強(qiáng)化“三思維”,破解三角形

? 山東省東營(yíng)市第一中學(xué) 林 翠 劉德金

解三角形試題一直是歷年高考命題的基本考點(diǎn)與熱點(diǎn)問(wèn)題之一,有時(shí)以解答題的形式出現(xiàn),有時(shí)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),簡(jiǎn)單直觀,變化多端.此類問(wèn)題可以很好實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)之間的無(wú)縫鏈接,綜合體現(xiàn)“在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題”的高考命題指導(dǎo)思想,合理交匯與融合解三角形、函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何與平面解析幾何、基本不等式等相關(guān)知識(shí),備受命題者青睞.

1 真題呈現(xiàn)

圖1

2 真題剖析

此題以浙江卷所特有的特色——“兩空”形式展現(xiàn),通過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)引入,使得三角形“一分為二”,結(jié)合相關(guān)的邊長(zhǎng)與角度來(lái)巧妙設(shè)置,進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)與相應(yīng)角的余弦值問(wèn)題.

題目簡(jiǎn)單易懂,條件簡(jiǎn)明扼要,破解時(shí),可以從解三角形問(wèn)題的背景出發(fā),或借助解三角形思維來(lái)處理,或建立平直直角坐標(biāo)系結(jié)合坐標(biāo)法來(lái)運(yùn)算,或通過(guò)平面幾何來(lái)直觀推理與運(yùn)算等,都可以達(dá)到合理處理、巧妙破解的目的.

3 真題破解

思維視角一：解三角形思維.

方法1：“正弦定理+余弦定理”法.

所以∠BAM=90°,又M是BC的中點(diǎn),所以BM=CM=4,則有BC=8.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件,結(jié)合“已知兩邊與一邊的對(duì)角”選擇正弦定理來(lái)切入,求得對(duì)應(yīng)角的正弦值,并通過(guò)三角形的性質(zhì)確定對(duì)應(yīng)角,利用直角求得三角形一邊的長(zhǎng)度,再利用余弦定理求得第三邊的長(zhǎng)度,并確定對(duì)應(yīng)角的余弦值.巧妙借助正弦定理與余弦定理的聯(lián)合應(yīng)用來(lái)合理解決相關(guān)的解三角形問(wèn)題.

方法2：誘導(dǎo)公式法.

點(diǎn)評(píng)：在求得三角形第三邊長(zhǎng)度的情況下,通過(guò)正弦定理的轉(zhuǎn)化,并利用誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)角的余弦值.巧妙利用直角的轉(zhuǎn)化,通過(guò)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用來(lái)處理相應(yīng)三角形內(nèi)角的三角函數(shù)值.誘導(dǎo)公式法的應(yīng)用,是在特殊角的背景下才可以實(shí)現(xiàn)的.

方法3：余弦定理法.

解析：在△ABM中,由余弦定理,得

AM2=BA2+BM2-2BA·BMcos 60°.

由于M是BC的中點(diǎn),因此MC=4,BC=8.

在△AMC中,由余弦定理,得

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件,結(jié)合“已知兩邊與一邊的對(duì)角”選擇余弦定理來(lái)切入,建立對(duì)應(yīng)的方程來(lái)求得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度,利用中點(diǎn)關(guān)系求得三角形一邊的長(zhǎng)度,再利用余弦定理求得第三邊的長(zhǎng)度,并確定對(duì)應(yīng)角的余弦值.巧妙借助余弦定理來(lái)綜合處理形式各樣的解三角形問(wèn)題,方程思想的應(yīng)用有助于簡(jiǎn)化解題過(guò)程,提升解題效益.

思維視角二：坐標(biāo)思維.

方法4：坐標(biāo)法.

圖2

設(shè)M(t,0)(t>0),則有AM2=(t-1)2+3=12,解得t=4或-2(舍去),所以M(4,0).結(jié)合M是BC的中點(diǎn),可得C(8,0).

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的建立,結(jié)合條件確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)并設(shè)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)系式確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而確定所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)中點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求得三角形第三邊的長(zhǎng)度,并利用平面向量的數(shù)量積公式的變形來(lái)求解對(duì)應(yīng)角的余弦值.借助坐標(biāo)法,通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決對(duì)應(yīng)的解三角形問(wèn)題,對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求較高.

思維視角三：平面幾何思維.

方法5：幾何法.

圖3

在△ABM中,利用余弦定理有AM2=BA2+BM2-2BA·BMcos 60°.

由于AB2+AM2=BM2,因此∠BAM=90°,則有MN⊥AM.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)平面幾何圖形的數(shù)形直觀,取相應(yīng)邊的中點(diǎn),利用三角形的中位線定理確定對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度,結(jié)合“已知兩邊與一邊的對(duì)角”選擇余弦定理來(lái)切入,建立對(duì)應(yīng)的方程求得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度;通過(guò)三角形中三邊長(zhǎng)滿足勾股定理確定垂直關(guān)系,進(jìn)而結(jié)合平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系,確定對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度,進(jìn)而求得三角形第三邊的長(zhǎng)度,并利用直角三角形中三角函數(shù)的定義求解對(duì)應(yīng)邊的余弦值.借助幾何法,合理添加輔助線,直觀形象,通過(guò)平面幾何知識(shí)來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,邏輯推理能力強(qiáng).

4 教學(xué)啟示

解決解三角形問(wèn)題最常見(jiàn)的思維方式主要包括以下三種：

(1)解三角形思維,借助正弦定理、余弦定理以及三角形的基本性質(zhì)、面積公式等加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.用此思維破解問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理、余弦定理等合理溝通三角形的邊與角的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化,或解方程,或解三角函數(shù)等,借助代數(shù)運(yùn)算,進(jìn)行必要的邏輯推理與代數(shù)運(yùn)算等處理.

(2)坐標(biāo)思維,借助平面直角坐標(biāo)系的建立,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.合理構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,把三角形放置其中,通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)的確定、向量的坐標(biāo)的建立、直線方程的表示等,合理轉(zhuǎn)化,或利用距離公式、夾角公式等來(lái)轉(zhuǎn)化相應(yīng)的長(zhǎng)度、角的大小問(wèn)題,將幾何問(wèn)題抽象為純代數(shù)問(wèn)題,利用平面解析幾何或平面向量的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理.

(3)平面幾何思維,借助平面幾何的直觀形象性加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.合理構(gòu)建平面幾何圖形中的邊、角、線段等,添加相應(yīng)的輔助線,通過(guò)平面幾何的相關(guān)知識(shí)來(lái)轉(zhuǎn)化邊、角關(guān)系,以初中平面幾何知識(shí)交匯高中三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí),合理邏輯推理,巧妙代數(shù)運(yùn)算,綜合處理與巧妙應(yīng)用.