.

參考文獻(xiàn)

［1］陸明明.解題還需尋“根”發(fā)“芽”——有關(guān)圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題的一點(diǎn)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（08）：38-42.

［2］李剛.在問(wèn)題探究中構(gòu)建知識(shí)的整體關(guān)聯(lián)——以“圓錐曲線中一類(lèi)定點(diǎn)定值問(wèn)題”為例［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（02）：16-21.