一道2022年高中數學聯(lián)賽題的深入探究

摘 要：文章以一道2022年新疆賽區(qū)高中數學聯(lián)賽題為例，闡述對它的解法探究和拓展推廣，以期提升典型例題的效果和效益.

關鍵詞：數學聯(lián)賽題；解法探究；拓展推廣；命題背景；高考溯源

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）01-0063-04

收稿日期：2023-10-05

作者簡介：王東海（1974.12-），男，從事高中數學教學研究.

在競賽解題教學活動中，教師不應局限于對題目的具體解答和低水平重復訓練，而應引導學生對問題進行深層次的探究及引申，充分挖掘題目的內涵和外延，使學生能夠用更高的觀點去看待問題.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2022年新疆賽區(qū)高中數學聯(lián)賽10題）如圖1，已知△ABC內接于拋物線E：x2=y，且邊AB，AC所在的直線分別與拋物線M：y2=4x相切，F(xiàn)為拋物線M的焦點.

求證：邊BC所在直線與拋物線M相切.

4 結束語

這道聯(lián)賽題中，△ABC外接于拋物線x2=y，又內切于y2=4x，我們把這樣的圖形結構稱為彭賽列閉合.彭賽列閉合定理是1822年法國數學家彭賽列在其出版的著作中給出的，并且給出了嚴謹的證明.他認為，平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切于其中一條圓錐曲線且內接于另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內接的圓錐曲線上每一個點都是滿足這樣（切、內外接）性質的封閉多邊形的頂點，且所有滿足此性質的封閉多邊形的邊數相同.彭賽列閉合定理展示了基于圓錐曲線關系上的一種“群結構”關系——“彭賽列結構”，表示為：有一個滿足一種結構的關系存在，則所有滿足這種結構的關系都存在.如果從形象化的角度來理解，彭賽列閉合相當于一只跳蚤從外圓錐曲線某點出發(fā)，每次沿著向內圓錐曲線作出的一條切線跳到外圓錐曲線上的一個新起點，經過N次跳躍后回到了起點，形成了路徑閉合，且跳蚤的路徑是否閉合和它的起始位置無關.

另外，本道聯(lián)賽題考查的內接于拋物線且外切于另一條拋物線的三角形問題，以及拓展中探討的圓錐曲線的內接三角形的內切圓問題，都是屬于“彭賽列閉合定理”的特殊情況.考試中如果提前了解了彭賽列閉合定理，則能為解題指明方向.

參考文獻：

［1］ 林琳琳.變中不變 美在其中：以“圓錐曲線中動圓過定點”問題策略探析［J］.數理化解題研究，2022（22）：39-41.

［2］ G·波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法［M］.徐泓，減承天，譯.上海：科技教育出版社，2011.

［責任編輯：李 璟］