依托教材,返璞歸真：立體幾何中的截面問題

? 江蘇省揚州市江都區(qū)仙城中學(xué) 徐曉軍 王 顏

在處理立體幾何綜合問題時,經(jīng)常會碰到截面問題,其是基于借助一個平面(或不共線的三點、一直線與該直線外一點、兩平行直線等)去截對應(yīng)的空間幾何體,進(jìn)而所創(chuàng)設(shè)的問題場景及其相應(yīng)的應(yīng)用問題.此類截面問題,合理構(gòu)建“二維”與“三維”之間的聯(lián)系,從而構(gòu)建平面幾何與立體幾何的升維與降維思想,一直是高考數(shù)學(xué)命題中比較常見的一類基本考查方式,備受關(guān)注.

1 依托教材,構(gòu)建概念

1.1 鏈接教材

問題(人教A版必修第二冊第138頁例3)圖1所示的一塊木料中,棱BC平行于面A′C′.

圖1

(1)要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開,在木料表面應(yīng)該樣畫線?

(2)所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系?

該問題涉及在空間幾何體木料中過直線BC與直線外一點P的截面問題,合理確定截面的作法以及對應(yīng)的幾何性質(zhì)等.

1.2 構(gòu)建概念

截面：用一個平面去截一個空間幾何體(經(jīng)過空間幾何體內(nèi)部的點),得到的平面圖形叫做這個空間幾何體的截面(其中,截面與空間幾何體表面的交線叫做截線).特別地,經(jīng)過空間幾何體的內(nèi)部,每邊都在空間幾何體表面上的封閉圖形,可以作為空間幾何體的截面.

2 返璞歸真,應(yīng)用類型

立體幾何中的截面問題,場景變化多端,題型新穎,可以通過截面的作法與確定來反映幾何本質(zhì),疊加“平面”與“立體”之間的聯(lián)系;借助截面對應(yīng)的平面幾何圖形確定以及相應(yīng)形狀的判斷等來突出能力,凸顯空間想象能力以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用;結(jié)合截面圖形的周長或面積等數(shù)值的求解或最值的確定來著力創(chuàng)新,強化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識等.

2.1 截面作法

例1如圖2,P,Q,R三點分別在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1和DD1上,試寫出過P,Q,R三點的截面作法.

圖2

分析：根據(jù)題設(shè)條件,從最高點Q出發(fā),確定直線QP,QR與對應(yīng)底面棱所在直線CB,CD的交點,在底面ABCD中進(jìn)一步確定對應(yīng)直線的交點,從而確定相關(guān)直線與直四棱柱的對應(yīng)棱的交點情況,即可確定對應(yīng)的截面,得到截面的作法.

作法：(1)連接QP,QR并延長,分別交CB,CD的延長線于點E,F;(2)連接EF,交AB于點T,交AD于點S;(3)連接RS,TP.如圖3,五邊形PQRST即為所求截面.

圖3

點評：對于立體幾何圖形中的截面問題,在具體的截面作圖與應(yīng)用時要做到“心中有圖”,通過相關(guān)的點、直線等要素,綜合平面確定的條件,由立體幾何中的“三維”圖形合理轉(zhuǎn)化為平面幾何中的“二維”圖形,要求具有較強的空間想象能力,并會加以合理直觀想象與數(shù)形結(jié)合應(yīng)用.

2.2 形狀判斷

例2在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BB1=2BC,點P,Q,T分別在棱BB1,CC1和AB上,且B1P=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面形狀為( ).

A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形

分析：本題依據(jù)刻畫平面性質(zhì)的基本事實及推論作出截面圖形,然后加以判斷.

解析：如圖4所示,連接QP并延長交CB的延長線于點E,連接ET并延長交AD于點S,過點S作SR∥EQ交DD1于點R,連接RQ,則五邊形PQRST即為平面PQT截該長方體所得的截面.

圖4

點評：此類涉及立體幾何中的截面形狀判斷以及相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵就是綜合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理空間想象與直觀分析,有時還要通過數(shù)學(xué)運算以及準(zhǔn)確的邏輯推理來分析.

2.3 數(shù)值求解

分析：根據(jù)題設(shè)條件,合理通過圖形直觀來確定對應(yīng)的球面特征.這里要注意,球面交線的一種類型是在頂點A所在的三個面上,另一種類型是在不過頂點A的三個面上.這些曲線均為圓弧,分別求其長度并結(jié)合圖形的對稱性即可得結(jié)果.

圖5

故選：A.

點評：這里要注意的是,球與平面相交截面一定是圓面,對應(yīng)的交線就是圓弧.在解決立體幾何中的截面所對應(yīng)圖形的周長或面積等問題時,準(zhǔn)確確定對應(yīng)的截面在空間幾何體的各面上的交線是關(guān)鍵,同時經(jīng)常要合理利用圖形的對稱性、三角函數(shù)以及其他相關(guān)知識等.

2.4 最值確定

例4已知正四棱錐P-ABCD中,其底面是邊長為3的正方形,O是P在底面上的射影,PO=6,其中Q是AC上的一點,過點Q且與PA,BD都平行的截面為五邊形EFGHL,則該截面面積的最大值為______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,首先弄清截面是由兩個全等的直角梯形構(gòu)成,點Q在AC上運動;然后引入?yún)?shù),設(shè)AE=x,結(jié)合圖形直觀以及性質(zhì)應(yīng)用求出截面EFGHL的面積表達(dá)式,進(jìn)而利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可確定對應(yīng)面積的最大值.

圖6

點評：此類涉及立體幾何中的截面相關(guān)的最值確定問題,經(jīng)常通過“動點”的變化情況引入?yún)?shù)(或角參或邊參),進(jìn)而利用截面的幾何性質(zhì)以及所求要素,合理構(gòu)建對應(yīng)的表達(dá)式,利用函數(shù)思維、不等式思維或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用思維等來確定最值;也經(jīng)常采用“動”中取“靜”的方式,利用動點的特殊位置來直觀想象與數(shù)形結(jié)合,確定極端情況下的最值問題.

解決立體幾何中的截面問題,關(guān)鍵在于合理利用平面的基本性質(zhì)確定對應(yīng)的截面,將立體幾何中的“三維”問題進(jìn)行降維處理,轉(zhuǎn)化為平面幾何的“二維”問題,綜合聯(lián)系“立體”與“平面”的基礎(chǔ)知識與基本性質(zhì)等,結(jié)合截面圖形以及對應(yīng)的幾何性質(zhì)加以合理邏輯推理與數(shù)學(xué)運算,實現(xiàn)截面問題的巧妙分析與解決.