基于馬爾科夫鏈在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：馬爾科夫鏈?zhǔn)且远砹_斯數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫的名字命名，是一個(gè)數(shù)學(xué)隨機(jī)模型，描述了一連串可能發(fā)生的事件，從一個(gè)狀態(tài)到另外一個(gè)狀態(tài)，也可以是保持當(dāng)前狀態(tài)的隨機(jī)過程.下一個(gè)狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常與條件概率、全概率公式、貝葉斯公式相結(jié)合，構(gòu)造遞推關(guān)系求解概率.

關(guān)鍵詞：馬爾科夫鏈;條件概率;全概率公式

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）01-0024-03

收稿日期：2023-10-05

作者簡介：孟憲亮（1981.7-），男，山東省薛城人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

如果一個(gè)物體以一種隨機(jī)的方式運(yùn)動(dòng)，并且它的運(yùn)動(dòng)是無記憶的，那么這個(gè)物體就具有馬爾科夫性質(zhì).舉一個(gè)例子：一個(gè)足球被很多運(yùn)動(dòng)員踢來踢去，接下來的足球可以左右移動(dòng)也可以上下移動(dòng)，可以在任何狀態(tài)下進(jìn)行，它的運(yùn)動(dòng)只取決于當(dāng)前的狀態(tài).馬爾科夫鏈通常用來建模排隊(duì)原理和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的建模，還可作為信號(hào)模擬用于算法編碼，在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛.通過學(xué)習(xí)馬爾科夫鏈這一數(shù)學(xué)模型，增加學(xué)生將實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力.

1 馬爾科夫鏈的性質(zhì)

馬爾科夫鏈具有狀態(tài)空間、無記憶性、轉(zhuǎn)移概率（轉(zhuǎn)移矩陣）等三個(gè)要素.馬爾科夫鏈?zhǔn)菑囊粋€(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)化的隨機(jī)過程，每個(gè)狀態(tài)稱為狀態(tài)空間.無記憶性是下一狀態(tài)的概率分布，只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾科夫性.在馬爾科夫鏈的每一步，根據(jù)概率分布，可以從一個(gè)狀態(tài)變到另外一個(gè)狀態(tài)，也可以保持當(dāng)前狀態(tài).狀態(tài)的改變叫做轉(zhuǎn)移，與不同狀態(tài)改變相關(guān)的概率叫做轉(zhuǎn)移概率.

對(duì)于隨機(jī)變量序列Xn，已知第n小時(shí)的狀態(tài)Xn，如果Xn+1的隨機(jī)變化規(guī)律與前面的各項(xiàng)X1，X2，…，Xn-1的取值都沒有關(guān)系，那么稱隨機(jī)變量序列Xn具有馬爾科夫性.稱具有馬爾科夫性的隨機(jī)變量序列 Xn 為馬爾科夫鏈.

4 結(jié)束語

通過以上實(shí)例，對(duì)高中階段學(xué)生在具備邏輯思維的前提下將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)在實(shí)踐過程中不斷探索培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的新途徑，激發(fā)學(xué)生的自主探究熱情與積極性，切實(shí)提高學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng)，為學(xué)生的全面發(fā)展提供更加優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 舒彤.關(guān)于2020年高考理科數(shù)學(xué)Ⅰ卷概率題的研究：馬爾科夫鏈［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（12）：82-83.

［2］ 董慶華，王成偉.馬爾科夫鏈在高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果評(píng)價(jià)中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48（08）：314-320.

［責(zé)任編輯：李 璟］