線性規(guī)劃常見題型及解法例析

? 安徽省蕪湖市南陵中學(xué) 汪珊珊

線性規(guī)劃問題是高考的必考內(nèi)容和熱點之一,主要考查在線性約束條件下的函數(shù)最值問題以及應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些實際問題;內(nèi)容涉及到了所有題型,其中選擇題和填空題的分值占6～8分,解答題中分值高達10～15分,其重要性可見一斑.所以,無論是在平時的學(xué)習(xí)還是高考備考中,我們都應(yīng)該注重學(xué)習(xí)和掌握線性規(guī)劃知識,強化解題訓(xùn)練,熟知常見題型及解題方法,這樣才能在考場上應(yīng)對自如地獲取高分,不斷提升自身的數(shù)學(xué)綜合能力.現(xiàn)將線性規(guī)劃常見的題型及解題的思路與方法歸納如下.

1 以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo),解決函數(shù)問題

A.20 B.18

C.13 D.6

解析：畫出不等式組對應(yīng)的可行域,如圖1所示.

圖1

當(dāng)動直線3x+4y-z=0過點A時,z有最大值.

故當(dāng)x=2,y=3時,zmax=3×2+4×3=18.

故選：B.

思路與方法：本題運用數(shù)形結(jié)合思想,采用了圖解法求最值,先在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域,然后平行移動直線z=3x+4y即可求出最大值.

思路與方法：本題根據(jù)已知的約束條件先在直角坐標(biāo)平面上作圖(畫出可行域和直線),然后把直線l向右上方平行移到l1,再通過解方程組得到點M的坐標(biāo),最后求出最小值.

2 轉(zhuǎn)化不規(guī)則圖形,利用公式求面積

解析：根據(jù)所給的不等式組作出可行域,如圖3所示.由圖3可知,△ABC的面積即為所求.易得

圖3

所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.

思路與方法：本題中的可行域是三角形,而這個不規(guī)則的三角形面積很難直接求解,于是將它看作梯形OMBC的一部分,利用梯形OMBC與梯形OMAC的面積之差即可得到△ABC的面積.這是把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決的思路.

思路與方法：本題中由于存在字母系數(shù),很多學(xué)生都感到一時無從下手,這時就需要運用轉(zhuǎn)化的思想,把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的正方形面積問題來解決.

3 建立對應(yīng)關(guān)系式,求參數(shù)的取值或范圍

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：因為直線x-my+1=0過定點(-1,0),根據(jù)x+y=z取最大值及另外兩個線性不等式大致作出可行域(如圖4所示),則平移直線x+y=0可知,z應(yīng)在點A處取最大值9.

圖4

又因為點A(4,5)在直線x-my+1=0上,所以m=1.

故選：C.

思路與方法：本題屬于線性問題中含有參數(shù),要求參數(shù)的取值問題.首先確定可行域,然后結(jié)合題意尋找符合條件的最優(yōu)解,建立相對應(yīng)的關(guān)系式(方程組)即可獲解.

4 用線性規(guī)劃解決實際問題

例6(2022年安徽省蕪湖市一中檢測卷)某百貨公司倉庫A存有貨物12 t,倉庫B存有貨物8 t,現(xiàn)按7 t,8 t和5 t把貨物分別調(diào)運給甲、乙、丙三個商場.從倉庫A運貨物到商場甲、乙、丙,運費分別為8元/t、6元/t、9元/t;從倉庫B運貨物到商場甲、乙、丙,運費分別為3元/t、4元/t、5元/t.問應(yīng)如何安排調(diào)運方案,才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少?

解析：(1)模型建立.設(shè)倉庫A運給甲、乙商場的貨物分別為xt,yt,則由表1可知倉庫A運給丙商場的貨物分別(12-x-y)t,從而倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為(7-x)t,(8-y)t,(x+y-7)t,于是總運費為z=8x+6y+9(12x-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.

表1 單位：元/t

(2)模型求解.作出上述不等式組表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖5所示.

圖5

作出直線l：x-2y=0,把直線l平行移動,顯然當(dāng)直線l移動到過點A(0,8)時,在可行域內(nèi)z=x-2y+126取得最小值zmin=0-2×8+126=110,則x=0,y=8時,總運費最少.

(3)模型應(yīng)用.安排的調(diào)運方案如下：

倉庫A運給甲、乙、丙商場的貨物分別為0t,8t,4t,倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為7t,0t,1t,此時,可使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少.

思路與方法：本題屬于實際問題中給定一項任務(wù),問怎樣統(tǒng)籌安排,使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源量最小的問題.解答這類問題的主要思路是運用轉(zhuǎn)化思想,通過設(shè)元,寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù),將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題來解決.

例7(2022年天津市大港區(qū)模擬試題)某公司計劃今年內(nèi)同時出售電子琴和洗衣機,由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大,有多少就能銷售多少,因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力等)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量,以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制因素的是資金和勞動力,通過調(diào)查,得到這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表2.

表2

試問：怎樣確定這兩種產(chǎn)品的月供應(yīng)量,才能使總利潤達到最大,最大利潤是多少?

圖6

將A(4,9)代入z=6x+8y,得

zmax=6×4+8×9=96.

所以當(dāng)月供應(yīng)量為電子琴4架、洗衣機9臺時,公司可獲得最大利潤是96百元.

思路與方法：本題是給定一定的人力、物力資源,問怎樣運用這些資源,使完成的任務(wù)量最大,收到的效益或利潤最大.解答這類問題時,首先要認真審題,明確約束條件中有無等號,未知數(shù)是否有限制等;其次是寫出線性約束條件及目標(biāo)函數(shù),然后作出可行域,在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解;最后將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實例中,設(shè)計出最佳方案.

綜上所述,線性規(guī)劃問題在實際生產(chǎn)和生活中應(yīng)用十分廣泛,解決線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法,它是數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)思想與方法的具體體現(xiàn).靈活運用線性規(guī)劃知識,可將一些抽象的、不熟悉的、難度較大的問題化為具體的、熟悉的、較簡單的問題來解決;學(xué)會并掌握這些解題思路與方法,能夠幫助我們快速、準(zhǔn)確地找到解決問題的突破口,有助于不斷提高數(shù)學(xué)綜合解題能力.