基于數(shù)學命題方式,實現(xiàn)問題價值提升

? 江蘇省海門中學 李 玲

數(shù)學試題的命題,是數(shù)學教學過程中一項重要而又嚴謹?shù)墓ぷ?在一定程度上體現(xiàn)數(shù)學教師與教研員等對數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學思想方法等的提煉程度,以及自身所具備的一定數(shù)學專業(yè)水平等,具有一定的技術(shù)與技巧.這往往也在一定程度上展示數(shù)學教師與教研員等的一項基本能力與水平.

數(shù)學試題的命題,往往是一個反復琢磨、不斷修改的復雜過程.而這些典型的數(shù)學試題,特別是高考真題、競賽題、模擬題等優(yōu)秀的試題,往往都不是憑空生造出來的,可能是依托某種問題情境或借助某個核心概念,也可能是源于相應(yīng)的經(jīng)典問題等,巧妙通過合理改編、創(chuàng)新包裝、巧妙拓展、知識構(gòu)建等多種形式來創(chuàng)設(shè),或新舊結(jié)合,或喬裝打扮,或移花接木,或推倒重建等,手段翻新,創(chuàng)新應(yīng)用,再進一步加以合理的修改與完善,才有平時見到的高質(zhì)量的數(shù)學試題.

本文以模擬題中的一些典型試題為例,結(jié)合數(shù)學命題的幾種常見方式,如合理改編、創(chuàng)新包裝、巧妙構(gòu)建等,并結(jié)合實例剖析數(shù)學實際命題的一些操作方法與技巧策略,拋磚引玉.

1 合理改編

根據(jù)已有的試題(教材的例習題、高考真題等),結(jié)合教學的需要與學生的實際情況等,從挖掘問題背景、融合數(shù)學知識,提煉思想方法,優(yōu)化解題策略、展示問題價值等層面入手,合理加以改編,借助試題背景的觀察、知識點的延伸以及變式的推廣等方式,深化對相關(guān)基礎(chǔ)知識的理解與掌握,拓展良好的數(shù)學思想方法與解題技巧策略.

合理改編的題源往往是教材的典型例(習)題、往屆的高考真題以及以往比較典型的高考模擬題等.這些問題都是數(shù)學專家、數(shù)學教師等智慧的結(jié)晶以及勞動成果的展示.

例1(2024屆山東省濟南市高三上學期開學摸底考試·16)若函數(shù)f(x)=|(1-x2)(x2+ax+b)|-c(c≠0)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,且f(x)有且僅有4個零點,則a+b+c的值為______.(答案：39.)

以上高考模擬題改編自2013年高考數(shù)學全國新課標Ⅰ卷中的試題,在高考真題的基礎(chǔ)上進一步構(gòu)造絕對值的問題場景,同時引入第三個參數(shù)變量,并巧妙融入函數(shù)的零點,進而借助三個參數(shù)變量的和式的值來創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用.

鏈接高考(2013年新課標Ⅰ卷理科·16)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為______.(答案：16.)

以一道高考真題的熟悉場景,巧妙與其他相關(guān)的函數(shù)知識加以交匯,從“雙變量”的函數(shù)應(yīng)用問題改編成以上“三變量”的函數(shù)綜合問題,很好實現(xiàn)對數(shù)學“四基”的把握情況與數(shù)學能力的全面考查,是一道非常不錯的改編題,值得很好深入研究、細細品鑒.

當然,基于原問題,還可以從不同思維視角與研究層面加以進一步的改編,實現(xiàn)變式應(yīng)用與拓展.

變式1若函數(shù)f(x)=|(1-x2)(x2+ax+b)|-c的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,且f(x)有且僅有4個零點,則a+b+c的值為______.(答案：23或39.)

變式2若函數(shù)f(x)=|(1-x2)(x2+ax+b)|-c的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,且f(x)有且僅有7個零點,則a+b+c的值為______.(答案：32.)

借助問題的合理改編,回歸數(shù)學本質(zhì),立足數(shù)學基礎(chǔ),巧妙引領(lǐng)并指導數(shù)學教學與學習,進而充分體現(xiàn)數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學思想方法以及數(shù)學能力等方面的有機聯(lián)系.而此數(shù)學命題的改編,也充分說明教學與學習離不開數(shù)學教材與課程標準要求,考查知識、方法與能力的試題都源于教材(往年高考真題)意料之外,植于教材(往年高考真題)情理之中,高于教材(往年高考真題)能力之上.

2 創(chuàng)新包裝

對考生的數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學思想方法和數(shù)學能力等方面的考查,往往是基于數(shù)學試題來達到目的.而在具體數(shù)學命題時,有時對核心考點的考查是直接展示,而有時對核心考點的考查是通過創(chuàng)新包裝來實現(xiàn)的.

而對于創(chuàng)新包裝的數(shù)學試題,就要全面剖析題設(shè)條件,挖掘題目的條件與內(nèi)涵,直擊核心考點的本質(zhì),撕開創(chuàng)新的“包裝”外表,直達核心知識,進而利用相關(guān)的數(shù)學知識來分析與應(yīng)用,得以分析與解決問題.

圖1

點評：該題以三角形為載體,結(jié)合三角形的基本性質(zhì)以及平面向量的數(shù)量積等創(chuàng)設(shè),包裝創(chuàng)新新穎,而實質(zhì)是考查解三角形與函數(shù)的應(yīng)用等.如何從創(chuàng)新包裝場景上逐步展開,合理構(gòu)建涉及三角形內(nèi)角的函數(shù)值的表達式,進而借助函數(shù)的基本性質(zhì)來分析相應(yīng)的取值范圍問題.與創(chuàng)新包裝形式來設(shè)置命題,交匯融合知識,進而開拓數(shù)學品質(zhì),鞏固數(shù)學“四基”與創(chuàng)新應(yīng)用.

借助創(chuàng)新形式或創(chuàng)新包裝的一些數(shù)學試題,融入更多的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用,有時還增加相應(yīng)的閱讀理解等方面的知識,令人耳目一新,更能考查考生的綜合能力.

3 巧妙構(gòu)建

源于應(yīng)用情境的構(gòu)建、問題背景的創(chuàng)設(shè)等是數(shù)學命題的一個重要設(shè)置模式,綜合數(shù)學建模與數(shù)學應(yīng)用,展示數(shù)學學習過程中,對數(shù)學問題的了解與認識、處理與解決等過程中經(jīng)常用到的一種技巧與方法.

特別是一些基于數(shù)學文化、現(xiàn)實生活等應(yīng)用場景創(chuàng)設(shè)問題,要從問題場景中合理且巧妙構(gòu)建對應(yīng)的數(shù)學知識,利用數(shù)學的語言(包括數(shù)學定義與數(shù)學公式等)來表達,進而結(jié)合相關(guān)的數(shù)學知識來分析與解決對應(yīng)的數(shù)學問題.

圖2

(2)證明：AD·BC+AB·CD≥BD·AC.(略)

點評：基于數(shù)學文化的應(yīng)用場景,借助數(shù)學建模,巧妙構(gòu)建解三角形問題,是解決該問題的關(guān)鍵所在.在解決此類涉及數(shù)學文化、現(xiàn)實生活等應(yīng)用場景問題時,正確閱讀理解,挖掘問題內(nèi)涵,構(gòu)建數(shù)學模型,開拓數(shù)學思維,綜合數(shù)學知識,進而處理應(yīng)用等.

巧妙創(chuàng)設(shè)或構(gòu)建數(shù)學模型,要加以合理引導與知識過渡.在這一過程中,合理引導考生建立起與問題相吻合的數(shù)學模型,綜合數(shù)學概念的掌握、數(shù)學知識的理解以及數(shù)學模型的應(yīng)用來達到目的,實現(xiàn)考核與區(qū)分的目的.

在實際數(shù)學命題時,命題有法,又無定法,不是一成不變的.而在實際教學與學習過程中,不斷提高數(shù)學試題的命題水平是數(shù)學教師與教研員所追求的目標之一,需要在日常教學與解題研究過程中不斷積累各方面的素材,開拓知識面,理解更多的知識,構(gòu)筑一個更寬廣的知識基礎(chǔ),同時用心琢磨高考真題、教材例題(或習題)、?？荚囶}等相應(yīng)好題的命制思路,不停反思,不斷實踐,不斷修改,不斷反饋,逐步提升.