凸顯工具價(jià)值,滲透研究意識(shí)*
——以人教A 版新教材“用向量法探究三角形性質(zhì)”教學(xué)為例

四川省成都市第七中學(xué)(610041) 羅文力 尹軒睿 楊 力

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017 年版(2020 年修訂)》中指出: 進(jìn)一步精選了學(xué)科內(nèi)容,重視以學(xué)科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).由此,可以看出,數(shù)學(xué)學(xué)科本身的知識(shí)結(jié)構(gòu)化、方法普適性是新教學(xué)中落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)探究能夠很好的將數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)化和情境化落實(shí)到位.故此,《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)教材編寫(xiě)意見(jiàn)中指出: 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線之一.這條主線不僅能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)技能,更能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和實(shí)踐,是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體.

向量既是代數(shù)研究對(duì)象,也是幾何研究對(duì)象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具, 是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ),在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮重要作用.“用向量法探究三角形性質(zhì)”是人教A 版2019 年版新教材與舊教材相比增加的板塊.這個(gè)板塊的增加,從課程標(biāo)準(zhǔn)的視角來(lái)看,回應(yīng)了課標(biāo)中從“基本知識(shí)、基本技能”的雙基到“基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”四基,印證了新課程教學(xué)更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)探究活動(dòng)等理念;從知識(shí)方法層面來(lái)看,凸顯了向量作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要工具,用向量工具探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究意識(shí).然而對(duì)于數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課程而言,不同的學(xué)生能力水平有一定的差異性,在實(shí)施任務(wù)和要求上應(yīng)該設(shè)定彈性的標(biāo)準(zhǔn),讓不同學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中得到不同的參與體驗(yàn),獲得不同層次的發(fā)展.

2 教學(xué)實(shí)施設(shè)計(jì)

(一)教材分析

本節(jié)課選自人教A 版(2019 年版)高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章數(shù)學(xué)探究: 用向量法研究三角形的性質(zhì)第二課時(shí).在第一課時(shí)中我們已用向量法分析過(guò)三角形中三線共點(diǎn)的特殊性質(zhì),明確向量的作用,體會(huì)向量的先進(jìn)性.本節(jié)課主要是中期匯報(bào),流程為分小組展示發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的脈絡(luò),分享交流、開(kāi)拓思路,完善論證過(guò)程.

(二)學(xué)情分析

從知識(shí)層面來(lái)看,學(xué)生已學(xué)向量、三角形等相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)于本節(jié)課的公式推導(dǎo)與結(jié)論發(fā)現(xiàn)具有積極的作用;

從能力上來(lái)看,作為高一下期的學(xué)生,對(duì)于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力還有待加強(qiáng),這使得數(shù)學(xué)探究程序的抽象概括環(huán)節(jié)需要進(jìn)行難點(diǎn)突破;

(三)教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)展示與交流學(xué)生小組探究成果,分享體會(huì)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、提出的過(guò)程,相互借鑒和學(xué)習(xí),積累用向量法“研究一個(gè)幾何對(duì)象”經(jīng)驗(yàn);

2.能通過(guò)質(zhì)疑、辯論、評(píng)價(jià),梳理出發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的脈絡(luò),為進(jìn)一步的探究奠基;

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是:

(1)能用向量語(yǔ)言恰當(dāng)表達(dá)、證明自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,能依據(jù)平面向量基本定理選擇恰當(dāng)?shù)幕妆硎救切沃械膸缀卧?對(duì)三角形的一些要素關(guān)系提出量化表達(dá)猜想,并通過(guò)向量運(yùn)算證明或證偽;

(2)能清楚表達(dá)探究成果的形成過(guò)程,能用自己的語(yǔ)言闡釋向量方法的主要特征,能撰寫(xiě)較為規(guī)范的研究報(bào)告,并對(duì)結(jié)果做出自我評(píng)價(jià);

(四)教學(xué)重點(diǎn)

展示本組探究問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出過(guò)程.

(五)教學(xué)難點(diǎn)

梳理發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的脈絡(luò),形成一以貫之的探究與發(fā)現(xiàn)的路徑.

(六)教學(xué)策略與媒體分析

啟發(fā)式教學(xué)、合作探究式學(xué)習(xí)、多媒體、ppt、幾何畫(huà)板.

(七)教學(xué)過(guò)程

1.復(fù)習(xí)引入

教師提問(wèn): 昨天我們從三角形的四心入手,學(xué)習(xí)了什么知識(shí)內(nèi)容與思想方法?

學(xué)生回答:

知識(shí)內(nèi)容: 三角形的三條中線共點(diǎn)、三條垂線共點(diǎn); 外心、重心、垂心三點(diǎn)共線(未證明)……都使用了向量這一工具.

思想方法: 三線共點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問(wèn)題;合情推理(大膽猜測(cè),大膽驗(yàn)證)……

教師提問(wèn): 回憶證明重心與垂心三線共點(diǎn)的中心思想.

學(xué)生回答:

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)復(fù)習(xí),幫助學(xué)生梳理知識(shí)框架與思想方法,教會(huì)學(xué)生掌握用向量法研究三角形性質(zhì)的一般方法,讓學(xué)生嘗試著去尋找問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將自己提出的有關(guān)三角形性質(zhì)的問(wèn)題用向量法解決,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

2.學(xué)生展示

三角形的豐富性質(zhì)蘊(yùn)涵在“邊與角、頂點(diǎn)與邊、特殊的點(diǎn)與邊、點(diǎn)與線、線與線等要素之間”,于是我們把主要研究對(duì)象確定為上述幾何量.通過(guò)觀察它們之間的聯(lián)系,采用一般化、特殊化、類(lèi)比等方法發(fā)現(xiàn)值得研究的問(wèn)題.教科書(shū)中論證了勾股定理,我們可以把三角形的形狀一般化并探究出余弦定理;上節(jié)課我們論證了三條中線交于一點(diǎn)即重心,三條垂線交于一點(diǎn)即垂心等, 我們可以類(lèi)比研究角平分線與內(nèi)心,中垂線與外心……因此我們把主要研究路徑確定為“類(lèi)比,特殊——一般——特殊”.

追問(wèn)1: 如果把中點(diǎn)一般化呢?

追問(wèn)2: 如果是角平分線,是否能求長(zhǎng)度呢?

追問(wèn)1: 是否能把λ量化呢?

追問(wèn)2: 聯(lián)系中線與角平分線的軌跡,是否垂線與中垂線也有類(lèi)似的表達(dá)式呢?

學(xué)生成果3 “奔馳定理”: 在?ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P,

追問(wèn)1: 如果點(diǎn)P在三角形外部呢?

追問(wèn)2:“奔馳定理”有沒(méi)有什么應(yīng)用?

學(xué)生成果4 “奔馳定理”的應(yīng)用,銳角三角形的外心、垂心的向量形式:

追問(wèn)1: 如果不是銳角三角形還有相同的結(jié)論么?

追問(wèn)2:“奔馳定理”還有沒(méi)有什么應(yīng)用?

預(yù)設(shè)成果5 “歐拉線”: ?ABC的外心O、重心G、垂心H三點(diǎn)共線,且OG:GH=1:2.

追問(wèn)1: 三角形還有沒(méi)有其他的心?

追問(wèn)2: 這些心之間有沒(méi)有其他的共線? 或者特殊圖形?

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)不同于常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué),對(duì)教師和學(xué)生都是一個(gè)挑戰(zhàn).教師認(rèn)真研究如何開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),理解探究活動(dòng)是基礎(chǔ).針對(duì)該探究活動(dòng)的主題,教師梳理清楚三角形性質(zhì)的層級(jí)、向量法的“三步曲”、不同向量運(yùn)算方法的作用,是推進(jìn)探究的保障.

3.反思總結(jié)

研究?jī)r(jià)值表述及反思:

上述結(jié)論具有完美的統(tǒng)一性,有較強(qiáng)的審美價(jià)值.不斷轉(zhuǎn)化基底,可以獲得向量結(jié)論.其中坐標(biāo)法表示也是選擇單位正交基底的有價(jià)值體現(xiàn).下一步可以沿著向量的數(shù)量積運(yùn)算方向繼續(xù)探索,繼續(xù)研究三角形的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)總結(jié),提煉開(kāi)展用向量法研究三角形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),梳理成果,歸納方法,并給予學(xué)生精神鼓勵(lì),讓其感受數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣和達(dá)到成功的喜悅.以成功激勵(lì)成功,以成功激勵(lì)興趣.

4.拓廣探索

1.基礎(chǔ)性作業(yè): 改進(jìn)探究報(bào)告,做好結(jié)題準(zhǔn)備.

2.拓展性作業(yè): 根據(jù)課堂上所提出的新的猜想與結(jié)論,自選角度再用向量法進(jìn)行研究.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)思考

章建躍博士早就指出,“理解數(shù)學(xué),理解學(xué)生,理解教學(xué)”是教師專(zhuān)業(yè)化發(fā)展的基石,也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證.在此基礎(chǔ)上,他又根據(jù)課程改革的新發(fā)展,增加了“理解技術(shù),理解評(píng)價(jià)”等要素.下面我們從“五個(gè)理解”的視角對(duì)本堂數(shù)學(xué)探究課進(jìn)行簡(jiǎn)單探討分析.

從理解數(shù)學(xué)的角度看,本節(jié)課的核心是用向量法探究三角形的性質(zhì),充分體現(xiàn)了向量的工具價(jià)值.在數(shù)學(xué)中,向量是溝通數(shù)與形的橋梁,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展體系中,向量也具有十分廣泛的應(yīng)用,本節(jié)課的定位符合當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的實(shí)際,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部問(wèn)題的意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力.同時(shí),學(xué)生所得到的結(jié)論也可以作為今后研究其余數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ),為學(xué)生今后的研究奠定了知識(shí)基礎(chǔ).

從理解教學(xué)的角度看,《普通高中育人方式改革指導(dǎo)意見(jiàn)》、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017 年版(2020 年修訂)》等多個(gè)文件中均指出,高中課堂教學(xué)應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要采取啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式的教學(xué)方式,促進(jìn)學(xué)生的深度體驗(yàn),積淀學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),本課按照新教材的設(shè)計(jì)思路,以數(shù)學(xué)探究的形式展開(kāi)教學(xué)活動(dòng),能夠更好地讓學(xué)生參與到課堂中,課堂上學(xué)生的展示分享、師生間的交流對(duì)話、教師對(duì)于學(xué)生的不斷追問(wèn)都讓學(xué)生全身心的參與課堂,學(xué)生在動(dòng)腦動(dòng)手中進(jìn)入深度學(xué)習(xí),讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生.

從理解學(xué)生的角度看,執(zhí)教老師充分考慮學(xué)情特點(diǎn),學(xué)生在此之前已學(xué)平面向量等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、在學(xué)校的研究性學(xué)習(xí)課程中,學(xué)生已明白基本的研究性學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié),這使得這樣的學(xué)習(xí)方式能夠推行.同時(shí),執(zhí)教班級(jí)的數(shù)學(xué)功底扎實(shí)、表達(dá)能力較好,這使得課下的探究任務(wù)的質(zhì)與量能夠得到保障,課堂上的展示交流具有一定的研究性.

從理解技術(shù)的角度看,新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)日常教學(xué)和信息技術(shù)的深度融合.考慮到數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性,信息技術(shù)的使用不僅可以在課堂上在解決問(wèn)題、課堂評(píng)價(jià)反饋中予以使用,在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出猜想環(huán)節(jié)也能進(jìn)行融合.從展示學(xué)生的情況來(lái)看,個(gè)別學(xué)生利用幾何畫(huà)板發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證自己的猜想,真正實(shí)現(xiàn)了用技術(shù)解決問(wèn)題的能力.

從理解評(píng)價(jià)的角度看,一種教學(xué)方式必然倡導(dǎo)一種教學(xué)文化,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視學(xué)生的綜合發(fā)展與主體作用,本堂課不僅從研究性學(xué)習(xí)的開(kāi)展環(huán)節(jié)視角進(jìn)行呈現(xiàn),更是考慮到學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中,教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行重視,以課堂上展示交流、追問(wèn)反思等形式對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)開(kāi)展過(guò)程性評(píng)價(jià),這種評(píng)價(jià)促進(jìn)了學(xué)生的對(duì)于學(xué)習(xí)的更進(jìn)一步渴望,以評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)習(xí)發(fā)生.

4 教學(xué)實(shí)施的不足

當(dāng)然在本課的教學(xué)過(guò)程中,還存在一些可以值得改進(jìn)的方面:

(1)作為競(jìng)賽教練的執(zhí)教老師對(duì)于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論能夠很好地從數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和專(zhuān)業(yè)性上給與指導(dǎo),但因教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的不足,在語(yǔ)言上的簡(jiǎn)潔性、精準(zhǔn)性上還有待加強(qiáng),同時(shí)我們也可以思考,學(xué)生在進(jìn)行作品展示時(shí),除了以投影方式呈現(xiàn)以外,是否可以采用分小組制作ppt 進(jìn)行交流匯報(bào),更體現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)的規(guī)范性.

(2)由于課時(shí)限制學(xué)生未能將探究的整個(gè)過(guò)程、探究過(guò)程中存在的想法全部呈現(xiàn)出來(lái),對(duì)于一些還沒(méi)有能夠證明的猜想,教師也應(yīng)在課下繼續(xù)與學(xué)生溝通交流點(diǎn)燃學(xué)生數(shù)學(xué)研究的熱情.

5 結(jié)語(yǔ)

當(dāng)今社會(huì),拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是教育急需解決的重要問(wèn)題.作為培養(yǎng)學(xué)生理性思維的數(shù)學(xué)學(xué)科,要想通過(guò)數(shù)學(xué)培育拔尖創(chuàng)新人才,教師應(yīng)當(dāng)多在日常教學(xué)中給予學(xué)生探究的機(jī)會(huì)、激發(fā)學(xué)生探究的熱情、引導(dǎo)學(xué)生探究的態(tài)度、培養(yǎng)學(xué)生探究的品質(zhì),才能更好地彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.