“概率統(tǒng)計(jì)”的復(fù)習(xí)備考建議

? 廣東省河源市東源縣廣州大學(xué)附屬東江中學(xué) 張 雷

概率統(tǒng)計(jì)(含計(jì)數(shù)原理、排列組合與二項(xiàng)式定理等)模塊知識(shí)是新高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)重要考查知識(shí)點(diǎn),往往以“一大一小”(一個(gè)解答題,一個(gè)選擇題或填空題)的形式來全面考查.此模塊知識(shí)重在培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、理性數(shù)學(xué)思維方式以及解決問題的基本能力等.

在高中數(shù)學(xué)課程體系中,概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)貫穿于必修、選擇性必修課程之中,成為高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要主題,也是全面培養(yǎng)與提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)等方面的重要媒介之一.

特別地,在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,隨著課程改革的不斷深入,高考命題的創(chuàng)新引領(lǐng),概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)必將成為高考數(shù)學(xué)試卷中的核心知識(shí)和熱點(diǎn)考點(diǎn)之一.鑒于此,結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)模塊自身的特點(diǎn),高三復(fù)習(xí)備考中可以從以下一些細(xì)節(jié)與注意點(diǎn)入手,拋磚引玉,強(qiáng)化復(fù)習(xí),提升能力.

1 重視數(shù)學(xué)閱讀能力與理解能力的培養(yǎng)

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查成為新高考創(chuàng)新命題的一個(gè)亮點(diǎn),特別是涉及命題的“反套路”理念,以及學(xué)生“四能”的全面提升等方面的考查,成為高考命題中的一個(gè)新思路與新方式.

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查往往依托現(xiàn)實(shí)生活中的閱讀材料加以展開與考查,沒有“套路”可循,這就對(duì)復(fù)習(xí)備考提出更高的要求,要求更加重視材料的閱讀與理解能力,對(duì)于新的問題應(yīng)用情境中的信息收集、信息加工與實(shí)際應(yīng)用等提出更高的要求,要求教師要在平時(shí)的復(fù)習(xí)備考過程中,更加有針對(duì)性地進(jìn)行這方面的訓(xùn)練,提升閱讀理解能力等.

而對(duì)于很多學(xué)生得分情況不理想,甚至談起概率與統(tǒng)計(jì)解答題便產(chǎn)生恐懼心理,就需要更有針對(duì)性地進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀理解能力的培養(yǎng),借助應(yīng)用場(chǎng)景與閱讀材料,增強(qiáng)材料的信息加工,文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化等方面的能力.

例1位于成都市龍泉驛區(qū)的東安湖體育公園是第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)的核心場(chǎng)館,它包含一座綜合運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館.現(xiàn)安排包含甲、乙在內(nèi)的6名同學(xué)到這4個(gè)場(chǎng)館做志愿者,每人去1個(gè)場(chǎng)館,每個(gè)場(chǎng)館至少安排1個(gè)人,則甲、乙兩人安排在相同場(chǎng)館的方法種數(shù)為( ).

A.96 B.144 C.240 D.360

解析：首先將6名同學(xué)分成4組.一種方式是甲、乙組成一組,再?gòu)牧硗?人任選2人組成一組,其余的一人一組;另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組,其余的一人一組.然后再把4組人分到4個(gè)場(chǎng)館.

點(diǎn)評(píng)：此類涉及應(yīng)用的計(jì)數(shù)問題,關(guān)鍵在于閱讀理解能力,根據(jù)志愿者活動(dòng)安排,通過分組的分類討論,結(jié)合排列組合的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)與應(yīng)用,進(jìn)而確定相應(yīng)的安排方法種數(shù).

2 重視數(shù)學(xué)基本概念和基本公式的理解

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考過程中,對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí),要更加重視對(duì)數(shù)學(xué)教材的回歸與使用,真正起到數(shù)學(xué)教材的引領(lǐng)與指向功能.

在回歸教材與應(yīng)用教材過程中,結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的基本特點(diǎn),要特別重視概率與統(tǒng)計(jì)中相關(guān)的基本概念的理解,以及一些相關(guān)基本公式的理解與掌握,把握解題的“通性通法”.特別要注意新教材中涉及全概率公式的應(yīng)用等,并能熟練利用基本概念與基本公式來解決一些相關(guān)的應(yīng)用問題,體現(xiàn)概念與公式的充分理解與把握等.

又利用對(duì)立事件的概率公式,可得

點(diǎn)評(píng)：該綜合應(yīng)用問題以概率為問題場(chǎng)景,通過條件概率以及遞推關(guān)系式的合理交匯與綜合,綜合對(duì)立事件的概率公式以及全概率公式等來綜合與應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)問題的巧妙分析與解決.特別要注意的是,合理利用事件概率之間的遞推關(guān)系式,要注意后繼事件的概率往往受前一個(gè)事件的概率的影響,需要逐一分析與求解,這對(duì)應(yīng)用問題具有現(xiàn)實(shí)意義與規(guī)律.

3 重視數(shù)學(xué)思想方法與技巧策略的提煉

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)也離不開數(shù)學(xué)基本思想方法與技巧策略,成為聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),以及提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的一個(gè)重要場(chǎng)景.特別是以實(shí)際應(yīng)用題為場(chǎng)景的概率統(tǒng)計(jì)問題,更是突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的一個(gè)基本場(chǎng)所.

基于此,在復(fù)習(xí)備考過程中,要全面把握數(shù)學(xué)基本思想方法的引領(lǐng),指向數(shù)學(xué)基本技巧策略應(yīng)用.要將數(shù)學(xué)的思想方法與技巧策略等貫穿在復(fù)習(xí)備考與數(shù)學(xué)解題過程中去,使得復(fù)習(xí)備考過程更加全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累和數(shù)學(xué)思想升華.

例3為調(diào)查中某校學(xué)生每天學(xué)習(xí)的時(shí)間,采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣,現(xiàn)抽取高一學(xué)生400人,每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為8小時(shí),方差為0.5,抽取高二學(xué)生600人,每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為9小時(shí),方差為0.8,抽取高三學(xué)生1 000人,每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為10小時(shí),方差為1,則估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為( ).

A.1.25 B.1.35 C.1.45 D.1.55

結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的樣本方差公式,可得到s2=0.2×[0.5+(8-9.3)2]+0.3×[0.8+(9-9.3)2]+0.5×[1+(10-9.3)2]=1.45.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些復(fù)雜的分層隨機(jī)抽樣問題時(shí),首先要準(zhǔn)確確定分層隨機(jī)抽樣的層數(shù),以及確定與之相關(guān)的基本概念(樣本總數(shù)、各層的樣本數(shù)或頻率等),進(jìn)而熟練利用分層隨機(jī)抽樣的樣本平均值、樣本方差公式加以推理與運(yùn)算,并結(jié)合實(shí)際問題的應(yīng)用場(chǎng)景與現(xiàn)實(shí)實(shí)際來合理判斷與決策等.

4 重視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵與解題過程的規(guī)范

概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的應(yīng)用,是閱讀材料與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,也是對(duì)材料信息的再認(rèn)識(shí)與再加工.在實(shí)際解決問題時(shí),需要將對(duì)應(yīng)的應(yīng)用情境問題加以合理抽象,巧妙建模,利用數(shù)據(jù)分析與信息加工,并結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等來分析與解決問題.

基于此,在復(fù)習(xí)備考過程中,需要重視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的提煉,重視數(shù)學(xué)解題過程的規(guī)范、解題格式的訓(xùn)練,特別對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)的使用要規(guī)范準(zhǔn)確,語(yǔ)言表達(dá)精煉準(zhǔn)確,邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn),數(shù)學(xué)運(yùn)算正確.

5 重視未涉及知識(shí)的教學(xué)復(fù)習(xí)

近兩三年來高考沒有考到的內(nèi)容：正態(tài)分布、一元線性回歸模型等相關(guān)問題.隨著“教學(xué)評(píng)一體化”及人才選擇培養(yǎng)體系的變革,這一部分內(nèi)容將會(huì)成為來年高考的考點(diǎn),需要教師與學(xué)生務(wù)必做好這些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)與復(fù)習(xí),使得復(fù)習(xí)更加系統(tǒng),更加全面,更加到位.

近年高考中,概率統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查更加吻合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022修訂)》,突出該模塊中的基本概念、主干知識(shí)以及基本數(shù)學(xué)方法與技巧策略等方面的考查等,吻合教材的內(nèi)容比例,全面考查知識(shí)的應(yīng)用等,特別在通性通法的基礎(chǔ)上,進(jìn)行適度的綜合與創(chuàng)新.