廣東省廣州市黃埔區(qū)會元學(xué)校(510530) 蔡寶柱
廣東省廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510375) 蔡琳
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》教學(xué)提示指出[1]:教師要整體把握教學(xué)內(nèi)容,注重教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化和教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián).教師要豐富教學(xué)方式,讓學(xué)生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過程中感悟基本思想,積累基本活動經(jīng)驗,促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.深度學(xué)習(xí)強調(diào)對知識的深度理解和學(xué)生的深度參與,這與《標(biāo)準(zhǔn)》提倡的數(shù)學(xué)活動教學(xué)提示高度吻合.同時數(shù)學(xué)活動課要求學(xué)生綜合運用知識解決問題,也為深度學(xué)習(xí)提供了條件.
基于此,本文以深度學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo),以八年級下初中數(shù)學(xué)活動“折紙做60°,30°,15°的角”的教學(xué)為例,談?wù)勅绾螌崿F(xiàn)教師深度教學(xué),學(xué)生深度學(xué)習(xí).
深度學(xué)習(xí)被認(rèn)為是指向?qū)W科核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí),基于深度學(xué)習(xí)理論的教學(xué)設(shè)計,體現(xiàn)兩個原則:
深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為[2],知識的結(jié)構(gòu)由兩部分構(gòu)成, 外部結(jié)構(gòu)指符號表征,內(nèi)部結(jié)構(gòu)指邏輯形式和意義系統(tǒng),如圖1.邏輯形式指內(nèi)隱于知識的學(xué)科思想方法,只有深刻理解知識的邏輯形式,深入到知識的內(nèi)核——邏輯形式和意義系統(tǒng),深度學(xué)習(xí)才能發(fā)生,核心素養(yǎng)才能達成,學(xué)科育人才能實現(xiàn).
圖1
杜威[3]認(rèn)為知識的學(xué)習(xí)需要學(xué)習(xí)者經(jīng)歷一個復(fù)雜的學(xué)習(xí)過程: 還原與下沉、體驗與探究、反思與上浮的過程,郭元祥教授把杜威的經(jīng)驗理論概括為“U 型”學(xué)習(xí).其中,還原與下沉是指還原知識產(chǎn)生的背景,還原學(xué)生已有的經(jīng)驗.體驗與探究指的是在逐層深入的問題鏈指引下,開展“層進式”學(xué)習(xí)的過程,在這個過程中學(xué)習(xí)者情感行為深度參與,體驗與感悟?qū)W科思想方法.反思與上浮是學(xué)習(xí)者進行個人意義的建構(gòu)和遷移應(yīng)用的過程.
遵循上述教學(xué)設(shè)計原則: 一是要深度分析教學(xué)要素,深挖“折紙做60°,30°,15°的角”活動課所覆蓋的知識間的“聯(lián)結(jié)”,形成結(jié)構(gòu),深挖知識背后的學(xué)科思想方法,關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)與育人功能.二是要基于“U 型”學(xué)習(xí)設(shè)計學(xué)習(xí)過程,讓學(xué)生經(jīng)歷知識生成的完整過程,體驗與感悟?qū)W科思想方法,發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).
教學(xué)設(shè)計要素分析主要包括內(nèi)容與內(nèi)容解析、目標(biāo)與目標(biāo)解析、教學(xué)問題診斷解析,是教學(xué)設(shè)計的主要環(huán)節(jié).
2.1.1 內(nèi)容和內(nèi)容解析
本節(jié)課是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書》新人教版八年級下冊第十八章“平行四邊形”中的一節(jié)數(shù)學(xué)活動課,具有一定的趣味性和知識性.依據(jù)深度學(xué)習(xí)理論, 本節(jié)內(nèi)容的符號表征是軸對稱、全等等常見數(shù)學(xué)圖形的性質(zhì).學(xué)科思想方法有轉(zhuǎn)化與化歸、從特殊到一般.同時學(xué)生動手操作,在直觀理解和掌握基本事實的基礎(chǔ)上,經(jīng)歷得到和驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的過程,形成幾何直觀和推理能力,感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯,感受數(shù)學(xué)美,發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.
教學(xué)重點 通過探究折60°的角,并能嚴(yán)謹(jǐn)證明.
2.1.2 目標(biāo)和目標(biāo)解析
(1)通過折疊,加深對軸對稱、全等圖形性質(zhì)的認(rèn)識.
(2)探索并能折出60°,30°,15°的角,并能驗證證明,體悟從特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸思想,發(fā)展幾何直觀和邏輯推理核心素養(yǎng).
(3)初步體會研究幾何問題的方法,感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯,感受數(shù)學(xué)美.
2.1.3 教學(xué)問題診斷分析
八年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對稱變換,而且利用軸對稱變換進行過折紙活動,還學(xué)習(xí)過角平分線、平行與垂直、三角形全等、直角三角形、矩形等知識,學(xué)生的抽象思維能力、識圖能力等已基本形成.但由于學(xué)生空間觀念發(fā)展不均衡,對所學(xué)知識不能靈活運用.所以,本節(jié)課設(shè)計遵循從易到難,從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,抓住學(xué)生的興趣點,將教學(xué)重難點在學(xué)生的快樂學(xué)習(xí)中解決突破.
教學(xué)難點 折出60°角的方法的探究和證明.
依據(jù)深度學(xué)習(xí)理論,本節(jié)活動課遵循“U 型”學(xué)習(xí),深度設(shè)計還原與下沉、體驗與探究、反思與上浮的學(xué)習(xí)過程.
2.2.1 還原與下沉: 創(chuàng)設(shè)情境,引入新課
問題1 同學(xué)們,你們玩過折紙嗎? 都會折什么? 在折紙的過程中,蘊含著什么數(shù)學(xué)知識呢? 今天我們試著用數(shù)學(xué)的眼觀去發(fā)現(xiàn)折紙的奧秘吧!
師生活動 學(xué)生欣賞動畫折紙,教師引導(dǎo)動物、花、船和人等都是折紙的創(chuàng)作題材,在折的過程中要用到很多的數(shù)學(xué)知識,比如: 軸對稱、全等、特殊的角度等等.
設(shè)計意圖 通過觀察生活中的實例,從真實情景入手,點出課題,激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,問題1 下沉到知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)學(xué)科思想方法.
2.2.2 體驗與探究: 動手操作,深度感悟
問題2 在一張矩形紙片上,你怎么折出一個正方形?
任務(wù)1 利用一張A4 紙折出一個正方形,畫出折痕和重疊的邊,并說明理由.
師生活動 學(xué)生在小組內(nèi)動手折,教師指導(dǎo),及時調(diào)整,并通過課件明確紙質(zhì)過程,如圖2.
圖2
追問 正方形的對角線與每一邊的夾角是多少度?
師生活動 學(xué)生觀察所折圖形,思考教師提出的問題,并明確折出的特殊角是45°,口述理論依據(jù).
設(shè)計意圖 深度學(xué)習(xí)理論提倡還原學(xué)生已有的經(jīng)驗,從最熟悉的正方形為知識生長點, 折出本節(jié)課第一個特殊角,為接下來的折一般等腰三角形積累經(jīng)驗,并感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.
問題3 能否通過折疊和畫圖,得到等腰三角形? 請同學(xué)們畫出折痕、畫出三角形,并說明理由.
任務(wù)2 不利用量角器或三角尺,用一張矩形紙片折出等腰三角形.(小組合作、學(xué)生分享)
師生活動 小組合作討論,教師巡堂點撥,師生共同明確3 種折法,并總結(jié)折疊性質(zhì): 一線兩身份,對稱出全等.即折痕是角平分線和垂直平分線,翻折過程中對稱圖形全等,翻折邊相等.
折法1 垂直平分線模型,正方形變?yōu)楣~形(只有兩組鄰邊相等),連接點C其對稱點C′,可得到兩個等腰三角形,如圖3.
圖3
折法2 “角平分線+平行”模型,如圖4.
圖4
折法3 矩形的對稱性模型,如圖5.
圖5
設(shè)計意圖 通過探究等腰三角形的不同折法,學(xué)生進一步積累了折紙活動經(jīng)驗,建立了對稱、全等、四邊形等知識的“聯(lián)結(jié)”,在知識結(jié)構(gòu)化的同時,培養(yǎng)學(xué)生運用綜合知識解決問題的能力,同時,為折等邊三角形搭好知識的“腳手架”.
問題4 不利用量角器或三角尺,用一張矩形紙片能否通過折疊和畫圖得到以矩形短邊為邊的等邊三角形? 說說你的折法和依據(jù).
任務(wù)3 不利用量角器或三角尺,用一張矩形紙片,能否通過折疊和畫圖,得到等邊三角形.(展示折紙過程)
師生活動 在小組合作交流的基礎(chǔ)上,小組代表上臺分享折疊過程.師生共同明確探究思路和具體折法(略),如圖6.
圖6
追問 你能說出以上操作的道理嗎?
師生活動 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、思考、驗證,歸納折疊的本質(zhì),黑板書寫證明過程,證明過程略.
設(shè)計意圖 通過問題和追問, 讓學(xué)生完整經(jīng)歷動手操作—直觀感知—思辨論證的過程,由感性上升為理性,感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯,形成幾何直觀和推理能力.
問題5 觀察所得的∠ABM,∠MBN和∠NBC,這三個角有怎樣的大小關(guān)系? 怎樣折15°的角呢?
師生活動 學(xué)生獨立操作.
設(shè)計意圖 鞏固折60°角的方法,深化理解,使學(xué)生再次感受折痕是角平分線.
2.2.3 反思與上浮: 遷移應(yīng)用,意義建構(gòu)
問題6 對折正方形紙ABCD使AD與BC重合, 得到折痕EF, 把紙片展平, 在AD上選一點P(點P不與點A,D重合),沿BP折疊,使點A落在正方形內(nèi)部點M處, 把紙片展平,連接PM,BM,并延長PM交CD于點Q,連接BQ,如圖7.判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
圖7
問題7 通過折疊,自己制作一副三角尺.
師生活動 學(xué)生自主思考,獨立完成,然后同桌交流,解答過程略.
設(shè)計意圖 問題6 重點考查學(xué)生用折疊性質(zhì)解決新情境問題的遷移能力.問題7 是一個開放性的問題,在考查學(xué)生遷移能力的同時,考查學(xué)生動手操作能力,同時讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美,發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.
問題8 通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?
師生活動 學(xué)生自己總結(jié),不全面的由其他學(xué)生補充完善,教師重點關(guān)注不同層次學(xué)生對本節(jié)知識的理解和掌握程度.
設(shè)計意圖 從知識、能力、思想方法上進行歸納,使學(xué)生對折疊的數(shù)學(xué)本質(zhì)有一個深刻的認(rèn)識,在知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的同時,提升學(xué)生解決問題的能力.
數(shù)學(xué)活動課是學(xué)生學(xué)完某章節(jié)或知識模塊后安排的內(nèi)容,要求學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題,是知識模塊結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的重要載體.同時,也為培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力提供重要機會.深度學(xué)習(xí)理論的知識觀為挖掘內(nèi)容深度提供了理論指引,深度學(xué)習(xí)理論的U 型學(xué)習(xí)實現(xiàn)了學(xué)生的深度參與,并且具有可操作性.上述課例在深度學(xué)習(xí)理論的指引下,實現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程的“雙深度”,學(xué)生在發(fā)展核心素養(yǎng)的同時,感受到了數(shù)學(xué)美,實現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.另外,在進行教學(xué)設(shè)計時,需注意以下兩點:
活動課綜合性強,教學(xué)時要遵循“低起點,高終點”,為難點搭建適當(dāng)?shù)摹澳_手架”.本節(jié)課學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過軸對稱變換,三角形的全等、矩形等知識.如果一開始就讓學(xué)生用矩形折等邊三角形,難度大,學(xué)生可能會無從下手.而問題1、任務(wù)1 的設(shè)計, 讓學(xué)生先獲得一些必要的操作經(jīng)驗, 降低操作難度.問題2 和任務(wù)2 的設(shè)計讓學(xué)生經(jīng)歷了多種折疊等腰三角形的方法,在探索中總結(jié)出折疊性質(zhì),不但繼續(xù)積累了折疊的經(jīng)驗,而且完成了知識的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化,為接下來折等邊三角形提供了知識儲備.
活動課對解決問題的能力要求較高, 教學(xué)時要充分考慮知識產(chǎn)生的過程和學(xué)生思維過程設(shè)計逐層深入的問題鏈,并通過任務(wù)驅(qū)動, 把學(xué)生的思維逐步導(dǎo)向深入.如本節(jié)課基于動手操作—直觀感知—思辨證明和折疊等腰直角三角形—等腰三角形—等邊三角形設(shè)計問題鏈和任務(wù)群.