借助思維導(dǎo)圖將思維“可視化”,探尋解題軌跡

? 四川成都七中 楊 東 陳 霞 鄒蘊(yùn)博 陳洲健

用思維導(dǎo)圖將思維過程可視化,可以更好地幫助我們尋找解題突破口,也能夠更好地梳理問題解決的內(nèi)置思路.這里,筆者以2023年全國甲卷第21題為例,呈現(xiàn)如何借助思維導(dǎo)圖來更好地探索問題的解決.

(1)當(dāng)a=8時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)

1 第(1)問解法分析

圖1

上述兩種方法的核心其實(shí)都是將三角函數(shù)化為同名,然后進(jìn)行換元處理(解答中鑒于篇幅所限,省略了換元的過程).兩種處理方式都是抓住sinx,cosx和tanx之間的關(guān)系來化簡(jiǎn).其中,對(duì)于將cosx化為tanx的方式看起來似乎平時(shí)很少用到,但是稍后我們會(huì)看到,在第(2)問的一些分析中,這種化簡(jiǎn)途徑也是非常有啟發(fā)意義的.

借助思維導(dǎo)圖,我們可以看到這個(gè)題目的思維過程是線性結(jié)構(gòu)的,算是一個(gè)比較常規(guī)的基本形式.但是在每一個(gè)步驟上,特別是在結(jié)構(gòu)分析過程中,思維導(dǎo)圖會(huì)讓我們將注意力集中在當(dāng)下需要處理的問題和結(jié)構(gòu)形式上,從而聯(lián)想到可以借助三角變形來解決繁瑣式子的變形.這種“思維可視化”過程可以讓我們更清晰地感受到如何一步一步想到解決問題的思路,也為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了經(jīng)驗(yàn)的歸納.

2 第(2)問解法分析

2.1 探索a的范圍分析

首先辨別清楚這個(gè)問題的類型：恒成立求參數(shù)取值范圍.因此,這里可以激活相應(yīng)的方法：直接求導(dǎo)討論;參變分離;必要性策略探路.這幾種方法都涉及將思維過程主要分解為兩個(gè)部分：即找到a的臨界值;證明這個(gè)值恰好是我們需要的.下面就分這兩部分結(jié)合思維導(dǎo)圖(圖2)探索a的范圍.

圖2

如圖2所示的思維導(dǎo)圖,展示了通過直接求導(dǎo)討論、參變分離和半分參放縮來尋找a的臨界值的過程.

在分析1中,設(shè)g(x)=sin 2x-f(x),那么問題轉(zhuǎn)化為尋找g(x)的最小值.一方面可以通過直接求導(dǎo),并借助類似第(1)問的方法將cos2x換元,把函數(shù)變成一個(gè)我們更為熟悉的三次函數(shù),由此自然而然地將a在3兩側(cè)進(jìn)行分類;另一方面,直接分析函數(shù)的端點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)在x=0處的函數(shù)值為0,要保證函數(shù)恒為正數(shù),就需要函數(shù)g(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)g′(x)≥0,由此得到a≤3.這樣得到的必要條件a≤3還需要進(jìn)一步加以證明.

綜上,通過思維的可視化呈現(xiàn),幫助我們找到了a的分界點(diǎn),但是這里得到的都是必要性條件,因此還需要進(jìn)一步分析充分性證明的方法.

2.2 證明充分性分析

圖3

從思維導(dǎo)圖中可以看到,通過主元法將問題轉(zhuǎn)化為單變量的不等式恒成立問題.這里給出了兩種分析思路：直接討論函數(shù)的最值;直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行放縮處理得到最值.

分析1中,再次用到了第(1)中的整體思想,可以看到整個(gè)過程非常清晰明了.這也體現(xiàn)了解決第(1)問的方法在第(2)問中的應(yīng)用.分析2中,考慮能否直接將函數(shù)通過放縮得到結(jié)果,這一步其實(shí)很難想到.因?yàn)閺谋匾苑治鲋形覀円呀?jīng)看到,使用泰勒展開將函數(shù)線性化處理的時(shí)候,需要將sin 2x和tanx都展開到x3項(xiàng),tan3x保留x項(xiàng),這個(gè)操作首先需要對(duì)泰勒展開的結(jié)論很熟悉,其次要探索性地放縮處理,只有這樣才能找到合適的放縮方向.

2.3 解法呈現(xiàn)

通過上面的分析,我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解法其實(shí)就是直接分析構(gòu)造函數(shù)后的端點(diǎn),利用最基本的函數(shù)求導(dǎo)分析方法來解答.下面的解答過程中,充分性的證明是最簡(jiǎn)潔的處理方式.

解：先證a≤3的必要性(反證).

下面證明：當(dāng)a≤3時(shí),f(x)

證法2：略.(掃碼看具體過程.)

3 總結(jié)

從上文的分析過程可以看出,在分析復(fù)雜的函數(shù)的時(shí)候,借助思維導(dǎo)圖可以幫我們更清晰地理解題目的內(nèi)在聯(lián)系,從而找到相應(yīng)的突破口,由此更好地鍛煉邏輯推理能力.一些高等數(shù)學(xué)的知識(shí)雖然可以幫助我們處理問題,但是如果對(duì)其核心知識(shí)掌握不熟練的話,反而可能弄巧成拙,讓問題變得更加復(fù)雜.