數(shù)山探路悟法理 學(xué)海駕舟求真知
——關(guān)于一道導(dǎo)數(shù)壓軸題的命制與思考

? 北京師范大學(xué)未來教育學(xué)院 廣東省廣州市藝術(shù)中學(xué) 吳景峰

1 新題呈現(xiàn)

2023年高中數(shù)學(xué)命題比賽中,筆者受華南師范大學(xué)吳康教授將2022年新高考Ⅰ卷第22題拓展到四個交點情形的啟發(fā),通過對高考原題進(jìn)行改編,命制了如下一道導(dǎo)數(shù)壓軸題.

(1)求a;

本題的題源是2022年新高考Ⅰ卷第22題,主要涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的綜合性應(yīng)用、函數(shù)與方程、基本不等式等知識,研究了函數(shù)的最值、零點等問題,考查了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想及邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

2 命制過程

2022年新高考導(dǎo)數(shù)壓軸題頗有新意,以零點構(gòu)成等差數(shù)列的新穎方式設(shè)問,考查創(chuàng)新思維.筆者發(fā)現(xiàn)類似的試題不常見,于是在此基礎(chǔ)上對指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的常見組合函數(shù)作進(jìn)一步探究,改編出此題及一些變式訓(xùn)練題.

疑問：同樣具備同構(gòu)關(guān)系的函數(shù)是否也有類似性質(zhì)?于是在探究的過程中確定了命題方向,同時總結(jié)了改編命制試題的三個步驟,本次命題即按如下三步進(jìn)行.

2.1 類比推廣,初步改編

對題源的結(jié)論進(jìn)行推廣后,再通過類比,改變條件得到新結(jié)論,從而對題源進(jìn)行改編.由此命制的第一稿試題如下：

說明：最初的改編稿,類比原題,對于接觸過原題的學(xué)生沒有太大新意,于是作進(jìn)一步改編.

2.2 探究加工,深度改編

在初步改編的基礎(chǔ)上,對試題作進(jìn)一步探究,深挖出試題的本質(zhì),深度加工試題的條件和結(jié)論.由此命制的第二稿試題如下：

說明：把題目作更深一步拓展,但結(jié)論不夠優(yōu)美簡潔,于是作進(jìn)一步優(yōu)化.

第三稿試題如下：

說明：題目基本定稿,下一步是拓展試題的寬度,嘗試加入一些新元素.

2.3 構(gòu)建情境,創(chuàng)新改編

高考數(shù)學(xué)情境包括多種情境,如學(xué)習(xí)再現(xiàn)情境、學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)情境、綜合聯(lián)想情境、拓展遷移情境及模型識別情境等[1],在命題時,可以構(gòu)建適當(dāng)?shù)那榫?把問題嵌入其中.本文的最終稿試題即在此啟發(fā)下命制出來.

說明：在第三稿試題的基礎(chǔ)上,以“結(jié)構(gòu)不良試題”形式引進(jìn)其他常見函數(shù),構(gòu)建模型識別情境,并對結(jié)論作進(jìn)一步改編,得到前文的最終試題.

3 試題分析與解答

3.1 第(1)問的分析與解答

通過分析,第(1)問的思維導(dǎo)圖如圖1.

圖1

本題第(1)問的解答過程如下：

點評：此問知識點源于人教A版數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第二冊第五章5.3節(jié),解法較常規(guī).

3.2 第(2)問的分析與解答

第(2)問,先結(jié)合方程與根的知識,如圖2分析零點個數(shù)問題;再聯(lián)想基本不等式將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即證明x1x4=x2x3,可得如圖3所示的思維導(dǎo)圖.

圖2

圖3

由上分析,本題第(2)問有三種證明方法,解答過程可掃碼查看.

4 試題測試數(shù)據(jù)與分析

本題用在高三的周測進(jìn)行測試,該校生源屬中等水平.試題滿分12分,該測試題平均分1.44,難度系數(shù)0.12,區(qū)分度0.1,由于周測套題的難度較大,能做到本題的學(xué)生較少.學(xué)生出現(xiàn)的問題主要有：①運算基礎(chǔ)不扎實,如第(1)問帶參求導(dǎo)出錯、忽略定義域的限制等.②解題不夠嚴(yán)謹(jǐn).如第(2)問的四個零點,只考慮了其中一種而忽略了另一種;又如直接寫出a=1,沒有過程.③轉(zhuǎn)化能力不強,沒把零點問題轉(zhuǎn)化出來,導(dǎo)致找不到解題方向.因此,暴露了學(xué)生思維和運算等方面存在的問題.

5 反饋練習(xí)

由于得分情況并不理想,因此在反饋練習(xí)中,可給學(xué)生搭建支架,讓學(xué)生“跳一跳,夠著桃”.

練習(xí)1(山東省淮坊市2023屆高三10月模擬試題第11題改編)已知函數(shù)f(x)=ex+x-2和g(x)=lnx+x-2的零點分別為x1,x2.

(1)證明：x1+x2=2;

(2)證明：x1lnx2+x2lnx1<0;

(4)證明：x2lnx2-x1lnx1<2.

練習(xí)2(深圳部分學(xué)校2023屆高三年級9月份大聯(lián)考數(shù)學(xué)第22題)已知a>0,函數(shù)f(x)=xex-a,g(x)=xlnx-a.

(1)證明：函數(shù)f(x),g(x)都恰有一個零點;

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x1,g(x)的零點為x2,證明x1x2=a.

練習(xí)3已知函數(shù)f(x)=ex-a(x-2)2,a>0,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性,設(shè)f′(x)的最小值為m,并求證：m≤e2;

(2)若f(x)有三個零點,求a的取值范圍.

說明：三道習(xí)題層層遞進(jìn),適合學(xué)后反饋練習(xí).

6 試題的變式推廣

在學(xué)生學(xué)有余力的情況下,教師可引導(dǎo)學(xué)生對其他常見函數(shù)作進(jìn)一步探究,從而把本試題進(jìn)一步變式推廣,得到如下結(jié)論.

結(jié)論1函數(shù)f(x)=ex+x-b和g(x)=lnx+x-b有：(1)二者具有同構(gòu)關(guān)系f(lnx)=g(x),g(ex)=f(x);(2)函數(shù)y=f(x),y=g(x)共有兩個不同的零點,記為x1,x2,且x1+x2=b.

結(jié)論3函數(shù)f(x)=xex-b和g(x)=xlnx-b有：(1)符合結(jié)論1的同構(gòu)關(guān)系,且二者有相同的最小值;(2)若函數(shù)y=f(x),y=g(x)共有兩個不同零點,記為x1,x2,則x1x2=b;(3)若函數(shù)y=f(x),y=g(x)共有四個不同零點,由小到大記為x1,x2,x3,x4,則x1x3=x2x4=b.

說明：這些素材,可結(jié)合前文中改編命制試題的三步驟,命制新的試題,也可給學(xué)生探究.

7 結(jié)束語

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“出題比做題更難,題目要出得妙,出得好,要測得出水平.”命題是一次由內(nèi)而外的工作,是一個將解題引向深人的研究過程.本次命題比賽,除了享受過程,筆者體驗了一回“確定考查目標(biāo)、選擇恰當(dāng)背景、構(gòu)造試題雛形、打磨形成試題”的過程[2],更重要的是發(fā)現(xiàn)自身不足.今后,筆者將以命制出富有創(chuàng)新、讓師生津津樂道的新題為目標(biāo)不斷學(xué)習(xí),繼續(xù)努力.