芻議“三新”背景下單元探究課的研究路徑*
——以“平面向量的應(yīng)用”為例

江蘇省無錫市市北高級中學(xué)(224000) 胡蓓蓓

學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于整體的、系統(tǒng)的主題學(xué)習(xí),本文以“平面向量的應(yīng)用”為單元教學(xué)案例,在2019 人教版新教材(簡稱新教材)必修二《平面向量》章節(jié)展開由點(diǎn)到面的探索型實(shí)踐,圍繞幾何與代數(shù)中具有統(tǒng)攝性的一般觀念,把教學(xué)內(nèi)容組織為連續(xù)的、有意義關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)化單元整體,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)方式對事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出問題.

1 教材背景

新教材必修二第六章6.4 節(jié)“平面向量的應(yīng)用”包括“平面幾何中的向量方法”“向量在物理中的應(yīng)用舉例”, 以及“余弦定理、正弦定理”三塊內(nèi)容,借助向量運(yùn)算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系, 把解直角三角形拓展到解任意三角形.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版2020 年修訂)》(簡稱新課標(biāo))對本單元主題的內(nèi)容要求: 1 借助向量運(yùn)算,探索三角形邊長和角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理2 能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題.學(xué)業(yè)要求: 1 能夠運(yùn)用向量運(yùn)算解決簡單的幾何和物理問題,知道數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的關(guān)系2 重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2 教學(xué)設(shè)計

“平面向量的應(yīng)用——探究正弦定理”是一節(jié)定理探究課,旨在建構(gòu)正確數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系,揭示數(shù)學(xué)對象的規(guī)律性或邏輯必然性.數(shù)學(xué)定理是表達(dá)數(shù)學(xué)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的真命題,要讓學(xué)生經(jīng)歷從定理的背景中發(fā)現(xiàn)和提出猜想,推理論證,從而獲得定理的過程,所以數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過程一般包括定理的引入,定理的形成,定理的理解,定理的運(yùn)用四個階段.__

2.1 復(fù)習(xí)引入,創(chuàng)設(shè)問題情境

上節(jié)課我們用向量方法探究得到了余弦定理,將初中學(xué)習(xí)的SAS、SSS 判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫,從而對三角形從定性研究上升到了定量研究.

問題1 如果已知兩角和一邊,是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢? 這個公式是不是也能對AAS和ASA這兩種判定三角形全等的方法進(jìn)行量化的刻畫呢?

帶著這個問題教師帶領(lǐng)學(xué)生共同回憶初中還得到過三角形中等邊對等角的結(jié)論,大邊對大角,小邊對小角的邊角關(guān)系,即?ABC中,a>b ?∠A> ∠B.如果a= 2b,那么∠A和∠B之間還有什么等量關(guān)系嗎? 也就是從量化的角度,將這個邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為: ?ABC中,設(shè)A的對邊為a,B的對邊為b,試探索A,B,a,b之間的定量關(guān)系.

設(shè)計意圖 在定理引入的方式上,基于對三角形的定性刻畫轉(zhuǎn)化為定量表達(dá)的認(rèn)知需求,教師聯(lián)通學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ),融合知識的發(fā)生與發(fā)展過程,追求“自然流淌”的境界,既能凸顯所學(xué)知識的必要性,又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī).

2.2 研究特例,提出猜想

問題2 可以先從熟悉的直角三角形的邊、角關(guān)系入手,具體如何分析呢? 結(jié)論能否推廣到任意三角形?

設(shè)計意圖 鼓勵學(xué)生大膽猜想,主動投入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程,探究定理的生成,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.從特殊到一般歸納總結(jié)的過程中,學(xué)生充分感受到自己是學(xué)習(xí)的主導(dǎo)者,也體會到數(shù)學(xué)系統(tǒng)演繹性和實(shí)驗(yàn)歸納性兩個特點(diǎn).

2.3 類比余弦定理,向量法證明

問題3 對于銳角和鈍角三角形,用什么方法研究呢? 回憶余弦定理是怎么證明的?

設(shè)計意圖 通過向量數(shù)量積的運(yùn)算容易得到角的余弦,那么如何才能得到角的正弦呢? 這是學(xué)生最大的困惑,也是正弦定理教學(xué)的難點(diǎn).教師采用新舊知識類比的方法,可以讓學(xué)生在鞏固舊知識的基礎(chǔ)上理解新知識,不但符合認(rèn)知規(guī)律,而且用知識的聯(lián)系啟發(fā)思維,既消除學(xué)生對新知識的恐懼和陌生心理,又可以達(dá)到溫故知新的效果.

2.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、形成定理

問題4 通過大膽猜想,再運(yùn)用向量法證明得到了正弦定理,那么能不能借助信息技術(shù),用數(shù)據(jù)驗(yàn)證定理的真實(shí)存在?

設(shè)計意圖 邀請學(xué)生共同參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),借助超級畫板演示,觀察發(fā)現(xiàn): 在拖動三角形某個頂點(diǎn)的過程中,表格中的數(shù)據(jù)隨之變化,但是比值始終保持相等.信息技術(shù)實(shí)驗(yàn)再次驗(yàn)證猜想的成立,同時調(diào)動學(xué)生自主參與教學(xué)活動,激發(fā)他們的好奇心和探索的欲望.

2.5 理解定理、課堂展示

問題5 正弦定理給出了任意三角形中三條邊與各自所對角的正弦之間的一個等量關(guān)系,它可以解決哪些類型的解三角形問題呢?

問題6 正弦定理是否還有其他的證明方法?

課堂展示活動 ?ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,求證:

設(shè)計意圖 本單元學(xué)習(xí),從平面幾何中的向量方法到余弦定理推導(dǎo),再到正弦定理的推導(dǎo),教師嘗試以任務(wù)為驅(qū)動,為學(xué)生提供必要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),形成用向量方法研究平面幾何問題的基本經(jīng)驗(yàn),探尋三角形中的邊角關(guān)系.教師鼓勵學(xué)生圍繞探究任務(wù)類比余弦定理的探究過程,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).因?yàn)橛卸喾N證明方法,本節(jié)課的教學(xué)容量很大,但筆者認(rèn)為重要性質(zhì)、定理的論證,本身就具備深刻的知識內(nèi)涵和豐富的論證方法,重視定理的論證教學(xué),在培養(yǎng)學(xué)生的解題能力,開闊眼界,挖掘知識點(diǎn)的聯(lián)系等方面具有積極意義,所以筆者仍然堅持要有讓學(xué)生展示的機(jī)會,成果如下:

上述證法均來源于學(xué)生課前的自主探究成果,采用初中學(xué)習(xí)的平面幾何知識,將任意三角形通過作高(圖1)、等面積(圖2)、借助外接圓性質(zhì)(圖4)等方法轉(zhuǎn)化為直角三角形,還有同學(xué)運(yùn)用余弦定理推導(dǎo)正弦定理(圖3),將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題解決.教師在講解枯燥的定理時,恰當(dāng)運(yùn)用不同的引入方法及多種證明方法,并對學(xué)生想到的辦法給予鼓勵和肯定,充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)發(fā)散思維,使教學(xué)收到意想不到的效果.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.6“圓”來如此,揭密數(shù)學(xué)史

問題7 正弦定理中對邊與對角的正弦的比值是多少?有特殊的幾何意義嗎?

設(shè)計意圖 正弦定理的證明方法很多,筆者聯(lián)通余弦定理證明方法的發(fā)現(xiàn)史,融合人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知,將數(shù)學(xué)知識理解上升到數(shù)學(xué)思想方法,最終上升到數(shù)學(xué)文化,學(xué)生經(jīng)歷正弦定理的探究過程, 感受定理背后的人文價值,從而理解引入正弦定理的必要性,讓數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識方法在課堂上一起生長.

2.7 課堂小結(jié)

問題8 回顧本節(jié)課,談?wù)勀愕氖斋@?

(1)正余弦定理是初中三角形邊角關(guān)系的延續(xù)和擴(kuò)充:從初中來,到初中去,將定性結(jié)論上升到定量研究角度,由會解直角三角形到會解一般三角形.

(2)通過證明方法的比較,體會向量法為解決數(shù)學(xué)問題打開了一扇窗,尤其余弦定理的推導(dǎo)過程更能夠體現(xiàn)出向量法的優(yōu)勢和特點(diǎn).但向量在歷史上出現(xiàn)得比較晚,屬于“新生事物”,所以我們平時要有意識地“逼迫”自己多使用向量法,將會有很多意外驚喜.

(3)你能用正弦定理證明余弦定理嗎? 請同學(xué)們課后繼續(xù)探究.

3 探究課的研究路徑

筆者開設(shè)的這節(jié)“江蘇省首期教育家型校長創(chuàng)新培育計劃”展示課,所教班級為學(xué)校生源最好的“原道班”.學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí),思維活躍,具備一定探究能力,所以筆者在開課前一天專門安排了40 分鐘,讓學(xué)生對課堂探究任務(wù)進(jìn)行思考和嘗試證明,學(xué)生方法精彩紛呈、思路開闊,筆者選擇了其中頗具代表性的幾種證明方法,由學(xué)生課上展示.課堂以學(xué)生為主體,符合新課程要求,收到一致好評.

3.1 單元教學(xué)思路的設(shè)計

單元教學(xué)強(qiáng)調(diào)從外顯的知識整體結(jié)構(gòu)或內(nèi)蘊(yùn)于知識學(xué)習(xí)過程中的思想方法入手,從高觀點(diǎn)、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的視角對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計,有效改變教學(xué)目標(biāo)過窄和過淺的狀況,切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).平面向量大單元以“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”為指導(dǎo),將平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用和余弦定理、正弦定理三部分結(jié)合起來,圍繞單元系統(tǒng)規(guī)劃進(jìn)階式教學(xué)目標(biāo),確定單元教學(xué)結(jié)構(gòu),提煉單元學(xué)習(xí)活動的具體情境,設(shè)計出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性的系列化數(shù)學(xué)活動和學(xué)習(xí)任務(wù),發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問題,探尋解決問題的數(shù)學(xué)方法,獲得有價值的數(shù)學(xué)結(jié)論,實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何以知其所以然”的跨越,最終實(shí)施貫穿全過程的綜合性評價,使數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、單元目標(biāo)共同作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提升,落實(shí)“學(xué)科育人”目標(biāo).

“余弦定理、正弦定理”從判斷三角形全等以及“大邊對大角、小邊對小角”的量化需求引入,是初中解直角三角形和高中三角函數(shù)與三角恒等變形的延續(xù).新課標(biāo)要求“借助向量運(yùn)算探索三角形邊長與角度的關(guān)系”,因此新教材以平面向量的應(yīng)用為推導(dǎo)背景,采用向量法證明兩個定理,是向量在平面幾何中應(yīng)用的示范.考慮到學(xué)生對向量恒等式容易想到兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算,所以教材編排先余弦定理再正弦定理,過渡更加自然,學(xué)生先獲得從向量關(guān)系向數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化的基本活動經(jīng)驗(yàn),再用類似思路證明正弦定理,思維更易被激活.

3.2 課堂預(yù)設(shè)與課堂生成

本單元對平面向量應(yīng)用的學(xué)習(xí)不僅是對向量知識學(xué)習(xí)的深化,更有助于培養(yǎng)學(xué)生用向量的眼光看待問題、用向量的方法研究問題的意識和能力.高考評價體系在對學(xué)生“關(guān)鍵能力”的考查方面,重點(diǎn)考查學(xué)生所學(xué)知識的運(yùn)用能力,強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考、分析問題和解決問題、交流與合作等學(xué)生適應(yīng)未來不斷發(fā)展變化的能力,所以課堂預(yù)設(shè)以探究任務(wù)為驅(qū)動,以問題為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)方式,促進(jìn)學(xué)生通過獨(dú)立探究與合作交流獲得定理內(nèi)容,經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的過程,切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在最后的課堂小結(jié)中, 學(xué)生提到印象深刻的外接圓法,等面積法,卻沒有提到向量法,這是課前預(yù)設(shè)始料未及的,但筆者并沒有錯失教學(xué)生成的這個有利資源, 及時補(bǔ)充總結(jié):向量法的優(yōu)勢在余弦定理的證明中體現(xiàn)得更為明顯,而且向量法在歷史上產(chǎn)生得比較晚,使用不多,所以更需要在平時的學(xué)習(xí)中有的放矢地培養(yǎng),成為本堂課錦上添花的一大亮點(diǎn).

3.3 課堂教學(xué)中的選擇

正弦定理的導(dǎo)入問題經(jīng)常有兩種: 從特殊的直角三角形入手,先得到正弦定理,再提出一般猜想,符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,突出數(shù)學(xué)思想方法;還有一種采用與余弦定理相同的導(dǎo)入問題“還有其它途徑將向量等式--→BC=-→BA+-→AC數(shù)量化嗎? ”,用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待正、余弦定理.新課標(biāo)在課程結(jié)構(gòu)的設(shè)計依據(jù)中明確指出,要“依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),關(guān)注知識之間的關(guān)聯(lián)”,但由于向量等式數(shù)量化的方法并不僅此兩種,還可能導(dǎo)出其它結(jié)論,如射影定理,因此第二種導(dǎo)入方式也承擔(dān)了一定風(fēng)險,新教材選擇將兩種導(dǎo)入方式進(jìn)行整合: 先從特殊、熟悉的直角三角形猜想結(jié)論,再推廣到一般三角形中,通過尋找向量等式數(shù)量化的其它方法加以驗(yàn)證.

正弦定理的推導(dǎo)方法也頗為豐富,古有同徑法和外接圓法,現(xiàn)有作高法、等積法、向量法等.由于向量概念起源于幾何,是研究幾何圖形的基本方法,因此在研究三角形時,側(cè)重于向量法的運(yùn)用具有典型性和代表性,而且新教材與舊教材相比,正、余弦定理在編排位置上發(fā)生了明顯變化,將其作為平面向量的應(yīng)用來呈現(xiàn),所以新教材在正弦定理的推導(dǎo)方法上不存在側(cè)重于哪種方法的糾結(jié),直接將“通過向量運(yùn)算解決幾何問題”貫徹到底: 以三角形回路--→BC=-→BA+-→AC這一基本而重要的向量等式為基礎(chǔ),以通過向量運(yùn)算探索三角形邊角的確定關(guān)系為定向,借助數(shù)量積這一從向量通向數(shù)量的橋梁,引入與三角形的邊平行或垂直的向量,對向量等式施以數(shù)量積運(yùn)算.在上這節(jié)課時,教師不僅要傳授基本的知識內(nèi)容,更要帶著學(xué)生理解教材編寫者的用意,體會向量和正、余弦定理之間更深一層的聯(lián)系,有意識地選擇用向量知識解決三角形的一些問題,這樣學(xué)生在解決此類問題時才能如魚得水.