研讀高考試卷的三個(gè)層次

? 廣東省珠海市第二中學(xué) 江民杰

一份高考試卷,就像一輪月亮.

1 層次一：初讀如漫步中散心觀月

初讀高考試卷,就如漫步中散心觀月.研讀試卷,首先關(guān)注的是題型、分值,壓軸題所涉及的內(nèi)容,難度大不大?題目如何求解?一份試卷讀完,也只是似曾相識(shí),這就是初讀.

初讀,就是讀取題目的外部,獲取相關(guān)信息,形成初步認(rèn)識(shí).

1.1 讀點(diǎn)

讀點(diǎn)就是研讀出試卷所涉及的知識(shí)(核心知識(shí)點(diǎn))、技能及通性通法,感悟所涉及的“通性通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想”.

1.2 讀線

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四條主線,它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程.研讀高考數(shù)學(xué)試卷,應(yīng)該圍繞這四條主線,讀出新課程背景下考試評(píng)價(jià)是如何圍繞這四條主線展開的.

對(duì)于第(1)問,有兩種思路.

思路1：利用三角形內(nèi)角關(guān)系處理(利用倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出角B,過程略).

思路2：結(jié)合同構(gòu),利用函數(shù)單調(diào)性處理.

解法如下：

對(duì)于第(2)問,也有兩種思路.

思路1：利用正(余)弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論(過程略).

思路2：構(gòu)造圖形,利用余弦定理、基本不等式即可得出結(jié)論.

圖1

在△BMC中,由余弦定理,得

經(jīng)過研讀,發(fā)現(xiàn)本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、正弦定理、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等;涉及教材四條主線中的三條主線,如：函數(shù)、幾何與代數(shù)、數(shù)學(xué)建模.

初讀試卷,就是要圍繞四條主線,理解相關(guān)概念、命題、定理之間的邏輯關(guān)系,提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法,領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想,初步建立網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu);能夠用圖形探索解決問題的思路,形成數(shù)形結(jié)合思想.

2 層次二：再讀如庭院中駐心賞月

再讀高考試卷,如站在庭院中,抬頭仰望,明月當(dāng)空,一覽無余,駐心賞月.隨著研讀的深入,對(duì)試卷的理解才能愈發(fā)深刻,進(jìn)入第二層次,這就是再讀.

再讀,就是對(duì)讀取的信息進(jìn)行深加工.如,考什么(試題的布局、內(nèi)容、結(jié)構(gòu))?怎么考(主干知識(shí)重點(diǎn)考)?試題命制的風(fēng)格及走向?

2.1 讀面

四條主線,線線相交,或點(diǎn)線(知識(shí)點(diǎn)與主線)布排,形成試題的布局、結(jié)構(gòu),這就是面.數(shù)學(xué)高考卷加強(qiáng)對(duì)主干內(nèi)容的考查,強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)性,為此,需要讀面,強(qiáng)化對(duì)試卷的整體認(rèn)識(shí).

讀面,就是研讀出試卷所考查的主干知識(shí),各知識(shí)模塊所占分值比例,各知識(shí)點(diǎn)的組合方式,考查方式,等等.近年來數(shù)學(xué)試卷在選擇題、填空題、解答題等不同題型中都加強(qiáng)了對(duì)主干知識(shí)的考查,意在增強(qiáng)學(xué)生對(duì)主干知識(shí)深層次的認(rèn)識(shí)和理解,引導(dǎo)學(xué)生更好地感悟數(shù)學(xué)本質(zhì).

2.2 讀體

讀體,就是讀出層次.高考試卷有較好的區(qū)分度,同一份試卷,同一道試題,能夠分層考查不同的學(xué)生.對(duì)同一道試題,我們要讀出不同的解法,讀出思維層次的高低.

思路1：直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式,通過解方程求解,但運(yùn)算量大.該方法屬于第一層次.

思路2充分挖掘條件,抓住等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征求解,運(yùn)算量減小,該方法層次較高.

2.3 讀脈

“脈”是指試題命制的走向.研讀高考試題,要研究命題走向,關(guān)注近年來一類問題的命題方向,即從歷年試題到新近試題的近遷移,再到大概念的遠(yuǎn)遷移.

對(duì)于同構(gòu)問題,近年來,高考題中主要有三種類型的同構(gòu)題型.

題型1：結(jié)構(gòu)相同(近)要同構(gòu).如2020年全國卷Ⅰ理科第12題.

題型2：“指對(duì)”跨界尋同構(gòu).如2022年新高考Ⅰ卷第22題第二問.

題型3：從無到有湊結(jié)構(gòu).

有些題目涉及的式子并不像以上提到的和(差)型或者積(商)型一樣明顯,而是將原先左右同構(gòu)的格式隱藏了起來,此類題型大大提升了解題難度,但通過對(duì)比發(fā)現(xiàn),可以適當(dāng)配湊,實(shí)現(xiàn)原先的同構(gòu)格式.

例3(2020新高考Ⅰ卷第22題第二問)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

分析：f(x)=aex-1-lnx+lna=eln a+x-1-lnx+lna≥1等價(jià)于eln a+x-1+lna+x-1≥lnx+x=eln x+lnx.令g(x)=ex+x,則上述不等式等價(jià)于g(lna+x-1)≥g(lnx).又g(x)為增函數(shù),所以lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.令h(x)=lnx-x+1,易求得h(x)max=h(1)=0,所以lna≥0,即a≥1.故a的取值范圍是[1,+∞).

同構(gòu)的本質(zhì)就是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.近年來,同構(gòu)的內(nèi)容涉及面廣,如式的運(yùn)算、大小比較、函數(shù)零點(diǎn)、不等式(等式)的證明、求參數(shù)的取值范圍等,而且題目的綜合性逐步增強(qiáng)(2020年的大小比較到2022年的函數(shù)零點(diǎn)),同構(gòu)的技術(shù)含量也在增多,要求學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察、運(yùn)算和分析能力.同構(gòu)思想突破常規(guī)思路,為解題帶來了新的思路、新的方法、新的視野.

3 層次三：三讀如水面上凈心玩月

三讀高考試卷,我們對(duì)試題的認(rèn)識(shí)(題目的解法、題目的源頭)逐步通透,認(rèn)識(shí)通透了,指導(dǎo)學(xué)生時(shí)方可得心應(yīng)手,如天上一個(gè)月亮,水中一個(gè)月亮,我們可以出神入化地玩月.三讀,就是要讀出命題人設(shè)置試題的意圖與解題人對(duì)試題認(rèn)識(shí)上的差異,只有找到差異,反思自己,才能找出方向,明確目標(biāo),這就是三讀.

三讀,就是要讀出試題的情境(題目怎么處理),讀出試題命制時(shí)的思維軌跡及背景(題目怎么來);三讀,就是對(duì)題目的處理做到出神入化,能解題知背景.

3.1 讀情境

情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境.

研讀數(shù)學(xué)試題,要能在問題情境中,把握研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征,抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì),形成解決問題的思路,其關(guān)鍵在于閱讀.

讀懂試題情境必須突破題意閱讀關(guān),捕捉題中的關(guān)鍵信息;對(duì)信息加工,得到數(shù)據(jù)所提供的知識(shí)和規(guī)律,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言,清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)論證和數(shù)學(xué)建模的過程和結(jié)果;通過數(shù)學(xué)建模的結(jié)論和思想闡釋科學(xué)規(guī)律和社會(huì)現(xiàn)象;能夠合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和思維進(jìn)行跨學(xué)科的表達(dá)與交流,這是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重要著力點(diǎn).

圖2

解讀情景：直三棱柱ABC-A1B1C1中,由題目所給條件分析出AB=BC=AA1=2,進(jìn)一步得到該直三棱柱就是由正方體分解而來,因此可在正方體的情境下處理問題.其過程如下：

圖3

分析各條件間的關(guān)聯(lián),將直三棱柱ABC-A1B1C1置于正方體中,其過程就是數(shù)學(xué)建模,在正方體的情境下處理,解題過程變得簡(jiǎn)單.

能在復(fù)雜情境中,理出問題產(chǎn)生的數(shù)學(xué)情境,進(jìn)而優(yōu)化解題過程,這應(yīng)該是我們?nèi)x試題的追求之一.

3.2 讀背景

背景是指命制試題時(shí)產(chǎn)生問題的大背景及命題人的思維軌跡.研讀高考試題,面對(duì)學(xué)生,我們不僅僅是指導(dǎo)學(xué)生解題,還要追尋數(shù)學(xué)試題的命題背景及思維軌跡,挖掘試題所潛藏的教育資源,引領(lǐng)學(xué)生高觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)試題,認(rèn)清數(shù)學(xué)試題的大背景,掌握研究方法,學(xué)會(huì)在大背景下思考問題,拓展思維.

(1)求C的方程;

背景初析：設(shè)圓錐曲線C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0,過點(diǎn)P(x0,y0)的直線l,m的傾斜角分別為α,β,其斜率分別為k1,k2,直線l,m分別與圓錐曲線C交于A,B與C,D,則

證明：略.

四點(diǎn)共圓背景再析：根據(jù)上述結(jié)論的推導(dǎo)過程,結(jié)合平面幾何知識(shí),可發(fā)現(xiàn)圓錐曲線以下性質(zhì).

性質(zhì)1：設(shè)直線AB,CD的斜率存在且不等于0,若AB,CD是圓錐曲線的兩條相交弦,交點(diǎn)為P,則

(1)兩弦AB,CD的傾斜角互補(bǔ)的充要條件是A,B,C,D四點(diǎn)共圓;

(2)兩弦AB,CD的傾斜角互補(bǔ)的充要條件是|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

性質(zhì)2：設(shè)直線AB,CD,AD,BC的斜率存在且不等于0,若AB,CD是圓錐曲線的兩條相交弦,且AB,CD的傾斜角互補(bǔ),則AD,BC的傾斜角也互補(bǔ).

性質(zhì)3：設(shè)A,B,C是圓錐曲線上的三點(diǎn),且直線BC的斜率存在,若AB,AC的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補(bǔ)),則直線BC的斜率與曲線在點(diǎn)A處的切線斜率互為相反數(shù).

以此背景的試題,如2022年新高考Ⅰ卷第21題.

讀試題背景,更多的是讀出知識(shí)背景(高等數(shù)學(xué)背景)或命制背景,僅用于明確問題處理方向,而問題的處理只能在中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)解決.作為數(shù)學(xué)教師,對(duì)試題背景應(yīng)該有深刻的認(rèn)識(shí),認(rèn)清數(shù)學(xué)試題的大背景,教會(huì)學(xué)生在大背景下思考問題.

三讀高考試題,就是從課標(biāo)的理念、思想、要求來研讀,并在此基礎(chǔ)上把握教學(xué),這種處理,就是站在與高考命題專家思想相通的平臺(tái)上,這樣教育教學(xué)將變得更有效、更得力、更自如.我們從觀月到賞月,再到玩月,隨著研讀的深入,對(duì)試題的認(rèn)識(shí)逐漸出神入化,這既需要較強(qiáng)的專業(yè)知識(shí),更需要對(duì)教育的情懷!