不等式情境,函數(shù)性視角
——一道不等式存在性問題的探究

? 江蘇省宿遷中學(xué) 蔣玉飛

含參不等式的存在性問題是高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類綜合應(yīng)用問題,經(jīng)常交匯融合函數(shù)與不等式的相關(guān)知識,場景變化多端,形式創(chuàng)新多變,是知識綜合與創(chuàng)新應(yīng)用的一個重要載體.此類問題經(jīng)常借助含參不等式的合理恒等變形與等價轉(zhuǎn)化,綜合利用不等式的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,從函數(shù)的視角來分析,借助函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象等來處理與應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)問題的巧妙解決.

1 問題呈現(xiàn)

問題(山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測評2022年12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·16)若存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

此題結(jié)合含參不等式存在性問題的創(chuàng)新設(shè)置,以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式作為基本載體,結(jié)合對應(yīng)參數(shù)的取值范圍的求解來創(chuàng)設(shè)問題.

在實(shí)際分析與解決該問題時,從含參不等式入手進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化,通過不等式的基本性質(zhì)加以等價變形與應(yīng)用,借助同構(gòu)函數(shù)思維或函數(shù)的隱零點(diǎn)思維等視角來切入,展示靈活多變的解法與應(yīng)用.

2 問題破解

2.1 思維視角一：同構(gòu)函數(shù)思維

方法1：同構(gòu)法1.

解析：依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

同構(gòu)函數(shù)f(x)=xex,x∈(0,+∞),求導(dǎo)有f′(x)=(x+1)ex>0恒成立.

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)>0.

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)≥g(1)=e,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).故填答案：(e,+∞).

方法2：同構(gòu)法2.

解析：依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

因?yàn)閤>0,所以ex>1.又aln(ax)>ex>0,且a>0,所以ax>1.

同構(gòu)函數(shù)f(x)=xlnx,x∈(1,+∞),求導(dǎo)有f′(x)=lnx+1>0恒成立.

所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).

故填答案：(e,+∞).

方法3：同構(gòu)法3.

解析：依題意知a>0.

同構(gòu)函數(shù)f(x)=ex+x,易知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.

所以只需x-lnax-lnx成立.

所以當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)>0.

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)≥g(1)=e,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).故填答案：(e,+∞).

解后反思：根據(jù)題設(shè)中不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化,合理配湊不等式,使得不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征相類似,從不同思維視角尋找同型、同構(gòu)函數(shù),結(jié)合參數(shù)的分離,以及函數(shù)單調(diào)性與最值的確定,巧妙求解參數(shù)的取值范圍問題.不同視角的恒等變形,尋找共性,配湊同型,對應(yīng)同構(gòu)不同的函數(shù),都可以達(dá)到解決問題的目的.

2.2 思維視角二：隱零點(diǎn)思維

方法4：帶參討論法.

解析：依題意知a>0,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx

構(gòu)建函數(shù)f(x)=ex-alnx-alna,x∈(0,+∞),則只需f(x)min<0即可.

令函數(shù)g(x)=xex-a(x>0),求導(dǎo)有g(shù)′(x)=(x+1)ex>0恒成立,所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x→0時,g(x)→-a<0;當(dāng)x→+∞時,g(x)→+∞.

所以,當(dāng)x∈(0,x0)時,g(x)<0,則f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g(x)>0,則f′(x)>0.

因此函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

因此f(x)min=2a-2alna<0,即1-lna<0,解得a>e.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+∞).

故填答案：(e,+∞).

解后反思：根據(jù)題設(shè)將不等式存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于0的問題,實(shí)現(xiàn)不等式問題函數(shù)化,進(jìn)而結(jié)合含參函數(shù)的構(gòu)建與求導(dǎo)處理,通過確定函數(shù)的隱零點(diǎn),利用代換思維確定函數(shù)的最小值,進(jìn)而確定相應(yīng)的不等式,為求解參數(shù)的取值范圍打下基礎(chǔ).此類利用函數(shù)的隱零點(diǎn)思維來處理的問題,解題時優(yōu)化隱零點(diǎn)的取值范圍是關(guān)鍵,也是破解問題的重點(diǎn)之一.

3 變式拓展

根據(jù)以上問題的“一題多解”,進(jìn)一步加以發(fā)散思維,開拓方法,鞏固相關(guān)的基礎(chǔ)知識與基本方法,進(jìn)行“一題多變”.

變式如果存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)e2x

解析：構(gòu)建函數(shù)f(x)=(x+a)e2x-a(x>0),則有f(0)=0.

依題意,存在x∈(0,+∞),使得不等式(x+a)·e2x

求導(dǎo),有f′(x)=(2x+2a+1)e2x.

4 教學(xué)啟示

4.1 思維方法總結(jié),技巧策略歸納

破解此類含參不等式存在性問題的參數(shù)的值、取值范圍或最值等相關(guān)問題中,常用的技巧方法就是從函數(shù)視角切入,結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來分析與處理.常見的技巧策略主要有以下幾類：

(1)帶參討論.合理分類討論,利用函數(shù)的隱零點(diǎn)方程代換確定相關(guān)的最值,解題時注意優(yōu)化函數(shù)隱零點(diǎn)的取值范圍及等價轉(zhuǎn)化.

(2)合理構(gòu)造函數(shù).經(jīng)常借助不等式的恒等變形,尋找不等式兩邊對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式結(jié)構(gòu)特征中的共性與同型,巧妙同構(gòu)函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性以及參變分離法等來綜合與求解.

(3)合理分離參數(shù).主要針對能夠分離出對應(yīng)參數(shù)的相關(guān)問題,一般在等式或不等式的一邊只含有參數(shù),另一邊是基本初等函數(shù)或?qū)?yīng)的復(fù)合函數(shù),進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合等直觀思維求解.

4.2 倡導(dǎo)“一題多解”,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

“一題多解”對學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)有著重要影響,教師應(yīng)注重將“一題多解”的意識滲透到數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)中.借助“一題多解”,從不同角度進(jìn)行解法探究,讓學(xué)生在解題探究中感悟數(shù)學(xué)思想方法之美,同時結(jié)合“一題多變”,達(dá)到“一題多得”“一題多思”等良好效果,培養(yǎng)思維的發(fā)散性與開拓性,全面開拓視野,提升數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)核心素養(yǎng).