經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)
——以張景中院士“三共定理”的拓展教學(xué)為例

浙江省衢州市衢江錦繡中學(xué)(324022) 余正龍

浙江省衢州市衢江區(qū)第一初級(jí)中學(xué)(324022) 徐建兵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2022》)提出初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由三個(gè)方面構(gòu)成: 會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1].史寧中教授把這“三會(huì)”具體化為數(shù)學(xué)眼光即數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)思維即邏輯推理,數(shù)學(xué)語言即數(shù)學(xué)模型,他認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的根本就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀,而數(shù)學(xué)直觀是在長(zhǎng)期進(jìn)行的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣,思維習(xí)慣的養(yǎng)成離不開數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程[2].張景中院士提出學(xué)習(xí)推理要從簡(jiǎn)單開始,由淺入深,先學(xué)習(xí)用一個(gè)條件推理,再進(jìn)一步學(xué)習(xí)用兩個(gè)條件和三個(gè)條件推理.在三角形的面積問題中,他提出共高定理、共邊定理和共角定理,從一個(gè)條件推出一個(gè)結(jié)論的命題,證起來容易,用起來簡(jiǎn)單[3].在浙教版八年級(jí)上冊(cè)第一章節(jié)“1.1 認(rèn)識(shí)三角形”中,《數(shù)學(xué)教學(xué)參考書》給出讓學(xué)生會(huì)用三角形的角平分線、中線和高線的概念,解決有關(guān)角度、面積計(jì)算等問題,教材在例題中設(shè)有角度計(jì)算問題,把與面積相關(guān)的問題放在了探究活動(dòng)中(如圖1),還特別強(qiáng)調(diào)的這一問題的重要性.三角形中線平分面積是三角形中“等底同高”的應(yīng)用,三角形的高線分面積是“不等底同高”的問題,而角平分線分面積是“不等底等高”的問題.筆者嘗試以三角形的中線平分面積為起點(diǎn),通過方案設(shè)計(jì)、原理追溯、歸納探究和拓展應(yīng)用,在讓學(xué)生經(jīng)歷三共定理數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程中,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),逐步形成理性精神[4].

圖1

1 教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖

1.1 在方案設(shè)計(jì)的發(fā)散與收斂中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動(dòng)1: 方案設(shè)計(jì)

現(xiàn)有一塊三角形的草皮,要對(duì)其進(jìn)行改造,把它分成四塊面積相等的三角形, 在每塊三角形上種植不同類型的花,形成一個(gè)美麗的花壇.請(qǐng)以小組形式匯報(bào)講解設(shè)計(jì)圖并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖 發(fā)散思維是指根據(jù)已有信息,從不同角度、不同方向進(jìn)行思考,尋求多樣性答案的一種思考方式,是創(chuàng)造性思維的最主要的特點(diǎn),是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力的表現(xiàn)之一.發(fā)散思維后的收斂思維,使思維條理化、簡(jiǎn)明化、邏輯化和規(guī)律化,是邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展重要路徑.活動(dòng)1 采用小組合作形式進(jìn)行三角形面積四等分的方案設(shè)計(jì),調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.圖2 的多種設(shè)計(jì)方案讓學(xué)生把問題的解決聚焦到“中線平分面積”這一個(gè)數(shù)學(xué)的本質(zhì)上,在交流與合作中體會(huì)歸納不同取點(diǎn)的分割方法,在經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理.

圖2

1.2 在追本溯源的理性研究中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動(dòng)2: 推理論證

求證: 三角形的中線平分這個(gè)三角形的面積.

已知: 如圖3,在?ABC中,CD是AB邊上的中線.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

求證:S?ADC=S?BDC

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)起于思, 思源于疑, 教學(xué)中要善于誘發(fā)學(xué)生在“是什么”的基礎(chǔ)上追問“為什么”,以問題引領(lǐng)新問題,在追本溯源的推理論證中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),逐步形成理性精神[4].活動(dòng)2 利用同高等底證明三角形中線平分面積的性質(zhì),是其“共高定理”中面積相等的特殊形式.變式1讓學(xué)生經(jīng)歷等底同高到同底等高的變化過程,學(xué)會(huì)多角度思考問題.變式2 則從兩個(gè)等面積的“共高三角形”中,不同底和不同高的視角思考問題,通過本環(huán)節(jié)問題的解決,揭示張景中院士提出的“共高定理”: 若D在AB邊上一點(diǎn), 則有.通過三個(gè)不同的視角下高與底的變化的推理與證明讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的邏輯聯(lián)系,在發(fā)展學(xué)生邏輯推理中構(gòu)建從“共高定理”延伸到“共角定理”和“共邊定理”的邏輯體系,為后續(xù)的教學(xué)做好鋪墊.

1.3 在歸納探究的小組活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動(dòng)3: 數(shù)學(xué)歸納

已知?ABC的面積是1.

(4)如圖9,D、E是AB邊的兩個(gè)四等分點(diǎn),H、I分別是BC、AC邊的三等分點(diǎn).請(qǐng)你用前面問題解決中歸納猜想的結(jié)論求S的值.

圖9

設(shè)計(jì)意圖 歸納研究是指一種由一系列的特殊性的前提概括出一般性結(jié)論的研究方法,有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣, 形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.其作用是對(duì)人們?cè)趯?shí)踐中認(rèn)識(shí)了的一個(gè)個(gè)具體事例或個(gè)別判斷加以總結(jié)、概括,得出一般性的結(jié)論,從而獲取知識(shí),發(fā)現(xiàn)真理.活動(dòng)3 是在活動(dòng)2 的認(rèn)知基礎(chǔ)上出現(xiàn)的一類特殊“共角”三角形,是“共高”到“共邊”的過渡.通過這一類等分點(diǎn)的計(jì)算, 讓學(xué)生在連線分割構(gòu)造運(yùn)用“共高定理”的方法中計(jì)算,猜想發(fā)現(xiàn)張景中院士提出的“共角定理”: 如圖7,若∠ABC= ∠EBG,則有.用這種方法在解決問題(4)的時(shí)候可以起到事半功倍的作用.通過活動(dòng)3 學(xué)生在經(jīng)歷計(jì)算、觀察、歸納、猜想發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程中,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納的能力.在問題串的設(shè)計(jì)中采用等分點(diǎn)的面積問題計(jì)算,讓學(xué)生易懂易學(xué),化繁為簡(jiǎn),讓學(xué)生在經(jīng)歷規(guī)律探索中發(fā)展邏輯推理能力.

1.4 在拓展應(yīng)用的問題解決中發(fā)展學(xué)生邏輯推理

活動(dòng)4: 拓展應(yīng)用

如圖10,D、E是AB邊的兩個(gè)四等分點(diǎn),H、I分別是BC、AC邊的三等分點(diǎn).若?ABC的面積為1.DH與EI交于點(diǎn)O,陰影部分的面積為S,則S=____.

圖10

變式: 如圖11,AD與CE相交于點(diǎn)F, 若S1= 1,S2=2,S3=3,陰影部分的面積為S4,則S4=____.

圖11

圖12

圖13

2 教學(xué)反思與建議

史寧中教授說過要改變教學(xué)設(shè)計(jì)的思路,不能像傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)那樣, 按照每一節(jié)課或每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),而應(yīng)當(dāng)把一些具有邏輯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行整合設(shè)計(jì)[2].本節(jié)課以教材探究活動(dòng)為起點(diǎn),從方案設(shè)計(jì)、原理追溯、歸納推理和拓展應(yīng)用等環(huán)節(jié)展開,整堂課圍繞著數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)策略,利用數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)為學(xué)生構(gòu)建一層層深入的認(rèn)知鏈,引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、類比、推廣、特殊化等方式開展思維活動(dòng),通過邏輯推理達(dá)到對(duì)問題本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí),這是思維深刻性品質(zhì)的培養(yǎng)的過程,也是邏輯推理素養(yǎng)得到發(fā)展的過程.通過本節(jié)課實(shí)踐與研究,讓筆者對(duì)發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的教學(xué)有了清晰的認(rèn)識(shí), 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),一定要了解學(xué)生認(rèn)知水平,選擇內(nèi)容要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),無論是新授課教學(xué)還是專題復(fù)習(xí)課都要讓學(xué)生擁有一個(gè)數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程;要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,提出“關(guān)聯(lián)性”的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生在問題解決中明白知識(shí)之間的邏輯關(guān)系;要啟發(fā)學(xué)生思考、鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流,讓思維的火花在觀點(diǎn)的碰撞中形成;要讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí),理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題;要讓學(xué)生在問題解決的過程中感悟數(shù)學(xué)的思想、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生擁有“數(shù)學(xué)家的思維”[5].